Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Папірус Ахмеса



План:


Введення

Частина папірусу Ахмеса

Математичний папірус Ахмеса (також відомий як папірус Ринда або папірус Райнда) - давньоєгипетське навчальний посібник з арифметиці і геометрії періоду Середнього царства, переписане бл. 1650 до н. е.. переписувачем на ім'я Ахмеса на сувій папірусу довжиною 5,25 м. і шириною 33 см.

Папірус Ахмеса був виявлений в 1858 і часто називається папірусом Райнда на ім'я його першого власника. У 1870 папірус був розшифрований, переведений і виданий. Нині більша частина рукопису знаходиться в Британському музеї в Лондоні, а друга частина - в Нью-Йорку.


1. Завдання папірусу Ахмеса (Ринда)

Папірус Ахмеса включає умови та рішення 84 завдань і є найбільш повним єгипетським задачником, що дійшли до наших днів. Московський математичний папірус, що знаходиться в Державному музеї образотворчих мистецтв імені А. С. Пушкіна, поступається папірусу Ахмеса по повноті (він складається з 25 завдань), але перевершує його за віком. Встановлено, що оригінал, з якого був переписаний папірус Ахмеса, відноситься до другої половини XIX століття до н. е.., а ім'я його автора невідомо. Окремі дослідники припускають, що він міг бути складений на підставі ще більш давнього тексту III тисячоліття до н. е..

У вступній частині папірусу Райнда пояснюється, що він присвячений "зробленому й обгрунтованому дослідженню всіх речей, розумінню їх сутності, пізнання їх таємниць". Усі завдання, наведені у тексті, мають в тій чи іншій мірі практичний характер і могли бути застосовані в будівництві, розмежування земельних наділів та інших сферах життя і виробництва. По перевазі це завдання на знаходження площ трикутника, чотирикутників і кола, різноманітні дії з цілими числами і дробами аліквотних, пропорційне ділення, знаходження відносин. Для вирішення багатьох з них вироблялися загальні правила.

Разом з тим, в папірусі є цілий ряд свідчень того, що математика в Древньому Єгипті переросла виключно практичну стадію і придбала теоретичний характер. Так, єгипетські математики вміли брати корінь і зводити до степеня, були знайомі з арифметичної та геометричною прогресією (одне із завдань папірусу Ахмеса зводиться до знаходження суми членів геометричної прогресії). Безліч завдань, що зводяться до рішення рівнянь (в тому числі квадратних) з одним невідомим, пов'язані вживанням спеціального ієрогліфа "купа" (аналога латинського x, традиційно вживаного в сучасній алгебрі) для позначення невідомого, що вказує на оформлення зачатків алгебри.

Папірус Райнда, як і Московський математичний папірус, показує, що стародавні єгиптяни з легкістю справлялися з вимірюванням площі трикутника і відносно точно визначали наближення числа ~ \ Pi ≈ 3,16 ((16 / 9) ), тоді як на всьому Стародавньому Близькому Сході воно вважалося рівним трьом. Проте папірус свідчить і про недоліки єгипетської математики. Наприклад, площа довільного чотирикутника в них обчислюється перемножуванням напівсума довжин двох пар протилежних сторін, тоді як рівність у такому випадку має місце тільки у прямокутнику. Крім того, звертає на себе увагу і та обставина, що єгипетський математик користується тільки аліквотних дробами (виду 1 / n, де n - натуральне число) і дробом 2 / 3. В інших випадках дріб виду m / n замінялася твором числа m і аликвотной дробу 1 / n, що часто ускладнювало обчислення, хоча в окремих випадках могло і полегшити їх.


1.1. Завдання № R26 папірусу Ринда

Невідоме число ('ḥ') складається з 1 / 4, який також містить 'ḥ', і виходить 15, тобто ~ X + \ frac {1} {4} \ cdot x = 15.

Перший крок: стародавній математик підставляє замість "х" 4. Очевидно, що це число не підходить для вирішення, ~ 4 + \ frac {1} {4} \ cdot 4 \ not = 15 :

1 4
1 / 4 1

1 + 1 / 4 5

Результат: 5.

Другий крок: Ми в першому кроці отримали замість 15 тільки 5. Який зв'язок між цими двома числами?

1 5
2 10

3 15

Якщо помножити 5 на 3 виходить 15. Перемножимо узяте довільно число "4" і отримане нами число "3", так ми отримаємо шукане 'ḥ', тобто 4 х 3 = 'ḥ'.

Третій крок: обчислимо 4 x 3:

1 3
2 6
4 12

4 12

Відповідь: 12.

Четвертий крок: Перевіримо результати наших обчислень, тобто ~ 12 + \ frac {1} {4} \ cdot 12 = 15.

1 12
1 / 4 3

1 + 1 / 4 15

Шукалося число 'ḥ' дорівнює 12.

1.2. Завдання № R44 папірусу Ринда

Завдання № R44 папірусу Ринда свідчить, що єгиптяни знали формулу для знаходження об'єму куба: V = L \ cdot L \ cdot H , Де L, L і H відповідно довжина, ширина і висота.

"Приклад обчислення обсягу квадратного хлібного комори. Його довжина 10, ширина 10 і висота 10. Скільки вміститься зерна? Помножте 10 на 10. Це 100. Помножте 100 на 10. Це 1000. Візьміть половину від 1000, тобто 500. Це 1500. Ви отримали кількість в khar. Помножте 1 / 20 на 1500. Ви отримаєте 75. Переведіть це кількість зерна в heqat (тобто помножте на 100) і ви отримаєте відповідь - 7500 heqat зерна ".

1.3. Завдання № R48 папірусу Ринда

Завдання R48 папірусу Ринда
Завдання R48: обчислення площі круга. Праворуч вихідний малюнок, зліва - малюнок з теорії Michel Guillemot
Еліпс зображений на стіні храму в Луксорі (рисунок Людвіга Борхардта)
1 8 setjat
2 16 setjat
4 32 setjat
8 64 setjat

і

1 9 setjat
2 18 setjat
4 36 setjat
8 72 setjat


81

Складність цього завдання полягає в тому, що до неї не міститься ніяких пояснювальних текстів. Перед нами тільки дві таблиці цифр і один малюнок. На малюнку зображена фігура нагадує восьмикутник або коло і вписана в квадрат.

Згідно з однією з теорій на малюнку зображений квадрат, сторони якого рівні довжині діаметра вписаного кола. Площа восьмикутника обчислюється за формулою: 9 ^ 2 - 2 \ cdot 3 ^ 2 = 63 , В цьому випадку площа кола повинна складає 64 [1].

Друга теорія, запропонована Michel Guillemot, більш точно пояснює малюнок. Теорія стверджує, що на малюнку зображений неправильний восьмикутник, чия площа повинна бути рівна вписана в квадрат колі. Площа такого восьмикутника шукається за формулою: ~ 9 ^ 2 - (3 ^ 2 + 2 \ cdot 4) = 64 . Але Michel Guillemot пішов далі і припустив, що стародавні єгиптяни мали уявлення про квадратуру кола і могли будувати рівновеликий квадрат за площею даного кола.

Людвіг Борхардт знайшов дуже схожий малюнок на стінах храму в Луксорі.


1.4. Завдання № R50 папірусу Ринда

"Є кола в 9 khet. Яка площа кола? Потрібно відняти від 9 одиницю. Залишиться 8. Помножте 8 на 8. Це буде дорівнювати 64. Ось перед вами і відповідь - площа кола дорівнює 64 setjat. Докладний хід обчислення:"
1 х 9 = 9
1 / 9 х 9 = 1

"Після вирахування виходить 8".

1 х 8 = 8
2 х 8 = 16
4 х 8 = 32
8 х 8 = 64

"Площа кола становить 64".

Очевидно, що в даному випадку застосовувалася така формула: ~ Aire = (d - (\ frac {1} {9}) \ cdot d) ^ 2 . Тут видається, що діаметр дорівнює 9 khet. Однак те ж саме можна було написати й інакше: ~ Aire = (\ frac {64} {81}) \ cdot d ^ 2 . Сучасна формула для обчислення площі кола: ~ \ Pi \ cdot r ^ 2 або ~ (\ Frac {\ pi} {4}) \ cdot d ^ 2 . Вчені вважають, що єгиптяни для свого часу досягли великих успіхів у математиці - вони визначали відношення довжини кола до довжини її діаметру (або ~ \ Pi ) Рівним ~ \ Frac {256} {81} , Тобто 3,1605. Це дуже близько до істини. Проте "Завдання R50" свідчить, що єгиптяни не знали про існування константи.


1.5. Завдання № R51 папірусу Ринда

трикутник з завдання R51 папірусу Ринда
Приклад розрахунку площі трикутника. Якщо хтось говорить вам: "Трикутник має" mryt "в 10 кхет, а його основа - 4 кхета. Яка його площа?" Обчислити вам потрібно половину від 4-х. Потім 10 помножте на 2. Ось перед вами і відповідь.

Слово "mryt" ймовірно означає висоту. "Кхет" - міра вимірювання.

~ A = \ frac {base} {2} {mryt}

Формула єгиптян ідентична сучасної:

~ S = \ frac {ah} {2}

1.6. Завдання № R52 папірусу Ринда

Завдання R52 папірусу Ринда присвячена обчисленню площі трапеції.

"Яка площа усіченого трикутника, якщо його висота - 20 кхет, підстава - 6 кхет, а верхнє підстава - 4 кхета? Складіть нижнє підставу трапеції з верхнім. Отримайте 10. Розділ 10 навпіл. А потім 5 помножте на 20. Пам'ятайте, що 1 кхет = 1000 ліктів. Порахуйте ваш відповідь ".

1 х 1000 = 1000
1 / 2 х 1000 = 500
1 х 1000 = 2000
2 х 1000 = 4000
4 х 1000 = 8000


10000 (тобто 100 setjat)

Це рішення можна виразити такою формулою: ~ A = \ frac {1} {2} \ cdot (4 + 6) \ cdot 20 .

1.7. Завдання № R56 папірусу Ринда

Зображення піраміди. Обчислення нахилу b / h

Завдання R56, R57, R58 і R59 папірусу Ринда детально розглядають способи обчислення нахилу піраміди.

Давньоєгипетський термін "секед" позначав кут нахилу. Він перебував через висоту, розділену на половину підстави.

"Довжина піраміди зі східної сторони становить 360 (ліктів), висота - 250 (ліктів). Обчислити потрібно нахил східної сторони. Для цього візьміть половину від 360, тобто 180. Розділіть 250 на 180. Ви отримаєте: 1 / 2, 1 / 5, 1 / 50 ліктя. Врахуйте, що один лікоть дорівнює 7 ширині долонь. Помножте тепер отримані числа на 7 наступним чином: "
1 / 2 х 7; 7 / 2 = 3 1 / 2
1 / 5 х 7; 7 / 5 = 1 1 / 3 х 1 / 15
1 / 50 х 7; 7 / 50 = 1 / 10 х 1 / 25

Нахил дорівнює 5 1 / 25 долонь.

Цікаво, що єгиптяни у вирішенні цього завдання використовували одночасно дві системи виміру - "лікті" і "долоні". Сьогодні при вирішенні цього завдання ми знайшли б тангенс кута: знаючи половину основи і апофему. [2]

У загальному вигляді єгипетська формула обчислення секеда піраміди виглядає так: ~ Seqed = \ frac {a} {h} \ cdot 7 .


1.8. Завдання № R64 папірусу Ринда

Завдання № R64 папірусу Ринда говорить нам про те, що в Стародавньому Єгипті застосовувалася в обчисленнях арифметична прогресія.

"Приклад поділу на частини. Якщо хтось говорить вам: у нас є 10 hqat пшениці на 10 осіб, але є різниця між ними в 1 / 8 hqat пшениці. В середньому це 1 hqat. Віднімаємо 1 з 10, отримуємо 9. Візьмемо половину від різниці, тобто 1 / 16. Помножимо на 9. Далі 1 / 2 і 1 / 16 hqat додамо до середнього значення і віднімемо 1 / 8 hqat у кожного наступного людини. Ось розрахунки того, про що з вами говоримо: ".
1 1 / 2 1 / 16
1 1 / 4 1 / 8 1 / 16
1 1 / 4 1 / 16
1 1 / 8 1 / 16
1 1 / 16
1 / 2 1 / 4 1 / 8 1 / 16
1 / 2 1 / 4 1 / 16
1 / 2 1 / 8 1 / 16
1 / 2 1 / 16
1 / 4 1 / 8 1 / 16


10

Пояснення: Завдання полягає в тому, щоб поділити 10 hqat пшениці між 10 людьми. Позначимо людей: H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 і H10. S - загальна кількість, тобто 10 hqat пшениці. N - кількість частин. У кожного різна кількість hqat. При цьому в кожного на 1 / 8 hqat більше, ніж у попереднього. Нехай H2 = H1 + 1 / 8, H3 = H2 + 1 / 8 і т.д., в останнього найбільше пшениці. Крок прогресії становить R = 1 / 8.

Знаходимо середню кількість hqat, яке лунає кожному, тобто S / N = 10/10 = 1.

Потім обчислимо ту різницю, яка виходить при подальшому розподілі. Тобто N-1 = 10-1, дорівнює 9. Таким чином R / 2 = 1 / 16, а R / 2 * (N-1) = 1 / 16 * 9 = 1 / 2 + 1 / 16. Найбільша кількість обчислюється за формулою: R / 2 * (N-1) + S / N = 1 / 2 + 1 / 16 + 1.

Розподіл на 10 частин:

H10 = 1 + 1 / 2 + 1 / 16.
H9 = H10 - 1 / 8 = 1 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16
H8 = H9 - 1 / 8 = 1 + 1 / 4 + 1 / 16
H7 = H8 - 1 / 8 = 1 + 1 / 8 + 1 / 16
H6 = H7 - 1 / 8 = 1 + 1 / 16
H5 = H6 - 1 / 8 = 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16
H4 = H5 - 1 / 8 = 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 16
H3 = H4 - 1 / 8 = 1 / 2 + 1 / 8 + 1 / 16
H2 = H3 - 1 / 8 = 1 / 2 + 1 / 16
H1 = H2 - 1 / 8 = 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16


Підсумок = 10

Цілком можливе вирішення цього завдання мало практичне застосування.

Можна записати рішення у вигляді формул:

\ H_ {N} = (S / N) + (N-1) * R / 2 \,

\ H_ {n-1} = H_n - r \,

1.9. Завдання № R79 папірусу Ринда

Завдання № R79 папірусу Ринда говорить нам про те, що в Стародавньому Єгипті застосовувалася в обчисленнях геометрична прогресія. Втім нам відомо тільки те, що єгиптяни використовували для прогресії числа "2" і "1 / 2", тобто могли отримувати такі значення як: 1 / 2, 1 / 4, 1 / 8 ... і 2, 4, 8, 16 ... Так само залишається відкритим питання про практичне використання геометричній прогресії в Давньому Єгипті.

1 2801
2 5602
4 11204


7 19607
Будинків 7
Кішок 49
Мишей 343
Солод 2401 (переписувач помилково написав 2301)
Hqat 16807

19607

Примітки

  1. K. Vogel, Vorgriechische Mathematik, p.66
  2. Апофема - висота бічної грані правильної піраміди.

Література

  • Бобинін В. В. Математика древніх єгиптян (по папірусу Ринда). М., 1882.
  • Ван дер Варден Б. Л. прокидається наука: Математика стародавнього Єгипту, Вавилона і Греції. М.: Фізматгіз, 1959. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
  • Вигодський М. Я. Арифметика і алгебра в Стародавньому світі. М.: Наука, 1967.
  • РАІК А. Є. Нариси з історії математики в давнину. Саранськ, Мордовське держ. вид-во, 1977.
  • Gillings RJ Mathematics in the time of the pharaohs. Cambridge: MIT Press, 1972.
  • Peet TE The Rind mathematical papyrus. Liverpool UP, L.: Hodder & Stoughton, 1923.
  • Robins G., Shute CCD The Rhind mathematical papyrus: an Ancient Egyptian text. NY, Dover, 1987.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Папірус
Папірус Весткар
Папірус (рослина)
Московський математичний папірус
Туринський царський папірус
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru