Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Опукле безліч



План:


Введення

Опукле безліч.
Неопуклі безліч.

Безліч в афінному просторі називається опуклим, якщо воно містить разом з будь-якими двома точками з'єднує їх відрізок.


1. Визначення

Нехай A - Афінний простір (над полем дійсних чисел \ Mathbb {R} ).

Безліч K \ subset A називається опуклим, якщо разом з будь-якими двома точками x, \; y \ in K безлічі K належать всі крапки відрізка x y , Що сполучає в просторі A точки x і y . Цей відрізок можна представити як

\ Bigcup \ limits_ {t \ in [0; \; 1]} \ {x + t \ cdot \ overrightarrow {xy} \}.

2. Пов'язані визначення

Безліч K векторного простору V називається абсолютно опуклим, якщо воно виразно та врівноважено.

3. Приклади


4. Властивості

  • Опукле безліч в топологічному лінійному просторі є зв'язковим і лінійно зв'язним, гомотопічних еквівалентним точці.
  • У термінах зв'язності, опукле безліч можна визначити так: безліч опукло, якщо його перетин з будь-якої (речової) прямий зв'язно.
  • Нехай K - Опукле безліч. Тоді для будь-яких елементів u_1, \; u_2, \; \ ldots, \; u_r належать K і для всіх невід'ємних \ Lambda_1, \; \ lambda_2, \; \ ldots, \; \ lambda_r , Таких що \ Lambda_1 + \ lambda_2 + \ ldots + \ lambda_r = 1 , Вектор
    w = \ sum_ {k = 1} ^ r \ lambda_k u_k
належить K .
  • Вектор w називається опуклою комбінацією елементів u_1, \; u_2, \; \ ldots, \; u_r .
  • Перетин будь-якого числа опуклих множин є опуклим безліччю, таким чином опуклі підмножини утворюють повну сітку. Це так само означає й те, що будь-яка підмножина A лінійного простору міститься всередині малого опуклого безлічі (званого опуклою оболонкою множини A ), Тобто перетин всіх опуклих множин містить A .
  • Замкнуті опуклі множини можуть бути визначені як перетину замкнутих півпросторів (безлічі точок у просторі, які лежать тільки на одній частині гіперплощини). З вище сказаного стає зрозумілим, що такі перетини є опуклими і замкнутими множинами. Для доказу зворотного, тобто що кожне опукле безліч може бути представлено у вигляді перетину, можна використовувати теорему про опорної гіперплощини у формі в якій для даного замкнутого опуклого безлічі C і точки P , Що не належить йому, існує замкнутий півпростір H , Що містить C і не містить P . Теорема про опорної гіперплощини є окремим випадком теореми Хана - Банаха з функціонального аналізу.
  • Теорема Хеллі : Припустимо в кінцевому сімействі опуклих підмножин \ R ^ d , Перетин будь-яких d + 1 з них непорожня. Тоді перетин всіх підмножин з цього сімейства непорожній.
  • Будь-яке опукле безліч одиничної площі в \ R ^ 2 можна цілком укласти в деякий трикутник площі 2. [1]

5. Варіації і узагальнення

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Рівномірно опукле простір
Безліч
Безліч
Перечіслімий безліч
Канторової безліч
Щільне безліч
Рахункове безліч
Універсальне безліч
Безліч Мандельброта
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru