Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Паралелограм



План:


Введення

Паралелограм

Паралелограм ( др.-греч. παραλληλόγραμμον від παράλληλος - Паралельний і γραμμή - Лінія) - це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, тобто лежать на паралельних прямих. Окремими випадками паралелограма є прямокутник, квадрат і ромб.


1. Властивості

  • Протилежні сторони паралелограма рівні.
    \ Left | AB \ right | = \ left | CD \ right |, \ left | AD \ right | = \ left | BC \ right | .
  • Протилежні кути паралелограма рівні.
    \ Angle A = \ angle C, \ angle B = \ angle D.
  • Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.
    \ Left | AO \ right | = \ left | OC \ right |, \ left | BO \ right | = \ left | OD \ right | .
  • Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180 .
  • Будь діагональ ділить паралелограм на 2 рівних трикутника.
  • Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма.
  • Бісектриса відсікає від паралелограма рівнобедрений трикутник.
  • Сума всіх кутів дорівнює 360 .
  • Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєною сумі квадратів його двох суміжних сторін:

нехай а - довжина сторони AB, b - довжина сторони BC, d 1 і d 2 - Довжини діагоналей; тоді

d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2 = 2 (a ^ 2 + b ^ 2).
Доказ

Провівши діагональ BD, ми отримаємо два трикутники: ABD і BCD, які дорівнюють, т.к. одна сторона у них загальна, а відповідні кути при боці BD рівні як навхрест лежачі при паралельних прямих A B | | C D , B C | | A D , Де BD - січна. З рівності трикутників випливає: | A B | = | C D |, | A D | = | B C | і ∠ A = ∠ С Протилежні кути ∠ B і ∠ D є рівними, тому що вони являють собою суми рівних кутів.

Нарешті, кути, прилеглі до однієї сторони, наприклад ∠ A і ∠ D, дають у сумі 180 , так як це кути внутрішні односторонні при паралельних прямих.

За теоремою косинусів: d_1 ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cos \ angle A. Оскільки \ Cos \ angle D = - \ cos \ angle A , То d_2 ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab \ cos \ angle A. Складаючи отримані рівності: d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2 = 2 (a ^ 2 + b ^ 2).

  • Афінний перетворення завжди переводить паралелограм в паралелограм. Для будь-якого паралелограма існує Афінний перетворення, яке відображає його в квадрат.

2. Ознаки паралелограма

Чотирикутник ABCD є параллелограммом, якщо виконується одна з таких умов:

  1. Протилежні сторони попарно рівні: ~ AB = CD, AD = BC .
  2. Протилежні кути попарно рівні: \ Angle A = \ angle C, \ angle B = \ angle D .
  3. Діагоналі діляться в точці їх перетину навпіл: ~ AO = OC, BO = OD .
  4. Сума сусідніх кутів дорівнює 180 градусів: \ Angle A + \ angle B = 180 ^ \ circ, \ angle B + \ angle C = 180 ^ \ circ, \ angle C + \ angle D = 180 ^ \ circ, \ angle D + \ angle A = 180 ^ \ circ .
  5. Протилежні сторони рівні і паралельні: AB = CD, AB \ parallel CD .
  6. Сума відстаней між серединами протилежних сторін опуклого чотирикутника дорівнює його напівпериметр.
  7. Сума квадратів діагоналей рівна подвоєній сумі квадратів сторін паралелограма: ~ AC ^ 2 + BD ^ 2 = 2AB ^ 2 +2 BC ^ 2

3. Площа паралелограма

S = a \ times h , Де a - сторона, h - висота проведена до цієї сторони.
S = a \ times b \ times \ sin \ alpha , Де a і b - сторони, а α - Кут між сторонами a і b.
S = \ frac {1} {2} AC \ times BD \ times \ sin \ angle AOB .


Багатокутники
За кількістю вершин
1-10 Одноугольнік (англ.) Двуугольнік Трикутник Чотирикутник ( Дельтоид) П'ятикутник Шестикутник семикутники Восьмикутник Дев'ятикутник Десятіугольнік
11-20 Одіннадцатіугольнік (англ.) Двенадцатіугольнік
Правильні
Опуклі Трикутник Чотирикутник П'ятикутник Шестикутник Семикутники Восьмикутник Дев'ятикутник ... 17-кутник ... 257-кутник ... 65537-кутник
Зірчаста форма Зірки ( Пентаграма Гексаграмма Октаграмма)
Опуклі

Чотирикутники : Паралелограм Прямокутник Ромб Трапеція

Планігон
Див також Теорія і практика: Належність точки багатокутнику Теорема Бойя - Гервіна Теорема Брахмагупти Теорема Гаусса - Ванцеля Формула Піка Теорема про суму кутів багатокутника

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Паралелограм сил
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru