Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Парабола



План:


Введення

Парабола, її фокус і директриса
Парабола, її фокус і директриса
Конічний перетин : Парабола як конічний перетин
Ексцентриситет : ~ \ Textstyle e = 1
Рівняння: ~ \ Textstyle y ^ 2 = 2px
гіпербола парабола еліпс окружність

Парабола ( греч. παραβολή - Додаток) - геометричне місце точок, рівновіддалених від даної прямий (званою директоркою параболи) і даної точки (званою фокусом параболи).

Поряд з еліпсом і гіперболою, парабола є конічним перетином. Вона може бути визначена як конічний перетин з одиничним ексцентриситетом.

Parabel som keglesnit.jpg
Парабола - конічний перетин

1. Рівняння

Канонічне рівняння параболи в прямокутної системі координат :

~ \ Textstyle y ^ 2 = 2px (Або ~ \ Textstyle x ^ 2 = 2py , Якщо поміняти місцями осі).
Висновок
Parabola4.svg

Рівняння директриси ~ PQ : ~ \ Textstyle x + \ frac {p} {2} = 0 , Фокус - ~ \ Textstyle F \ left (\ frac {p} {2}; 0 \ right) , Таким чином початок координат ~ O - Середина відрізка ~ CF . За визначенням параболи для будь-якої точки ~ M , Що лежить на ній виконується рівність ~ KM = FM . ~ \ Textstyle KM = KD + DM = \ frac {p} {2} + x і ~ \ Textstyle FM = \ sqrt {\ left (x-\ frac {p} {2} \ right) ^ 2 + y ^ 2} , Тоді рівність набуває вигляду:

~ \ Sqrt {\ left (x-\ frac {p} {2} \ right) ^ 2 + y ^ 2} = \ frac {p} {2} + x .

Після зведення в квадрат і деяких перетворень виходить равносильное рівняння ~ Y ^ 2 = 2px .

Квадратне рівняння ~ Y = ax ^ 2 + bx + c при ~ A \ neq 0 також являє собою параболу і графічно зображується тієї ж параболою, що і ~ Y = ax ^ 2 , Але на відміну від останньої має вершину не на початку координат, а в деякій точці ~ A , Координати якої обчислюються за формулами:

~ X_A =- \ frac {b} {2a}, \; y_A =- \ frac {D} {4a}, де D = b 2 - 4 a c - дискриминант

Рівняння ~ Y = ax ^ 2 + bx + c може бути представлено у вигляді ~ Y = a (x-x_A) ^ 2 + y_A , А в разі перенесення початку координат в точку ~ A канонічним рівнянням. Таким чином для кожного квадратного рівняння можна знайти систему координат таку, що в цій системі воно представляється канонічним.


1.1. Розрахунок коефіцієнтів квадратного рівняння

Якщо для рівняння ~ Y = ax ^ 2 + bx + c відомі координати 3-х різних точок його графіка ~ (X_ {1}; y_ {1}) , ~ (X_ {2}; y_ {2}) , ~ (X_ {3}; y_ {3}) , То його коефіцієнти можуть бути знайдені так:

b = \ frac {y_ {2}-y_ {1}} {x_ {2}-x_ {1}}-a (x_ {1} + x_ {2}), c = \ frac {x_ {2} y_ {1}-x_ {1} y_ {2}} {x_ {2}-x_ {1}} + ax_ {1} x_ {2}


2. Властивості

  • Парабола - крива другого порядку.
  • Вона має вісь симетрії, званої віссю параболи. Вісь проходить через фокус і перпендикулярна директрисі.
  • Оптичне властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається в її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що знаходиться у фокусі, відображається параболою в пучок паралельних її осі променів.
  • Для параболи ~ Y ^ 2 = x фокус знаходиться в точці (0,25; 0).
Для параболи ~ Y = \ frac {x ^ 2} {4f} фокус знаходиться в точці (0; f).
  • Якщо фокус параболи відобразити щодо дотичній, то його образ буде лежати на директрисі.
  • Парабола є антіподерой прямий.
  • Всі параболи подібні. Відстань між фокусом і директрисою визначає масштаб.
  • При обертанні параболи навколо осі симетрії виходить еліптичний параболоїд.
Відстань від Pn до фокусу F таке ж, як і від Pn до Qn (на директрисі L)
Довжина ліній F-Pn-Qn однакова. Можна сказати, що, на відміну від еліпса, другий фокус у параболи - в нескінченності)
Ілюстрація до доведення теореми Паскаля через теорему про 9 точках

3. Параболи у фізичному просторі

Параболічний компас Леонардо да Вінчі

Траєкторії деяких космічних тіл ( комет, астероїдів та інших), що проходять у районі зірки або іншого масивного об'єкта ( зірки або планети) на досить великий швидкості мають форму параболи (або гіперболи). Ці тіла внаслідок своєї великої швидкості не захоплюються гравітаційним полем зірки і продовжують вільний політ. Це явище використовується для гравітаційних маневрів космічних кораблів (зокрема апаратів Вояджер).

При відсутності опору повітря траєкторія польоту тіла в наближенні однорідного гравітаційного поля являє собою параболу.

Також параболічні дзеркала використовуються в аматорських переносних телескопах систем Кассергена, Шмідта - Кассергена, Ньютона, а у фокусі параболи встановлюють допоміжні дзеркала, що подають зображення на окуляр.

При обертанні судини з рідиною навколо вертикальної осі поверхню рідини в посудині і вертикальна площину перетинаються по параболі.

Властивість параболи фокусувати пучок променів, паралельних осі параболи, використовується в конструкціях прожекторів, ліхтарів, фар, а також телескопів-рефлекторів (оптичних, інфрачервоних, радіо ...), в конструкції вузьконаправлених ( супутникових та інших) антен, необхідних для передачі даних на великі відстані, сонячних електростанцій і в інших областях.

Форма параболи іноді використовується в архітектурі для будівництва дахів і куполів.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Полукубіческая парабола
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru