Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Перестановною багатогранник



План:


Введення

Перестановною багатогранник порядку 4

В математики перестановною багатогранник порядку n - це (n - 1)-мірний опуклий багатогранник, вкладений в n-мірний евклидово простір, який є опуклою оболонкою всіх n! точок, які утворюються перестановками координат вектора (1, 2, 3, ..., n).


1. Історія

Згідно Г. Циглер [1], перестановною багатогранник вперше вивчався P. Schoute в 1911 році. Сам термін "перестановною багатогранник" (точніше, його французький варіант "permutodre") вперше з'явився в статті G.-T.Guibaud і P. Rosenstiehl в 1963 році. Пропонуючи його автори писали, що словосполучення "перестановною багатогранник" виглядає варварськи, але легко запам'ятовується і що вони залишають використання цього терміна на розсуд читача.

Близьким поняттям є багатогранник Біркгофа, який визначається як опукла оболонка матриць перестановок. У більш загальній ситуації V.-J.Bowman в 1972 році використав термін "перестановною багатогранник" (в оригіналі він пише по англійськи "permutation polytope") для будь-якого багатогранника, вершини якого знаходяться у взаємно однозначним дотриманням з перестановками деякого безлічі.


2. Вершини, ребра і грані

Перестановною багатогранник порядку n має n! вершин, кожна з яких з'єднана з n - 1 іншими вершинами, так що загальне число ребер дорівнює (n - 1) n! / 2. Кожне ребро має довжину √ 2 і з'єднує дві вершини, що виходять один з одного перестановкою двох координат за умови, що значення цих координат розрізняються на одиницю. [2]

Перестановною багатогранник має одну гіпергрань для кожного непорожньої власного підмножини S безлічі {1, 2, 3, ..., n}, що складається з усіх вершин, у яких всі координати з номерами, що увійшли в S, мають менші значення, ніж всі координати з номерами, не ввійшли в S. Звідси випливає, що загальна кількість гіперграней дорівнює 2 n - 2.


3. Інші властивості

Перестановною багатогранник є вершинно-транзитивним, а саме: симетрична група S n діє на множині вершин перестановочного багатогранника допомогою перестановок координат.

Перестановною багатогранник є зонотопом; паралельна копія перестановочного багатогранника може бути отримана як сума Минковского n (n - 1) / 2 прямолінійних відрізків, що з'єднують всі пари векторів стандартного базису. [3]

Неорієнтований граф, утворений вершинами і ребрами перестановочного багатогранника, ізоморфний графу Келі симетричної групи. [1]


4. Замощення простору

Замощення простору перестановки многогранниками

Перестановною багатогранник порядку n повністю утримується в (n - 1)-мірною гіперплощини, що складається з усіх точок, сума координат яких дорівнює

1 + 2 + ... + n = n (n + 1) / 2.

Більше того, ця гіперплоскость може бути вимощена нескінченною кількістю паралельних копій перестановочного багатогранника. Кожна з цих копій відрізняється від вихідного перестановочного багатогранника на елемент якоїсь (n - 1)-мірною решітки, утвореної n-мірними векторами, всі координати яких цілочисельні, їх сума дорівнює нулю, причому всі координати належать одному класу вирахувань по модулю n:

x 1 + x 2 + ... + x n = 0, x 1x 2 ≡ ... ≡ x n (mod n).

Наприклад, з перестановки багатогранник порядку 4, зображений на малюнку, замощает 3-мірний простір за допомогою паралельних переносів. Тут 3-мірний простір розглядається як Афінний підпростір 4-мерноего простору R 4 з координатами x, y, z, w, що утворене четвірками дійсних чисел, сума яких дорівнює 10, тобто

x + y + z + w = 10.

Легко перевірити, що для кожного з наступних чотирьох векторів

(1,1,1, -3), (1,1, -3,1), (1, -3,1,1) і (-3,1,1,1),

сума координат дорівнює нулю і всі координати порівнянні з 1 по модулю 4. Будь-які три з цих векторів породжують грати паралельних переносів.

Замощення, побудовані таким способом з перестановки багатогранників порядку 3 та 4, є замощенням правильними шестикутниками і замощенням усіченими октаедра відповідно.


5. Галерея

Порядок 2 Порядок 3 Порядок 4
2 вершини 6 верхових 24 вершини
Permutohedron order 2.svg Permutohedron order 3.svg Symmetric group 4; permutohedron 3D; permutations and inversion vectors.svg
Перестановною багатогранник порядку 2 - це відрізок на діагоналі одиничного квадрата. Перестановною багатогранник порядку 3 - це правильний шестикутник, що є перетином 2 2 2 куба. Перестановною багатогранник порядку 4 - це усічений октаедр.
Порядок 5 Порядок 6
120 вершин 720 вершин
Omnitruncated 5Cell as Permutohedron.svg Omnitruncated Hexateron as Permutohedron.svg
Перестановною багатогранник порядку 5. Перестановною багатогранник порядку 6.

6. Зауваження

  1. 1 2 Gnter M. Ziegler, `Lectures on Polytopes ', Springer-Verlag, 1995.
  2. P. Gaiha and SKGupta, `Adjacent vertices on a permutohedron ', SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 32, issue 2, P. 323-327 (1977).
  3. Gnter M. Ziegler, `Lectures on Polytopes ', Springer-Verlag, 1995. P. 200.

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Багатогранник
Правильний багатогранник
Зірчастий багатогранник
Напівправильні багатогранник
Двоїстий багатогранник
Згинаних багатогранник
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru