Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ортогональное перетворення



План:


Введення

Ортогональное перетворення - лінійне перетворення \, Aевклідова простору \, L , Що зберігає довжини або (що еквівалентно цьому) скалярний твір векторів. Це означає, що для будь-яких двох векторів x, y \ in L виконується рівність

\ Langle A (x), \, A (y) \ rangle = \ langle x, \, y \ rangle,

де трикутними дужками позначено скалярний твір \ Langle x, \, y \ rangle в просторі \, L .


1. Властивості

  • Ортогональні перетворення (і тільки вони) переводять один ортонормованій базис евклідова простору в інший.
  • Необхідною і достатньою умовою ортогональності лінійного перетворення \, A є рівність
    \, A ^ *= A ^ {-1}, \ qquad (*)
де \, A ^ * - поєднане, а \, A ^ {-1} - Зворотне перетворення.
  • У ортонормированном базисі ортогональних перетворень (і тільки їм) відповідають ортогональні матриці. Таким чином, критерієм ортогональності матриці \, A є рівність рівність (*), де \, A ^ * - Транспонована, а \, A ^ {-1} - Зворотна матриці.
  • Власні значення ортогональних перетворень рівні по модулю 1 , А власні вектори (взагалі кажучи, комплексні), що відповідають різним власним значенням, ортогональні.
  • Визначник ортогонального перетворення дорівнює 1 (Власне ортогональное перетворення) або - 1 (Невласне ортогональное перетворення).
  • У довільному n -Мірному евклідовому просторі ортогональное перетворення є композицією кінцевого кількості відображень.
  • Безліч всіх ортогональних перетворень евклідова простору утворює групу відносно операції композиції - ортогональну групу даного евклідова простору. Власні ортогональні перетворення утворюють нормальну підгрупу у цій групі ( спеціальну ортогональну групу).

2. Розмірності два

У разі евклідової площини всяке власне ортогональное перетворення є поворотом на деякий кут φ , І його матриця в будь-якому ортонормированном базисі має вигляд

\ Begin {pmatrix} \ \ \ \ cos \ varphi & \ sin \ varphi \ \ - \ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatrix}.

Матриця невласного ортогонального перетворення має вигляд

\ Begin pmatrix {} \ \ cos \ varphi & \ \ \ sin \ varphi \ \ \ sin \ varphi & - \ cos \ varphi \ end {pmatrix}.

Вона симетрична, має власними числами 1 і -1 і, отже, є інволюцією. У відповідному ортонормированном базисі матриця невласного ортогонального перетворення має вигляд

\ Begin pmatrix {} 1 & \ \ 0 \ \ 0 & -1 \ end {pmatrix},

тобто воно є відображенням відносно деякої прямої. Власне ортогональное перетворення є твір двох відображень:

\ Begin {pmatrix} \ \ \ \ cos \ varphi & \ sin \ varphi \ \ - \ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & \ \ 0 \ \ 0 & -1 \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} \ \ cos \ varphi & \ \ \ sin \ varphi \ \ \ sin \ varphi & - \ cos \ varphi \ end {pmatrix}.

3. Розмірності 3

У тривимірному просторі всяке власне ортогональное перетворення є поворот навколо деякої осі, а всяке невласне - композиція повороту навколо осі і відображення в перпендикулярній площині.

4. Розмірність n

Має місце наступна загальна теорема:

Для кожного ортогонального перетворення A: L \ to L евклідова \, N -Мірного простору L справедливо таке розкладання

L = L_1 \ oplus L_ {-1} \ oplus M_ {\ varphi_1} \ oplus \ ldots \ oplus M_ {\ varphi_k},

де всі підпростору \, L_ {1},\, L_ {-1} і M_ {\ varphi_i} попарно ортогональні і є інваріантними підпросторами перетворення \, A , Причому:

  • обмеження \, A на \, L_1 є \, E (Тотожне перетворення),
  • обмеження \, A на \, L_ {-1} є \,-E ,
  • всі простори M_ {\ varphi_i} двовимірні (площини), і обмеження \, A на M_ {\ varphi_i} є поворот площини M_ {\ varphi_i} на кут φ i .


У термінах матриці перетворення цю теорему можна сформулювати наступним чином:

Для всякого ортогонального перетворення існує такий ортонормованій базис, в якому його матриця \, A має блочно-діагональний вигляд:

A = \ left (\ begin {matrix} \, 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \ \ \, {} & \ ddots & {} & {} & {} & {} & 0 & {} & {} \ \ \, {} & {} & 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} \ \ \, { } & {} & {} & -1 & {} & {} & {} & {} & {} \ \ \, {} & {} & {} & {} & \ ddots & {} & {} & {} & {} \ \ \, {} & {} & {} & {} & {} & & -1 {} & {} & {} \ \ \, {} & {} & {} & {} & {} & {} & A_ {\ varphi_1} & {} & {} \ \ \, {} & {} & 0 & {} & {} & {} & {} & \ ddots & {} \ \ \ , {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & A_ {\ varphi_k} \ \ \ end {matrix} \ right),

де A_ {\ varphi_i} - Матриця повороту на кут φ i (Див. формулу вищий), число одиниць одно розмірності підпростору \, L_ {1} і число мінус одиниць одно розмірності підпростору \, L_ {-1} .

Такий запис матриці \, A ортогонального перетворення іноді називається приведенням до канонічного виду.


Література

  • Мальцев А. І. Основи лінійної алгебри. М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри М.: Наука, 1971.
  • Тадея Д. К. Лекції з алгебри. М.: Наука, 1984.
  • В. А. Ільїн, Е. Г. Позняк Лінійна алгебра. - Физматлит, Москва, 1999.
  • Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць - М.: Наука, 1966.
  • Гельфанд І. М., Лінійна алгебра. Курс лекцій.
  • Кострикін А. І., Манін Ю. І. Лінійна алгебра і геометрія, - М.: Наука, 1986.
  • Шафаревич І. Р., Ремізов А. О. Лінійна алгебра і геометрія, - Физматлит, Москва, 2009.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Z-перетворення
Проективне перетворення
Схема перетворення
Перетворення Мебіуса
Перетворення Гільберта
Дуальне перетворення
Вейвлет-перетворення
Перетворення Радона
Канонічне перетворення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru