Парадокс Белла

Парадокс Белла - один з відомих релятивістських парадоксів спеціальної теорії відносності, пов'язаний з неможливістю визначення поняття " абсолютно твердого тілапросторі-часі теорії відносності. У найбільш відомому варіанті самого Белла [1] парадокс виникає при розгляді уявного експерименту, що включає в себе два прискорюваних в одному і тому ж напрямку космічних корабля і сполучає їх натягнуту до межі струну (один корабель летить строго попереду іншого, тобто прискорення направлено вздовж струни). Якщо кораблі почнуть синхронно прискорюватися, то в супутньої кораблям системі відліку відстань між ними почне збільшуватися і струна розірветься. З іншого боку, в системі відліку, в якій кораблі спочатку спочивали, відстань між ними не збільшується, і тому струна розірватися не повинна. Яка точка зору правильна? Відповідно до теорії відносності, перша - розрив струни.

Хронологічно перша згадка парадоксу міститься в роботі Е. Девана і М. Бера 1959 [2], які розглядали результат подібного уявного експерименту як підтвердження реальності релятивістського скорочення тел.


1. Уявний експеримент Белла

У версії Белла два космічні кораблі, спочатку покояться щодо деякої інерціальної системи відліку (ІСО), з'єднуються натягнутої до межі струною. У нульовий момент часу по годинах відповідної ІСО обидва кораблі починають прискорюватися з постійним власним прискоренням g , Вимірюваним розміщеними на борту кожного корабля акселерометрами. Питання полягає в тому, розірветься Чи струна, тобто чи збільшиться відстань між кораблями?

Відповідно до думки Девана і Бера, а також Белла, у системі відліку, в якій спочатку кораблі спочивали, відстань між ними буде залишатися незмінним, але довжина струни буде випробовувати релятивістське скорочення, так що в деякий момент часу струна розірветься.

Проти такого рішення проблеми були висунуті заперечення, які потім, у свою чергу, були піддані критиці. Наприклад, Пол норок ( англ. Paul Nawrocki ) Припускав, що струна не повинна розірватися [3], в той час як Едмонд Деван ( англ. Edmond Dewan ) Захищав свою вихідну точку зору у повторній роботі [4] Белл писав, що він зустрів стриманий скептицизм "одного відомого експериментатора" у відповідь на свій виклад парадоксу. Для того, щоб вирішити суперечку, було проведено неформальне нарада теоретичного відділу ЦЕРНу. Белл стверджує, що "ясним загальною думкою" відділу стало визнання того, що струна не повинна розірватися. Далі Белл додає: "Звичайно, багато людей, що отримали спочатку неправильна відповідь, дійшли до вірного шляхом подальших міркувань" [1]. Пізніше, в 2004, Мацуда і Кіносіта [5] писали, що опублікована ними в японському журналі робота, яка містить незалежно Перевідкриття варіант парадоксу, була сильно розкритикована. Автори, проте, не дають посилань на критичні роботи, стверджуючи тільки, що вони були написані на японській мові.


2. Аналіз

В подальшому аналізі будемо розглядати космічні кораблі як точкові тіла і розглядати тільки довжину струни. Аналіз відноситься до випадку, коли кораблі заглушають двигуни після деякого проміжку часу T . Будуть використовуватися Галілеєві координати у всіх інерціальних системах відліку.

Розрив струни між кораблями, які починають рухатися з прискоренням.

Відповідно до викладом Девана і Бера, а також Белла, у системі відліку "стартових майданчиків" (щодо якої кораблі спочивали до початку роботи двигунів і яку ми будемо називати СО S ) Відстань між кораблями A і B - L , Повинно залишатися постійним "за визначенням".

Це можна проілюструвати наступним чином. Зсув кораблів щодо своїх вихідних позицій - уздовж осі X СО S - Як функція часу може бути записана у вигляді f (t) . Ця функція, взагалі кажучи, залежить від функції тяги двигунів, але важливо, що вона однакова для обох космічних кораблів. Тому положення кожного корабля як функція часу буде:

x_A = a_0 + f (t), \ quad x_B = b_0 + f (t),

де

f (t) при t <0 дорівнює 0 і неперервна при всіх значеннях t ;
x_A - Положення ( x -Координата) корабля A ;
x_B - Положення ( x -Координата) корабля B ;
a_0 - Положення корабля A при t = 0 ;
b_0 - Положення корабля B при t = 0 .

З цього x_A - x_B = a_0 - b_0 \, що є постійною величиною, не залежною від часу. Такий аргумент справедливий для всіх типів синхронного руху.

Таким чином, знання детального вигляду f (t) не є необхідним для подальшого аналізу. Відзначимо, однак, що форма f (t) для постійного власного прискорення добре відома (див. гіперболічної рух).

Світові лінії двох спостерігачів A і B, які починають рухатися в одному напрямку з постійним прискоренням. У точках A 'і B' спостерігачі припиняють прискорення. Пунктирна лінія є "лінією одночасності" для спостерігача A. Чи є просторовий відрізок A'B "більш довгим, ніж відрізок AB?

Розглядаючи просторово-часову діаграму (праворуч), можна помітити, що космічні кораблі припинять прискорюватися в подіях A ' і B ' , Які одночасні в СО S . Очевидно також, що ці події не одночасні в СО, супутньої кораблям. Це є прикладом відносності одночасності.

З попереднього ясно, що довжина лінії A'B ' дорівнює довжині AB , Яка, в свою чергу, збігається з початковим відстанню L між кораблями. Також очевидно, що швидкості кораблів A і B в СО S після закінчення фази прискореного руху дорівнюють v . Нарешті, власне відстань між космічними кораблями A і B після закінчення фази прискореного руху буде дорівнює відстані в супутньої ІСО і дорівнює довжині лінії A'B'' . Ця лінія є лінією постійного t ' - Тимчасової координати супутньої системи відліку, яка пов'язана з координатами в СО Sперетвореннями Лоренца :

t '= \ frac {\ left (t - vx / c ^ 2 \ right)} {\ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2}}.

A'B'' являє собою лінію, взяту одночасно щодо СО космічних кораблів, тобто - для них - чисто просторову. Так як інтервал є інваріантом відносно перетворень СО, можна обчислити його в будь-якій зручній системі відліку, в даному випадку в S .

Математично через координати в СО S вищевикладені міркування записуються так:

t_ {B '} = t_ {A'} \,,
x_B - x_A = x_ {B '}-x_ {A'} = L \,,
x_ {B''} - x_ {B '} = v \ left (t_ {B''} - t_ {B'} \ right),
t_ {B''} - \ frac {v} {c ^ 2} x_ {B''} = t_ {A '} - \ frac {v} {c ^ 2} x_ {A'} \,,
\ Overline {A'B''} = \ sqrt {\ left (x_ {B''}-x_ {A '} \ right) ^ 2 - c ^ 2 \ left (t_ {B''} - t_ {A '} \ right) ^ 2} \,.

Ввівши допоміжні змінні

H = t_ {B''} - t_ {B '} = t_ {B''} - t_ {A'} \,,
W = x_ {B''} - x_ {B '} \,,

і помічаючи, що

W + L = x_ {B''} - x_ {B '} + x_ {B'} - x_ {A '} = x_ {B''} - x_ {A'} \,,

можна переписати рівняння як

W = v H \ qquad H = \ frac {v} {c ^ 2} \ left (W + L \ right) \ qquad \ overline {A'B''} = \ sqrt {\ left (W + L \ right ) ^ 2 - c ^ 2 H ^ 2}

і вирішити його:

\ Overline {A'B''} = \ frac {L} {\ sqrt {1 - \ displaystyle \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}}.

Отже, при описі в супутньої системі відліку відстань між кораблями збільшується в \ Gamma = 1 / \ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2} раз. Оскільки струна не зможе так розтягнутися, вона порветься.

Белл зазначив, що релятивістське скорочення тіл, так само як і відсутність скорочення відстаней між космічними кораблями в розглянутому уявному експерименті, можна пояснити динамічно, використовуючи рівняння Максвелла. Спотворення міжмолекулярних електромагнітних полів викликає скорочення рухомих тіл - або напруги в них, якщо запобігати їх скорочення. Але між кораблями ці сили не діють.


3. Контекст і споріднені проблеми

Парадокс Белла дуже рідко згадується в друкованих підручниках з теорії відносності, але іноді описується в інтернет-курсах.

Більш часто в підручниках і монографіях згадується еквівалентна задача М. Борна про жорсткий русі. Замість питання про відстані між кораблями з однаковим прискоренням, дана проблема стосується питання про необхідному для другого корабля прискоренні для збереження постійного відстані між кораблями в їх супутньої системі відліку. Прискорення повинні бути, взагалі кажучи, різними [6] [7]. Щоб два космічних корабля, спочатку спочивали в деякій ІСО, зберігали постійним власне відстань один від одного, передній корабель повинен мати нижча власне прискорення [7] [8]).

Близькоспоріднених завданням є також проблема синхронізації годин на однаково прискорених кораблях, розібрана в 1907 Ейнштейном [9]. Вона привела його до думки про гравітаційному червоному зміщенні і гравітаційному уповільненні часу.


Примітки

  1. 1 2 Bell, JS Speakable and unspeakable in quantum mechanics. - Cambridge: Cambridge University Press, 1987. - ISBN ISBN 0-521-52338-9 Відома книга, що містить передрук вихідної статті Белла 1976.
  2. Dewan, E.; Beran, M. (March 20 1959). " Note on stress effects due to relativistic contraction - on stress effects due to relativistic Journal of Physics ( American Association of Physics Teachers) 27 (7): 517-518. DOI : 10.1119/1.1996214 - dx.doi.org/10.1119/1.1996214. Перевірено 2006-10-06.
  3. Nawrocki, Paul J. (October 1962). " Stress Effects due to Relativistic Contraction - Journal of Physics 30 (10): 771-772. DOI : 10.1119/1.1941785 - dx.doi.org/10.1119/1.1941785. Перевірено 2006-10-06.
  4. Dewan, Edmond M. (May 1963). " Stress Effects due to Lorentz Contraction - Journal of Physics 31 (5): 383-386. DOI : 10.1119/1.1969514 - dx.doi.org/10.1119/1.1969514. Перевірено 2006-10-06. . (Відзначимо також, що ця стаття містить першу згадку про парадоксі сходів.)
  5. Matsuda, Takuya; & Kinoshita, Atsuya (2004). "A Paradox of Two Space Ships in Special Relativity". AAPPS Bulletin February:?. eprint version - www.aapps.org/archive/bulletin/vol14/14_1/14_1_p03p07.pdf
  6. Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald Gravitation. - San Francisco: WH Freeman, 1973. - P. 165. - ISBN ISBN 0-7167-0344-0
  7. 1 2 Nikolić, Hrvoje (6 April 1999). " Relativistic contraction of an accelerated rod - Journal of Physics (American Association of Physics Teachers) 67 (11): 1007-1012. DOI : 10.1119/1.19161 - dx.doi.org/10.1119/1.19161. Перевірено 2006-10-07. eprint version - arxiv.org/physics/9810017
  8. Рівноприскореного система відліку - synset.com / ru / Равноускоренная_система_отсчета
  9. Ейнштейн, А. Про принципі відносності та його наслідках.
    Російський переклад див
    А. Ейнштейн. Збори наукових праць, т. 1. - М., изд-во "Наука", 1965.