Парадокс Еренфеста - уявний експеримент, який розглядає диск, обертовий зі швидкістю, близькою.

У сучасному розумінні показує несумісність деяких понять класичної механіки зі спеціальною теорією відносності, а також можливість різного визначення понять часу і відстані в обертових системах відліку.

Даний парадокс був висунутий Еренфест в 1909 році після розробки Ейнштейном спеціальної теорії відносності.


1. Суть парадоксу

Розглянемо окружність (або порожнистий циліндр), що обертається навколо своєї осі. Так як швидкість кожного елемента кола направлена ​​по дотичній, то вона (окружність) повинна відчувати лоренцеве скорочення, тобто її розмір для зовнішнього спостерігача повинен здаватися менше, ніж її власна довжина.

Якщо окружність має радіус R , То для зовнішнього спостерігача її довжина дорівнює 2 \ pi R .

Однак, враховуючи лоренцеве скорочення, власна довжина кола виявиться більше:

l = \ frac {2 \ pi R} {\ sqrt {1 - (v / c) ^ 2}} = \ frac {2 \ pi R} {\ sqrt {1 - \ left (\ displaystyle \ frac {\ omega R} {c} \ right) ^ 2}},

де \ Omega - кругова частота, c - швидкість світла.

Таким чином, спочатку нерухома жорстка окружність після її розкручування повинна парадоксальним чином зменшувати свій радіус, щоб зберегти довжину.

За міркуванням Еренфеста абсолютно тверде тіло неможливо привести в обертовий рух [1], оскільки в радіальному напрямку лоренцева стиснення бути не повинно. Отже диск, колишній в спочиваючої стані плоским, при розкручуванні повинен якось змінити свою форму.

Довжини світлих кіл утворюють арифметичну прогресію, проте їх радіуси зростають, при збільшенні лінійної швидкості, все повільніше. Зелені ризики відзначають радіуси, одержувані розподілом довжин на 2 \ pi .

2. Теоретичний аналіз

2.1. Обертання в теорії відносності

Просторово-часова геометрія околосветовой обертання
Уповільнення часу біля краю диска

Міркування Еренфеста показує неможливість приведення абсолютно твердого тіла (спочатку спокою) в обертання.

Воно, тим не менш, не спростовує існування жорстких рівномірно обертових дисків. Однак їх просторова геометрія повинна бути відмінна від евклідової.

Просторово-часове опис такого диска можливо за допомогою координат Борна, однак протягом часу на ньому буде відрізнятися від галілеєвих.

Швидкість часу буде залежати від відстані до центру, а швидкості світла вперед і назад по напрямку обертання в координатах Борна виявляться різні). Побудувати ортогональну просторово-часову систему координат, прив'язану до обертовому диску, виявляється неможливо.

Тим не менш, виявляється можливим коректно визначити відстань на обертовому диску в сенсі римановой метрики.


2.2. Геометрія обертового диска

Користуючись координатами Борна, ми можемо визначити власне відстань між дуже близькими [2] точками диска. Їх можна представляти, наприклад, сусідніми молекулами або атомами в металі, з якого зроблений диск.

Локально відстань виявляється влаштовано саме так, як вважав Еренфест: уздовж окружностей власне відстань перевищує видиме в точності за законом лоренцева скорочення, а в напрямку радіусів виявляється незмінним, тобто рівним різниці радіусів.

Обчислення показують, що обертовий диск, хоча передбачається лежачим в площині, повинен (в сенсі своєї, власної геометрії) бути поверхнею з негативною кривизною.

Якщо вважати що розглядається обертове тіло має товщину, то вздовж неї (тобто в напрямку вздовж осі обертання), як і в радіальних напрямках, різниці між природними і видимими відстанями не спостерігається. У координатах (\ Varphi, \; r, \; z) , Таким чином, метрика всіх трьох розмірностей простору буде виглядати як:

\ Frac {c ^ 2 \, r ^ 2} {c ^ 2 - \ omega ^ 2 \, r ^ 2} \, d \ varphi ^ 2 + dr ^ 2 + dz ^ 2.

2.3. Парадокс Еренфеста і ОТО

Дозвіл "парадоксу" в сучасній формі залучає такий математичний апарат як криволінійні координати і геодезичні, характерний для загальної теорії відносності. Тим не менше, хоча поняття ОТО цілком застосовні до даного випадку, слід мати на увазі що парадокс Еренфеста розглядається в плоскому, нескривленими просторі Маньківського. Обертання диска в гравітаційному полі буде представляти вже іншу задачу.


3. Фізичне тлумачення

Околосветовой обертання твердого тіла навряд чи може спостерігатися на практиці, оскільки відцентрова сила повинна приводити (для диска, не утримуваного ніякими силами, окрім власної міцності) до напругам порядку щільності матеріалу помноженої на c ^ 2 , Які не зможе витримати ніяке речовина або матеріал.

Якщо ж компенсувати відцентрову силу гравітаційним полем (як відбувається, наприклад, в пульсарах), то ми вийдемо за рамки застосовності СТО і геометрія тіла, очевидно, зміниться іншим чином, ніж описано вище.

При досягненні же розкручуваним диском помірній швидкості обертання його форма змінюється набагато сильніше від пружних деформацій, ніж через ефектів СТО. Релятивістський ефект Еренфеста лише повинен незначно підсилити поздовжнє (вздовж напрямку обертання) розтягнення матеріалу диска.


Примітки

  1. Фізика ч.2. Енциклопедія для дітей. Том 16. стор.123 [ ISBN 5-8483-0030-5 ]
  2. Строго кажучи, відносна швидкість цих двох точок повинна бути багато менше світловий, в межах застосовності класичної механіки.
Перегляд цього шаблону Уявні експерименти
Персоналій
і персонажів

Лаплас : Демон Лапласа Максвелл : Демон Максвелла Шредінгер : Кіт Шредінгера Рассел : Чайник Рассела Ейнштейн : Парадокс Ейнштейна - Подольського - Розена

Апорії Зенона : Ахіллес і черепаха Дихотомія Стадіон Стріла Зенона
Фізичні Демон Лапласа Демон Максвелла Квантове безсмертя Квантове самогубство Кіт Шредінгера Парадокс Белла Парадокс субмарини Парадокс Ейнштейна - Подольського - Розена Парадокс близнюків Мікроскоп Гейзенберга Гарматне ядро ​​Ньютона Парадокс Еренфеста
Кібернетичні Завдання двох генералів Завдання візантійських генералів Китайська кімната Імітація реальності Мозок у колбі
Інші Теорема про нескінченних мавпах Парадокс Ньюкома Дилема ув'язненого Кімната Марії Парадокс Левинталя Філософський зомбі
Наукова методологія Мислення (філософія)