Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Оптимальне управління



План:


Введення

Оптимальне управління - це завдання проектування системи, що забезпечує для заданого об'єкта управління або процесу закон управління або управляючу послідовність дій, які забезпечують максимум чи мінімум заданої сукупності критеріїв якості системи [1].

Для вирішення задачі оптимального управління будується математична модель керованого об'єкта або процесу, що описує його поведінку з плином часу під впливом керуючих впливів і власного поточного стану. Математична модель для задачі оптимального управління включає в себе: формулювання мети управління, виражену через критерій якості управління; визначення диференціальних або різницевих рівнянь, що описують можливі способи руху об'єкта управління; визначення обмежень на використовувані ресурси у вигляді рівнянь або нерівностей [2].

Найбільш широко при проектуванні систем управління застосовуються такі методи: варіаційне числення, принцип максимуму Понтрягіна і динамічне програмування Беллмана [1].

Іноді (наприклад, при управлінні складними об'єктами, такими як доменна піч в металургії або при аналізі економічної інформації) у вихідних даних і знаннях про керований об'єкт при постановці завдання оптимального управління міститься невизначена або нечітка інформація, яка не може бути оброблена традиційними кількісними методами. У таких випадках можна використовувати алгоритми оптимального управління на основі математичної теорії нечітких множин ( Нечітке управління). Використовувані поняття і знання перетворюються в нечітку форму, визначаються нечіткі правила виведення прийнятих рішень, потім виробляється зворотне перетворення нечітких прийнятих рішень у фізичні керуючі змінні. [3]


1. Задача оптимального управління

Сформулюємо задачу оптимального управління:

  • Рівняння стану: \ Dot {x} (t) = a [x (t), u (t), t] (1).
  • Граничні умови x (t_0) = x_ {0 }^{*} , x (t_1) = x_ {1 }^{*} (2).
  • Минимизируемого функціонал: \ Eta = \ int_ {t_0} ^ {t_1} F [x (\ tau), \ dot {x} (\ tau), \ tau] d \ tau, .

тут x (t) - Вектор стану u (t) - Управління, t 0, t 1 - Початковий і кінцевий моменти часу.

Задача оптимального управління полягає в знаходженні функцій стану x (t) та управління u (t) для часу ({T_0} \ le {t} \ le {t_1}) , Які мінімізують функціонал.


2. Варіаційне числення

Розглянемо цю задачу оптимального управління як завдання Лагранжа варіаційного обчислення [4]. Для знаходження необхідних умов екстремуму застосуємо теорему Ейлера-Лагранжа [4]. Функція Лагранжа Λ має вигляд: \ Lambda = \ int_ {t_0} ^ {t_1} (F [x (t), \ dot {x} (t), t] + \ lambda_1 ^ T (t) (\ dot {x} (t)-a [x (t), u (t), t])) dt + l , Де l = \ lambda_2 ^ T (x (t_0)-x_ {0 }^{*})+ \ lambda_3 ^ T (x (t_1)-x_ {1 }^{*}) - Граничні умови. Лагранжіан L має вигляд: L [x (t), \ dot {x} (t), u (t), \ lambda (t), t] = F [x (t), \ dot {x} (t), t] + \ lambda_1 ^ T (t) (\ dot {x} (t)-a [x (t), u (t), t]) , Де λ 1 , λ 2 , λ 3 - n-мірні вектора множників Лагранжа.

Необхідні умови екстремуму, відповідно до цієї теореми, мають вигляд:

  • стаціонарність по u: \ Hat {L} _ {u} = 0 , (3)
  • стаціонарність по x, рівняння Ейлера: \ Hat {L} _ {x} - \ frac {d} {dt} \ hat {L} _ {c \ dot {x}} = 0 (4)
  • трансверсально по x: \ Hat {L} _ {\ dot {x}} (\ hat {t} _0) = \ hat {l} _ {x (t_0)} , \ Hat {L} _ {\ dot {x}} (\ hat {t} _1) =- \ hat {l} _ {x (t_1)} (5)

Необхідні умови (3-5) складають основу для визначення оптимальних траєкторій. Написавши ці рівняння, отримуємо двухточечной граничну задачу, де частина граничних умов задана в початковий момент часу, а інша частина - в кінцевий момент. Методи вирішення подібних завдань докладно розбираються в книзі [5]


3. Принцип максимуму Понтрягіна

Необхідність в принципі максимуму Понтрягіна виникає у разі коли ніде в допустимому діапазоні керуючої змінної неможливо задовольнити необхідній умові (3), а саме \ Hat {L} _ {u} = 0 .

У цьому випадку умова (3) замінюється на умову (6):

\ Begin {align} {u min_ \ in U} L (t, x (t), \ dot {x} (t), u) & = L (t, \ hat {x} (t), \ dot { x} (t), \ hat {u}) \ Longleftrightarrow \ \ & \ Longleftrightarrow min_ {u \ in U} \ left (F (t, x (t), u) - \ lambda (t) a (t, x (t), u) \ right) = f (t) - \ lambda (t) a (t). \ End {align} (6)

У цьому випадку відповідно до принципу максимуму Понтрягіна величина оптимального управління дорівнює величині управління на одному з кінців допустимого діапазону. Рівняння Понтрягина записуються за допомогою функції Гамільтона Н, яка визначається співвідношенням H = F (t, x (t), u) - λ (t) a (t, x (t), u) . З рівнянь випливає, що функція Гамільтона H пов'язана з функцією Лагранжа L наступним чином: L = H + \ lambda (t) \ dot {x} (t) . Підставляючи L з останнього рівняння в рівняння (3-5) отримуємо необхідні умови, виражені через функцію Гамільтона:

  • рівняння управління з u: \ Hat {H} _ {u} = 0 , (7)
  • рівняння стану: \ Dot {x} =- \ hat {H} _ {\ lambda} , (8)
  • поєднане рівняння: \ Dot {\ lambda} = \ hat {H} _ {x} , (9)
  • трансверсально по x: \ Lambda \ hat {t} _0 = \ hat {l} _ {x (t_0)} , \ Lambda \ hat {t} _1 =- \ hat {l} _ {x (t_1)} (10)

Необхідні умови, записані в такій формі, називаються рівняннями Понтрягіна. Більш докладно принцип максимуму Понтрягіна розібраний в книзі [4].


3.1. Де застосовується

Принцип максимуму особливо важливий у системах управління з максимальною швидкодією і мінімальною витратою енергії, де застосовуються управління релейного типу, які беруть крайні, а не проміжні значення на допустимому інтервалі управління.

3.2. Історія

За розробку теорії оптимального управління Л.С.Понтрягіна та його співробітникам В.Г.Болтянский, Р.В. Гамкрелідзе та Є.Ф.Міщенко в 1962 р була присуджена Ленінська премія.

4. Метод динамічного програмування

Метод динамічного програмування заснований на принципі оптимальності Беллмана, який формулюється так: оптимальна стратегія управління володіє тим властивістю, що яке б не було початковий стан і керування на початку процесу наступні управління повинні складати оптимальну стратегію управління щодо стану, отриманого після початкової стадії процесу [6 ]. Більш докладно метод динамічного програмування викладено в книзі [7]


Примітки

  1. 1 2 Самойленко В. І., Пузирьов В. А., Грубрін І. В. "Технічна кібернетика", навч. посібник, М., изд-во МАІ, 1994, 280 с. мул., ISBN 5-7035-0489-9, гл. 4 "Оптимальні системи управління динамічними об'єктами і процесами", с. 63-113;
  2. Коршунов Ю. М. "Математичні основи кібернетики", навч. посібник для вузів, 2-е изд., перераб. і доп., М., "Енергія", 1980, 424 с., іл., ББК 32.81 6Ф0.1, гл. 5 "Структура і математичний опис задач оптимального управління", c. 202;
  3. Методи робастного, нейро-нечіткого та адаптивного управління: Підручник / За ред. Н.Д. Егупова, вид. 2-е, стер., М., Изд-во МГТУ ім Н.Е. Баумана, 2002, 744 з іл., ISBN 5-7038-2030-8, тир. 2000 екз, ч. 2 "Нечітке управління"
  4. 1 2 3 Е. М. Галеев, В. М. Тихомиров "Оптимізація: теорія, приклади, завдання", М., "Едіторіал УРСС", 2000, 320 с., ISBN 5-8360-0041-7, гл. 3 "Варіаційне числення", п. 6 "Завдання Лагранжа", с. 173-181;
  5. "Чисельні методи в теорії оптимальних систем", Моїсеєв Н. Н., "Наука", 1971, 424 стор з іл., гл. 2 "Чисельні методи розрахунку оптимальних програм, що використовують необхідні умови екстремуму", з 80 - 155;
  6. Беллманом Р. "Динамічне програмування", ІЛ, М., 1960;
  7. "Чисельні методи в теорії оптимальних систем", Моїсеєв Н. Н., "Наука", 1971, 424 стор з іл., гл. 3 "Прямі методи теорії оптимального управління", з 156-265;

Література

  1. Растригина Л.А. Сучасні принципи управління складними об'єктами. - М.: Сов. радіо, 1980. - 232 с., ББК 32.815, тир. 12000 екз.
  2. Алексєєв В.М., Тихомиров В.М., Фомін С.В. Оптимальне керування. - М.: Наука, 1979, УДК ​​519.6, - 223 c., тир. 24000 екз.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
H ∞-управління
Управління
Управління даними
Державне управління
Управління вимогами
Війська управління
Муніципальне управління
Голосове управління
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru