В математики і обробці сигналів перетворення Гільберта - лінійний оператор, сопоставляющий кожної функції u (t) функцію H (u) (t) в тій же області.

Перетворення Гільберта може бути визначено в сенсі головного значення інтеграла по Коші:

H (u) (t) = \ frac {1} {\ pi} \ text {vp} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {u (\ tau)} {t-\ tau } \, d \ tau

Або, більш явно:

H (u) (t) = - \ frac {1} {\ pi} \ lim_ {\ epsilon \ to 0} \ int \ limits_ {\ epsilon} ^ \ infty \ frac {u (t + \ tau)-u ( t-\ tau)} {\ tau} \, d \ tau.

При дворазовому застосуванні перетворення Гільберта функція змінює знак:

H (H (u)) (t) =-u (t), \,

за умови, що обидва перетворення існують.


Зв'язок з перетворенням Фур'є

Перетворення Гільберта є множником в спектральній області.

\ Mathcal {F} (H (u)) (\ omega) =-i \ \ mathrm {sgn} (\ omega) \ cdot \ mathcal {F} (u) (\ omega),

де \ Mathcal {F} (f) (\ omega) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (t) e ^ {-i \ omega t} dt - Варіант прямого перетворення Фур'є без нормувальні множника.

Зворотне перетворення

H ^ {-1} =-H \,