Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Паралельне перенесення



План:


Введення

Паралельне перенесення вектора по замкненому контуру на сфері. Кут \ Alpha пропорційний площі всередині контуру.

Паралельне перенесення - ізоморфізм шарів над кінцями кусково гладкій кривій бази гладкого розшарування \ Eta: E \ to B , Який визначається деякою заданою зв'язністю на E . Зокрема, лінійний ізоморфізм дотичних просторів T_ {\ gamma (0)} (M) і T_ {\ gamma (1)} (M) , Який визначається уздовж кривої \ Gamma \ in M деякої заданої на Mафінної зв'язності.


1. Паралельне перенесення за афінної зв'язності

Нехай на гладкому різноманітті M задана аффинная зв'язність. Кажуть, що вектор X_1 \ in T_ {\ gamma (1)} (M) отриманий паралельним перенесенням з вектора X_0 \ in T_ {\ gamma (0)} (M) уздовж яка не має самопересеченій гладкої кривої \ Gamma: [0,1] \ to M , Якщо в околиці цієї кривої існує гладке векторне поле X з наступними властивостями:

  • виконуються рівності X (\ gamma (0)) = X_0 і X (\ gamma (1)) = X_1 ;
  • для будь-якого значення t \ in [0,1] виконується рівність \ Nabla_ {\ dot \ gamma (t)} X = 0 , Де символ \ Nabla позначає коваріантного похідну, а \ Dot \ gamma (t) є вектор швидкості \ Gamma .

Зауваження. Так як в локальних координатах справедливо рівність:

(\ Nabla_ {\ dot \ gamma} X) ^ i = \ frac {d} {dt} X ^ i + \ Gamma ^ i_ {jk} X ^ j \ dot \ gamma ^ k ,

і в цьому виразі немає приватних похідних від компонент вектора X , У визначенні паралельного перенесення не обов'язково вимагати, щоб векторне поле X було визначено в цілій околиці шляху \ Gamma (t) , Достатньо, щоб воно існувало і було гладким уздовж одного тільки цього шляху.

Паралельний перенос уздовж кусково гладкій кривій (включаючи криві з самопересеченія) визначається як суперпозиція паралельних переносів вздовж її не мають самопересеченій гладких кусків.

На основі поняття паралельного перенесення вектора визначаються поняття паралельного перенесення тензора довільної валентності.


1.1. Властивості паралельного перенесення векторів

  • Згідно теорії звичайних диференціальних рівнянь, рішення задачі Коші довільного лінійного ОДУ продовжується необмежено уздовж будь гладкої кривої, тому задаючи вектор у початковій точці і вказуючи шлях паралельного перенесення, цей вектор однозначно переноситься в будь-яку точку цього шляху.
  • При перенесенні векторів уздовж одного і того ж шляху зберігаються всі лінійні співвідношення між ними.
  • Перенесення векторів оборотно: достатньо кінцеві вектора перенести вздовж дороги назад, щоб вийшли вихідні вектора.
  • Як наслідок двох попередніх властивостей виходить, що оператор паралельного перенесення вздовж кривої \ Gamma являє собою лінійний ізоморфізм просторів T_ {\ gamma (0)} (M) і T_ {\ gamma (1)} (M) .
  • Якщо аффинная зв'язність узгоджена з метричним тензором на ріманових різноманітті ( зв'язність Леві-Чівіта), тоді оператор паралельного перенесення є ортогональним, тобто зберігає скалярні твори векторів, їх довжини і кути між ними.
  • Важливою властивістю паралельного перенесення є також незалежність результату перенесення від параметризації шляху (еквівалентні шляхи дадуть однаковий результат). У той же час паралельне перенесення вздовж різних кривих зазвичай призводить до різних результатів.

2. Пов'язані визначення

  • Геодезична - гладкий шлях, у якого дотичний вектор в кожній точці виходить паралельним перенесенням дотичного вектора з будь-якої іншої точки.
  • Група голономіі - група \ Phi_x автоморфізмів дотичного простору T_xM , Обумовлена ​​паралельними перенесенням уздовж замкнутих кусочно гладких кривих. При цьому, для зв'язного різноманіття \ Phi_x і \ Phi_y завжди сполучені між собою.

3. Історія

Розвиток поняття паралельного перенесення почалося зі звичайного паралелізму на евклідовій площині, для якої Міндінг в 1837 вказав можливість узагальнити її на випадок поверхні в \ R ^ 3 за допомогою введеного ним поняття розгортання кривої \ Gamma \ in S на площину \ R ^ 2 . Це вказівка ​​Міндінга послужило відправним пунктом для Леві-Чивіти, який, оформляючи аналітично паралельний перенос дотичного вектора на поверхні, виявив залежність його тільки від метрики поверхні і на цій основі узагальнив його відразу на випадок n -Мірного ріманова простору (див. Зв'язність Леві-Чивіти). Подальші узагальнення цього поняття пов'язані з розвитком загальної теорії зв'язності.


Література

  • Рашевський П. До Ріманова геометрія і тензорний аналіз. - Будь-яке видання.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Перенесення (типографіка)
Перенесення столиці
Перенесення (психологія)
Засіб перенесення даних Windows
Перенесення столиці Росії з Петрограда до Москви
Перенесення столиці Росії з Санкт-Петербурга до Москви
Перенесення столиці Росії з Москви до Санкт-Петербурга
Перенесення столиці Росії з Москви до Санкт-Петербурга (1730-е)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru