Особливість (комплексний аналіз)

Для терміну "особливість" см. інші значення.

Особливість (особлива точка) голоморфних функцій f - точка комплексній площині, в якій ця функція не визначена, її межа нескінченний або межі не існує зовсім.

Для багатозначних аналітичних функцій до особливостей зараховують також точки розгалужень.

Можливі дві класифікації особливих точок. По-перше, допустима класифікація за теоретико-множинним властивостям їх безлічі:

  • Ізольована особлива точка - точка, для якої існує деяка проколота околиця, в якій ця функція аналітична.
  • Неізольована особлива точка - особлива точка, яка не є ізольованою. У цьому випадку можна говорити про так званий особливому множині.

Види особливостей

У свою чергу, ізольовані особливості можна розділити на три види:

  • Переборна особлива точка - точка, в якій функція не визначена, але межа функції в якій кінцевий, відповідно, в цій точці функцію можна доопределить значенням цієї межі і продовжити її до функції, в цій точці аналітичної.
  • Полюс - точка, в якій межа функції нескінченний. При розгляді функції як відображення не в комплексну площину, а в сферу Рімана, полюс не слід вважати небудь особливою точкою; см. мероморфних функція.
  • Істотно особлива точка - точка, в якій межа функції не існує.

Особливості на ріманових поверхнях

Особливості також можна розглядати у голоморфних функцій, визначених на ріманових поверхнях. Зокрема, якщо дозволити змінної z приймати значення не тільки на комплексній площині, а на сфері Рімана, то особливість в нескінченності для функції f визначається за ступенем "особливості" точки 0 для функції F (w) = f \ left (\ frac {1} {w} \ right) .