Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Перетворення Галілея



План:


Введення

Перетворення Галілея - в класичної механіки ( механіці Ньютона) перетворення координат і часу при переході від одного інерціальної системи відліку (ІСО) до іншої [1]. Термін був запропонований Філіпом Франком в 1909. [2] Перетворення Галілея увазі однаковість часу у всіх системах відліку ("абсолютний час" [3]) і виконання принципу відносності (принцип відносності Галілея (див. нижче)).

  • Перетворення Галілея є граничним (приватним) випадком перетворень Лоренца для швидкостей, малих порівняно зі швидкістю світла в просторі і в обмеженому обсязі простору. Для швидкостей аж до порядку швидкостей руху планет в Сонячній системі (і навіть великих), перетворення Галілея наближено вірні з дуже великою точністю.

1. Вид перетворень при колінеарних осях [4]

Якщо ІСО S рухається щодо ІСО S 'з постійною швидкістю u \ вздовж осі x \ , А початку координат збігаються в початковий момент часу в обох системах, то перетворення Галілея мають вигляд:

x '= x + u t, \
{Y '} = y, \
{Z '} = z, \
t '= t \

або, використовуючи векторні позначення,

\ Vec {r '} = \ vec r + \ vec u t, \
t '= t \

(Остання формула залишається вірною для будь-якого напрямку осей координат).

  • Як бачимо, це просто формули для зсуву початку координат, лінійно залежить від часу (мається на увазі однаковим для всіх систем відліку).


З цих перетворень слідують співвідношення між швидкостями руху точки та її прискореннями в обох системах відліку:

\ Vec {v '} = \ vec v + \ vec u,
\ Vec {a '} = \ vec a
  • Перетворення Галілея є граничним (приватним) випадком перетворень Лоренца для малих швидкостей u \ ll c (Багато менше швидкості світла).

2. Формула перетворення швидкостей

Досить продиференціювати \ Vec r у формулі перетворень Галілея, наведеної вище, і відразу ж вийде наведена в тому ж параграфі поруч формула перетворення швидкості.


Наведемо більш елементарний, але і більш загальний висновок - для випадку довільного руху початку відліку однієї системи щодо іншої (при відсутності обертання). Для такого більш загального випадку, можна отримати формулу перетворення швидкостей, наприклад, так.

Розглянемо перетворення довільного зсуву початку відліку на вектор \ Vec r_o ,

де радіус-вектор якогось тіла A в системі відліку K позначимо за \ Vec r , А в системі відліку K '- за \ Vec {r '} ,

маючи на увазі, як завжди у класичній механіці, що час t в обох системах відліку одне і те ж, а все радіус-вектори залежать від цього часу: \ Vec r_o = \ vec r_o (t), \ vec r = \ vec r (t), \ vec {r '} = \ vec {r'} (t) .

Тоді в будь-який момент часу

\ Vec r = \ vec r_o + \ vec {r '}

і зокрема, з огляду

\ Delta \ vec r = \ vec r (t + \ Delta t) - \ vec r (t), ~ \ Delta \ vec r_o = \ vec r_o (t + \ Delta t) - \ vec r_o (t), ~ \ Delta \ vec {r '} = \ vec {r'} (t + \ Delta t) - \ vec {r '} (t) ,

маємо:

\ Begin {matrix} \ vec r (t) = \ vec r_o (t) + \ vec {r '} (t) \ \ \ vec r (t + \ Delta t) = \ vec r_o (t + \ Delta t) + \ vec {r '} (t + \ Delta t) \ end {matrix} {\ Bigg \}} \ quad \ Rightarrow \ quad \ Delta \ vec r = \ Delta \ vec r_o + \ Delta \ vec {r'} \ quad \ Rightarrow \ quad \ frac {\ Delta \ vec r} {\ Delta t} = \ frac {\ Delta \ vec r_o} {\ Delta t} + \ frac {\ Delta \ vec {r '}} {\ Delta t}


\ Rightarrow \ quad <\ vec V> = <\ vec V_o> + <\ vec {V '}>

де:

<\ Vec V> - Середня швидкість тіла A щодо системи K;
<\ Vec V '> - Середня швидкість тіла А щодо системи K ';
<\ Vec V_o> - Середня швидкість системи K 'щодо системи K.

Якщо \ Delta t \ rightarrow 0 то середні швидкості співпадають з миттєвими:

\ Vec V \; = \ lim_ {\ Delta t \ rightarrow 0} \; \ Bigg (<\ vec V_o> + <\ vec {V '}> \ Bigg) = \ vec V_o + \ vec {V'}

або коротше

\ Vec V \; = \ vec V_o + \ vec {V '}

- Як для середніх, так і для миттєвих швидкостей (формула складання швидкостей).

Таким чином, швидкість тіла відносно нерухомої системи координат дорівнює векторній сумі швидкості тіла відносно рухомої системи координат і швидкості системи відліку відносно нерухомої системи відліку. Аналогічно можна отримати формулу перетворення прискорень при переході з однієї системи координат в іншу, вірну за умови, що ці системи рухаються поступально один щодо одного:

\ Vec a = \ vec {a '} + \ vec {a_o}

3. Принцип відносності Галілея

З формули для прискорень випливає, що якщо рухома система відліку рухається відносно першої без прискорення, то є \ A_o = o , То прискорення \ Vec a тіла відносно обох систем відліку однаково.

Оскільки в ньютонівської динаміці з кінематичних величин саме прискорення грає роль (див. другий закон Ньютона), то, якщо досить природно припустити, що сили залежать лише від відносного положення і швидкостей фізичних тіл (а не їх положення щодо абстрактного початку відліку), виявиться, що всі рівняння механіки запишуться однаково в будь інерціальній системі відліку - інакше кажучи , закони механіки не залежать від того, в який з інерціальних систем відліку ми їх досліджуємо, не залежать від вибору в якості робочої якоїсь конкретної з інерціальних систем відліку. Також - тому - не залежить від такого вибору системи відліку бачимо рух тіл (враховуючи, звичайно, початкові швидкості). Це твердження відоме як принцип відносності Галілея, на відміну від Принципу відносності Ейнштейна

Іншим чином цей принцип формулюється (слідуючи Галілею) так: якщо в двох замкнутих лабораторіях, одна з яких рівномірно прямолінійно (і поступально) рухається відносно іншої, провести однаковий механічний експеримент, результат буде однаковим.

Вимога (постулат) принципу відносності разом з перетвореннями Галілея, видаються досить інтуїтивно очевидними, багато в чому слід форма і структура ньютонівської механіки (і історично також вони мали істотний вплив на її формулювання). Говорячи ж дещо формально, вони накладають на структуру механіки обмеження, досить суттєво впливають на її можливі формулювання, історично дуже сильно сприяли її оформлення.


Примітки

  1. Будучи чисто кінематичними, перетворення Галілея застосовні і до неінерційній систем відліку - але лише за умови їх рівномірного прямолінійного поступального руху один щодо одного - що обмежує їх важливість в таких випадках. Разом з привілейованої роллю інерційних систем відліку, цей факт призводить до того, що в переважній кількості випадків про перетворення Галілея говорять саме в зв'язку з останніми.
  2. Frank P. / Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien.-1909. - Ila, Bd 118.-S. 373 (esp. p. 382).
  3. від абсолютного часу фізики взагалі кажучи довелося відмовитися на початку ХХ-го століття - заради збереження принципу відносності в його сильною формулюванні, що припускає вимога однаковості записи всіх фундаментальних рівнянь фізики в будь-який (інерціальної; а пізніше принцип відносності був поширений і на неінерціальні) системі відліку.
  4. Принциповий інтерес з точки зору фізики є лише випадок, коли осі координат (якщо взагалі використовується координатне представлення; до символічної векторної формі запису це питання можна вважати не мають відношення) інерціальних систем, між якими проводиться перетворення, спрямовані однаково. В принципі вони можуть бути спрямовані і по-різному, але перетворення такого сорту представляють з фізичної точки зору лише технічний інтерес, так як зводяться до композиції перетворення з сонаправленностью осями, розглянутого в цій статті, та фіксованого (не залежить від часу) повороту осей координат, що представляє чисто геометричну задачу, до того ж в принципі нескладну. Поворот ж осей, що залежить від часу, означав би обертання координатних систем один щодо одного, і принаймні одна з них не могла б тоді бути інерціальної.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Галілея
Парадокс Галілея
Термометр Галілея
Життя Галілея
Число Галілея
Процес Галілея
Z-перетворення
Канонічне перетворення
Схема перетворення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru