Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Перетворення Лоренца



План:


Введення

Перетворення Лоренца - лінійні (або аффінниє) векторного перетворення (відповідно, аффинного) псевдоевклидова простору, що зберігає довжини або, що еквівалентно, скалярний твір векторів.

Перетворення Лоренца псевдоевклидова простору сигнатури (n-1, 1) знаходять широке застосування в фізиці, зокрема, в спеціальної теорії відносності (СТО), де як аффинного псевдоевклидова простору виступає чотиривимірний просторово-часової континуум ( простір Мінковського).


1. Перетворення Лоренца в математиці

Перетворення Лоренца являє собою природне узагальнення поняття ортогонального перетворення (тобто перетворення, що зберігає скалярний добуток векторів) з евклідових на псевдоевклидовой простору. Різниця між ними полягає в тому, що скалярний твір передбачається не позитивно визначеним, а лише невиродженим (так зване індефінітное скалярний твір).


1.1. Визначення

Перетворення Лоренца (лоренцева перетворення) псевдоевклидова векторного простору \, L - Це лінійне перетворення \, A: L \ to L , Зберігає індефінітное скалярний твір векторів. Це означає, що для будь-яких двох векторів x, y \ in L виконується рівність

\ Langle A (x), \, A (y) \ rangle = \ langle x, \, y \ rangle,

трикутними де дужками позначено індефінітное скалярний твір \ Langle x, \, y \ rangle в псевдоевклидовой просторі \, L .

Аналогічно, перетворення Лоренца (лоренцева перетворення) псевдоевклидова аффинного простору - це Афінний перетворення, що зберігає відстань між точками цього пространства.


1.2. Загальні властивості

  • Оскільки будь Афінний перетворення є композицією паралельного переносу (очевидним чином, що зберігає відстань між точками) і перетворення, що має нерухому крапку, то група перетворень Лоренца аффинного простору ( група Пуанкаре) виходить з групи перетворень Лоренца векторного простору ( група Лоренца) такої ж розмірності шляхом додавання до неї всіляких паралельних переносів.
  • Якщо в псевдоевклидовой векторному просторі \, L вибраний деякий базис e_1, \ ldots, e_n , То індефінітного для скалярного твору \ Langle x, \, y \ rangle визначена матриця Грама \, G . Тоді матриця \, A перетворення Лоренца задовольняє співвідношенню
A ^ * \, G \, A = G, \ qquad (*)

де зірочка означає транспонування матриці. І навпаки, будь-яка матриця \, A , Що задовольняє співвідношенню (*) , Є матрицею перетворення Лоренца. Зокрема, завжди можна обрати базис e_1, \ ldots, e_n таким чином, що індефінітное скалярний твір має вигляд

\ Langle x, \, y \ rangle = x_1y_1 + \ cdots + x_ky_k - x_ k {+1} y_ {k} +1 - \ cdots-x_ny_n,

і у рівності (*) матриця \, G - Діагональна із елементами \, 1 (Перші k ) І \, -1 (Останні n - k ).

  • Із співвідношення (*) випливає, що, як і у випадку ортогонального перетворення, визначник \, | A | = +1 або \, | A | =- 1 .
  • Якщо підпростір L_1 \ subset Lінваріантно щодо лоренцева перетворення A: L \ to L , То і його ортогональное (в сенсі даного індефінітного скалярного твори) доповнення L_1 ^ {\ perp} теж інваріантно відносно перетворення \, A , Причому \ Dim L_1 + \ dim L_1 ^ {\ perp} = \ dim L . Однак, на відміну від ортогональних перетворень евклідових просторів, рівність L_1 \ oplus L_1 ^ {\ perp} = L , Взагалі кажучи, не має місця (обидва підпростору \, L_1 і L_1 ^ {\ perp} можуть містити одні й ті ж ненульові вектори ізотропні, тобто L_1 \ cap L_1 ^ {\ perp} \ neq 0 , Оскільки будь ізотропний вектор ортогонален сам собі). [1]

1.3. Властивості в просторах сигнатури (n-1, 1)

  • З рівності \ Langle A (x), \, A (x) \ rangle = \ langle x, \, x \ rangle випливає, що лоренцева перетворення переводить світловий конус в себе, а також переводить у себе його зовнішність (у СТО - область абсолютно віддаленого). Однак при цьому дві компоненти світового конуса, розділені її вершиною (в СТО вони обмежують конус майбутнього і конус минулого), або можуть переходити в себе, або мінятися один з одним місцями.
  • Виходячи з розуміння, переставляє дана лоренцева перетворення \, A частини світлового конуса, або залишає їх на місці, а також з знака визначника \, | A | = \ pm 1 , Групу Лоренца можна поділити на 4 частини, які є її лінійно зв'язними компонентами (але підгрупою є лише одне з них). Цей факт (наявність чотирьох компонент связности) часто інтерпретують як наявність чотирьох орієнтацій псевдоевклидова простору (на відміну від евклідового простору, де є тільки дві орієнтації). [1]

1.4. Явний вигляд перетворень псевдоевклидовой площині

Лоренцева перетворення псевдоевклидовой площині можна записати в найбільш простому вигляді, використовуючи базис e, g , Що складається з двох ізотропних векторів :

\ Langle e, e \ rangle = 0, \ quad \ langle g, g \ rangle = 0, \ quad \ langle e, g \ rangle = 1 / 2.

Саме, залежно від знака визначника \, | A | = \ pm 1 , Матриця перетворення в даному базисі має вигляд:

A = \ begin {pmatrix} a & \ \ \, 0 \ \ 0 & \, 1 / a \ end {pmatrix} \ \ Leftrightarrow \ | A | = 1, \ qquad A = \ begin {pmatrix} 0 & \ a \ \ 1 / a & \, 0 \ end {pmatrix} \ \ Leftrightarrow \ | A | =- 1, \ qquad a \ neq 0.

Знак числа a визначає те, залишає перетворення \, A частини світлового конуса на місці ( a> 0 ), Або змінює їх місцями ( a <0 ).

Інший часто зустрічається вид матриць лоренцевих перетворень псевдоевклидовой площині виходить при виборі базису, що складається з векторів \, E '= e + g і \, G :

\ Langle e ', e' \ rangle = +1, \ quad \ langle g ', g' \ rangle = -1, \ quad \ langle e ', g' \ rangle = 0.

У базисі \, E ', g' матриця перетворення \, A має одну з чотирьох форм:

\ Begin {pmatrix} \ \ operatorname {ch} \ varphi & \ \ \ operatorname {sh} \ varphi \ \ \, \ operatorname {sh} \ varphi & \ \ operatorname {ch} \ varphi \ end {pmatrix}, \ quad \ begin {pmatrix} \ - \ operatorname {ch} \ varphi & \, \ - \ operatorname {sh} \ varphi \ \ \, - \ operatorname {sh} \ varphi & \, - \ operatorname {ch} \ varphi \ end {pmatrix }, \ quad \ begin {pmatrix} - \ operatorname {ch} \ varphi & \, - \ operatorname {sh} \ varphi \ \ \, \ operatorname {sh} \ varphi & \ \ operatorname {ch} \ varphi \ end {pmatrix }, \ quad \ begin {pmatrix} \ \ operatorname {ch} \ varphi & \ \, \ operatorname {sh} \ varphi \ \ \, - \ operatorname {sh} \ varphi & \, - \ operatorname {ch} \ varphi \ end {pmatrix}, \ qquad (0)

де \ Operatorname {sh} і \ Operatorname {} ch - гіперболічні синус і косинус.


1.5. Явний вид перетворень простору сигнатури (n-1, 1)

Лоренцева перетворення n -Мірного псевдоевклидова простору \, L зі скалярним добутком

\ Langle x, \, y \ rangle = x_1y_1 + \ cdots + x_ {n-1} y_ {n-1} - x_ny_n \ quad (1)

описуються наступною теоремою.

Теорема 1. Для всякого лоренцева перетворення \, A: L \ to L існують такі інваріантні підпростори L_0 \ subset L і L_1 \ subset L , Що обмеження скалярного твору (1) кожне з них невирождено і має місце ортогональное розкладання

L = L_0 \ oplus L_1, \ quad L_0 \ perp L_1,

причому підпростір \, L_0 зі скалярним добутком (1) є евклідовому і \ Dim L_1 \ leq 3 . [1]


Теорема 1 стверджує, що будь лоренцева перетворення псевдоевклидова простору \, L сигнатури (N - 1,1) задається лоренцевих перетворенням псевдоевклидова простору L_1 \ subset L розмірності 1 або 2 або 3 та ортогональним перетворенням евклідова простору L_0 \ subset L додатковою розмірності.

Лемма. Якщо \, \ Dim L_1 = 3 , То інваріантне псевдоевклидовой підпростір \, L_1 , В свою чергу, представимо у вигляді прямої суми

L_1 = M_1 \ oplus M_2 \ oplus M_3 або L_1 = M_1 \ oplus M_2

підпросторів M_i \ subset L_1 , Попарно ортогональних і інваріантних щодо перетворення \, A За винятком одного єдиного випадку, коли перетворення A: L_1 \ to L_1 має єдине власне значення \ Lambda = \ pm 1 кратності 3 та єдиний власний вектор e \ in L_1 є ізотропним: \ Langle e, \, e \ rangle = 0 . У цьому єдиному випадку інваріантне підпростір \, L_1 розкладається в пряму суму підпросторів ніяких, інваріантних щодо перетворення A: L_1 \ to L_1 , А є тривимірним кореневим підпростором цього перетворення. [1]


Теорема 1 разом з лемою дозволяють встановити наступний результат:

Теорема 2. Для всякого лоренцева перетворення \, A: L \ to L існує такий ортонормованій (щодо індефінітного скалярного твору (1)) базис e_1, \ ldots, e_n :

\ Langle e_1, \, e_1 \ rangle = \ cdots = \ langle e_ {n-1}, \, e_ {n-1} \ rangle = +1, \ quad \ langle e_n, \, e_n \ rangle = -1 , \ quad \ langle e_i, \, e_j \ rangle = 0 \ \, (\ forall \, i \ neq j),

в якому матриця \, A має діагональний блочно-вид з блоками наступних типів:

  • порядку 1 з елементом \ Pm 1 ,
  • порядка 2 - матриця повороту евклідовій площини на кут φ ,
  • порядку 2 - матриця лоренцева перетворення псевдоевклидовой площині виду (0) ,
  • порядку 3 - матриця лоренцева перетворення тривимірного псевдоевклидова простору з триразовим власним значенням \ Lambda = \ pm 1 і єдиним власним вектором, що є ізотропним.

При цьому матриця \, A може містити не більше одного блоку, що відноситься двом останнім типам. [1]


Крім того, має наступне місце подання лоренцевих перетворень n -Мірного псевдоевклидова простору \, L зі скалярним добутком (1) .

Теорема 3. Усяке лоренцева перетворення \, A: L \ to L простору \, L зі скалярним добутком (1) уявно у вигляді композиції наступних лінійних перетворень:

  • ортогонального перетворення евклідова підпростору, заданого рівнянням \, X_n = 0 , З координатами (X_1, \ ldots, x_ {n-1}) ,
  • лоренцева перетворення псевдоевклидовой площині з координатами \, (X_i, x_n) з деяким i ,
  • відображень виду x_i \ mapsto \ pm x_i , i \ in \ {1, \ ldots, n \} . [2]



2. Перетворення Лоренца в фізиці

Перетвореннями Лоренца у фізиці, зокрема, в спеціальної теорії відносності (СТО), називаються перетворення, яким піддаються просторово-часові координати (X, y, z, t) кожної події під час переходу від однієї інерціальної системи відліку (ISO) до іншої. Аналогічно, перетворенням Лоренца при такому переході піддаються будь координати 4-вектора.

Щоб явно розрізнити перетворення Лоренца зі зрушеннями почала відліку і без зрушень, коли це необхідно, говорять про неоднорідних і однорідних перетвореннях Лоренца.

Перетворення Лоренца без зрушень початку відліку утворюють групу Лоренца, зі зрушеннями - группу Пуанкаре, иначе называемую неоднородной группой Лоренца.

С математической точки зрения преобразования Лоренца - это преобразования, сохраняющие неизменной метрику Минковского, то есть, в частности, последняя сохраняет при них простейший вид при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (другими словами преобразования Лоренца - это аналог для метрики Минковского ортогональных преобразований, осуществляющих переход от одного ортонормированного базиса к другому, то есть аналог поворота координатных осей для пространства-времени). В математике или теоретической физике преобразования Лоренца могут относиться к любой размерности пространства.

Именно преобразования Лоренца, смешивающие - в отличие от преобразований Галилея - пространственные координаты и время, исторически стали основой для формирования концепции единого пространства-времени.

  • Следует заметить, что лоренц-ковариантны не только фундаментальные уравнения (такие, как уравнения Максвелла, описывающее электромагнитное поле, уравнение Дирака, описывающее электрон и другие фермионы), но и такие макроскопические уравнения, как волновое уравнение, описывающее (приближенно) звук, колебания струн и мембран, и некоторые другие (только тогда уже в формулах преобразований Лоренца под c следует иметь в виду не скорость света, а какую-то другую константу, например скорость звука). Поэтому преобразования Лоренца могут быть плодотворно использованы и в связи с такими уравнениями (хотя и в довольно формальном смысле, впрочем, мало отличающемся - в своих рамках - от их применения в фундаментальной физике).

2.1. Вид преобразований при коллинеарных (параллельных) пространственных осях

Если ИСО K ' движется относительно ИСО K с постоянной скоростью v вдоль оси x , А начала пространственных координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Лоренца (прямые) имеют вид:

x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},
y'=y,\
z'=z,\
t'=\frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-v^2/c^2}},

де c - скорость света, величины со штрихами измерены в системе K ' , без штрихов - в K .

Эта форма преобразования (то есть при выборе коллинеарных осей), называемая иногда бустом (англ. boost ) или лоренцевским бустом (особенно в англоязычной литературе), несмотря на свою простоту, включает, по сути, всё специфическое физическое содержание преобразований Лоренца, так как пространственные оси всегда можно выбрать таким образом, а при желании добавить пространственные повороты не представляет трудности (см. это в явном развёрнутом виде ниже), хотя и делает формулы более громоздкими.

  • Формулы, выражающие обратное преобразование, то есть выражающие x ', y ', z ', t ' через x, y, z, t можно получить просто заменой v на v (абсолютная величина относительной скорости движения систем отсчёта | v | одинакова при измерении её в обеих системах отсчёта, поэтому можно при желании снабдить v штрихом, только при этом надо внимательно следить за тем, чтобы знак и определение соответствовали друг другу) и взаимной заменой штрихованных x і t с нештрихованными. Или решая систему уравнений (1) относительно x ', y ', z ', t ' .
  • Надо иметь в виду, что в литературе преобразования Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где c = 1 , что действительно делает их вид более изящным.
  • Видно, что при преобразованиях Лоренца события, одновременные в одной системе отсчёта, не являются одновременными в другой (относительность одновременности), кроме того, у движущегося тела сокращается продольный размер по сравнению с тем, какой оно имеет в сопутствующей ему системе отсчёта (лоренцево сокращение), а ход движущихся часов замедляется, если наблюдать их из "неподвижной" системы отсчёта (релятивистское замедление времени).

2.2. Вывод преобразований

Преобразования Лоренца могут быть получены абстрактно, из групповых соображений (в этом случае они получаются с неопределённым c ), как обобщение преобразований Галилея (что было проделано Пуанкаре - см. ниже). Однако впервые они были получены как преобразования, относительно которых ковариантны уравнения Максвелла (то есть по сути - которые не меняют вида законов электродинамики и оптики при переходе к другой системе отсчёта). Могут также быть получены из предположения линейности преобразований и постулата одинаковости скорости света во всех системах отсчёта (являющегося упрощённой формулировкой требования ковариантности электродинамики относительно искомых преобразований, и распространением принципа равноправия инерциальных систем отсчёта - принципа относительности - на электродинамику), как это делается в специальной теории относительности (СТО) (при этом c в преобразованиях Лоренца получается определённым и совпадает со скоростью света).

Надо заметить, что если не ограничивать класс преобразований координат линейными, то первый закон Ньютона выполняется не только для преобразований Лоренца, а для более широкого класса дробно-линейных преобразований [3] (однако этот более широкий класс преобразований - за исключением, конечно, частного случая преобразований Лоренца - не сохраняет метрику постоянной).


2.3. Разные формы записи преобразований

2.3.1. Вид преобразований при произвольной ориентации осей

В силу произвольности введения осей координат, многие задачи можно свести к указанному случаю. Если же задача требует иного расположения осей, то можно воспользоваться формулами преобразований в более общем случае. Для этого радиус-вектор точки

\mathbf{r'} = \mathbf{i}x' + \mathbf{j}y' + \mathbf{k}z' ,

де \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} - орты, надо разбить на составляющую \mathbf{r'_\|} параллельную скорости и составляющую \mathbf{r'_\perp} ей перпендикулярную

\mathbf{r'} = \mathbf{r'_\|} + \mathbf{r'_\perp} .

Тогда преобразования получат вид

\mathbf{r_\|}=\frac{\mathbf{r'_\|}+\mathbf{v}t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \mathbf{r_\perp}=\mathbf{r'_\perp},~~ t=\frac{t'+(v/c^2)r_\|}{\sqrt{1-v^2/c^2}} ,

де v = \left| \mathbf{v} \right| - абсолютная величина скорости, r_\| = \left| \mathbf{r_\|} \right| - абсолютная величина продольной составляющей радиус-вектора.

Эти формулы для случая параллельных осей, но с произвольно направленной скоростью, можно преобразовать к виду, впервые полученному Герглоцем:

\mathbf{r} = \frac{\mathbf{r'}+\mathbf{v}t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \frac{1}{v^2}\left( \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1 \right)(\mathbf{r'\otimes v})\otimes \mathbf{v}
t=\frac{t'+\mathbf{r'v}/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} .

Обратите внимание, что самый общий случай, когда начала координат не совпадают в нулевой момент времени, здесь не приведён с целью экономии места. Его можно получить, добавив к преобразованиям Лоренца трансляцию (смещение начала координат).


2.3.2. Преобразования Лоренца в матричном виде

Для случая коллинеарных осей преобразования Лоренца записываются в виде

\begin{bmatrix} c t \\x \\y \\z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{v}{c} \gamma&0&0\\ -\frac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t'\\x'\\y'\\z' \end{bmatrix} ,

де \gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} .

При произвольной ориентации осей, в форме 4-векторов это преобразование записывается как:

\begin{bmatrix} c t \\ \vec r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & -\frac{\vec v}{c} \gamma \\ -\frac{\vec v}{c} \gamma & E + \frac{\vec v \otimes \vec v}{v^2}(\gamma -1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t' \\ \vec r\,' \end{bmatrix}
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

где E - единичная матрица 3 \times 3, \otimes - тензорное умножение трехмерных векторов.

Надо иметь в виду, что в литературе матрица преобразований Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где c = 1 .

Произвольное однородное преобразование Лоренца можно представить как некоторую композицию вращений пространства и элементарных преобразований Лоренца, затрагивающих только время и одну из координат. Это следует из алгебраической теоремы о разложении произвольного вращения на простые.


2.4. Свойства преобразований Лоренца

  • Можно заметить, что в случае, когда c\rightarrow\infty, преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. То же самое происходит в случае, когда v/c\rightarrow0 . Это говорит о том, что специальная теория относительности совпадает с механикой Ньютона либо в мире с бесконечной скоростью света, либо при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Последее объясняет, каким образом сочетаются эти две теории - первая является обобщением и уточнением второй, а вторая - предельным случаем первой, оставаясь в этом качестве верной приближенно (с некоторой точностью, на практике часто очень и очень большой) при достаточно малых (по сравнению со скоростью света) скоростях движений.
  • Преобразования Лоренца сохраняют инвариантным интервал для любой пары событий (точек пространства-времени) - то есть любой пары точек пространства-времени Минковского:
    s = \sqrt{c^2 (\Delta t)^2- (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2}=\sqrt{c^2 (\Delta t')^2- (\Delta x')^2 - (\Delta y')^2 - (\Delta z')^2}.
    Убедиться в этом нетрудно, например, проверив явно то, что матрица преобразования Лоренца L ортогональна в смысле метрики Минковского
    \eta_{ik}=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}\right],
    определяемой таким выражением, то есть \sum_{i,k}L^i_j \eta_{ik} L^k_m = \delta_{jm} . Это проще всего проделать для буста, а для трехмерных вращений это очевидно из определения декартовых координат, кроме того, сдвиги начала отсчёта не меняют разностей координат. Следовательно, это свойство верно и для любых композиций бустов, вращений и сдвигов, что и составляет полную группу Пуанкаре; как только мы узнали, что преобразования координат ортогональны, из этого сразу следует, что формула для расстояния остаётся неизменной при переходе к новой системе координат - по определению ортогональных преобразований.
  • В частности, инвариантность интервала имеет место и для случая s = 0 , а значит - гиперповерхность в пространстве-времени, которая определяется равенством нулю интервала до заданной точки - световой конус - является неподвижной при преобразованиях Лоренца (что является проявлением инвариантности скорости света). Внутреность двух полостей конуса соответствует времениподобным - вещественным - интервалам от их точек до вершины, внешняя область - пространственноподобным - чисто мнимым (в принятой в этой статье сигнатуре интервала).
  • Другие инвариантные гиперповерхности однородных преобразований Лоренца (аналоги сферы для пространства Минковского) - гиперболоиды: двуполостный гиперболоид для времениподобных интервалов относительно начала координат, и однополостный - для пространственноподобных интервалов.
  • Матрицу преобразования Лоренца при коллинеарных пространственных осях (в системе единиц c =1) можно представить как:
    \begin{bmatrix} \mathop{\rm ch} \theta & -\mathop{\rm sh} \theta & 0 & 0\\ -\mathop{\rm sh} \theta & \mathop{\rm ch} \theta & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}
де \ Theta = \ mathop {\ rm Arth} (v / c) \ . У цьому легко переконатися з огляду \ Mathop {\ rm ch} ^ 2 \ theta - \ mathop {\ rm sh} ^ 2 \ theta = 1 \ і перевіривши виконання відповідного тотожності для матриці перетворення Лоренца в звичайному вигляді.
  • Якщо прийняти введені Мінковським позначення x_0 = ict, x_1 = x, x_2 = y, x_3 = z \ , То перетворення Лоренца для такої простору зводиться до повороту на уявний кут в площині, що включає вісь x_0 \ (Для випадку руху вздовж осі x_1 \ - В площині 0 x x 1 ). Це очевидно, виходячи із підстановки \ Mathop {\ rm ch} \ theta = \ mathop {\ rm cos} (i \, \ theta), \ \ mathop {\ rm sh} \ theta =-i \, \ mathop {\ rm sin} (i \ theta) в матрицю, наведену ледве вища - і її невеликого зміни для того щоб врахувати вводиться уявність тимчасової координати - і порівнянні її зі звичайною матрицею обертання.

2.5. Наслідки перетворень Лоренца

2.5.1. Зміна довжини

Нехай в системі відліку K '\, спочиває стрижень і координати його початку і кінця рівні x_2 '\, , x_1 '\, . Для визначення довжини стрижня в системі K \, фіксуються координати точок у цих же один і той же момент часу системи K \, . Нехай l_0 = x_2'-x_1 \, - Власна довжина стрижня в K '\, , А l = x_2-x_1 \, - Довжина стрижня в K \, . Тоді з перетворень Лоренца випливає:

l_0 = x'_2-x'_1 = \ frac {x_2-v \, t} {\ sqrt {1 - \ frac v {^ 2} {c ^ 2}}} - \ frac x_1 {-v \, t } {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} = \ frac {x_2-x_1} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}}

або

l = l_0 \ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}.

Таким чином, довжина рухомого стержня, виміряна нерухомими" спостерігачами, виявляється менше, ніж власна довжина стрижня.


2.5.2. Відносність одночасності

Якщо два рознесених в просторі події (наприклад, спалахи світла) відбуваються одночасно в рухомій системі відліку, то вони будуть неодночасно щодо "нерухомої" системи. При Δt '= 0 з перетворень Лоренца слід

Якщо Δx = x2 - x1> 0, то і Δt = t2 - t1> 0. Це означає, що, з точки зору нерухомого спостерігача, ліве подія відбувається раніше правого (t2> t1). Відносність одночасності приводить до неможливості синхронізації годин в різних інерційних системах відліку в усьому просторі.

Нехай в двох системах відліку, уздовж осі x розташовано синхронізовані в кожній системі години, і в момент збігу "центральних" годин (на малюнку нижче) вони показують однакову часом. Лівий рисунок показує, як ця ситуація виглядає з точки зору спостерігача в системі S. Годинники в рухомій системі відліку показують різний час. Знаходяться по ходу руху годинники відстають, а що знаходяться проти ходу руху випереджають "центральні" годинник. Аналогічна ситуація для спостерігачів в S '(правий малюнок).


2.5.3. Уповільнення часу для рухомих тіл

2.6. Пов'язані визначення

Лоренц-інваріантність - властивість фізичних законів записуватися однаково у всіх інерціальних системах відліку (з урахуванням перетворень Лоренца). Прийнято вважати, що цим властивістю повинні мати всі фізичні закони, і експериментальних відхилень від нього не виявлено. Однак деякі теорії поки не вдається побудувати так, щоб виконувалася Лоренц-інваріантність.

2.7. Історія

Перетворення названі на честь їх першовідкривача - Х. А. Лоренца, який вперше ввів їх (замість перетворень Галілея) як перетворень, що зв'язують геометричні величини (довжини кути), виміряних в різних інерційних системах відліку , Щоб усунути протиріччя між електродинамікою і механікою, які були в ньютонівської формулюванні, що включає перетворення Галілея, що в кінцевому підсумку привело до успіху при істотній модифікації механіки.

Спочатку було виявлено, що рівняння Максвелла інваріантні щодо подібних перетворень (В. Фогтом в 1887) [джерело не вказано 84 дні]. Це ж було повторене Лармора в 1900 [джерело не вказано 84 дня].

В 1892 Лоренц ввів теорію скорочення, яка передбачає скорочення довжин всіх твердих тіл в напрямку руху, що кількісно збігається із тим, що розуміється зараз під лоренцевих скороченням.

Перетворення Лоренца були вперше опубліковані Лоренцем в 1904, але в той час їх форма була недосконалою (їх було виведено з точністю до членів v 2 / c 2 , А у перетворенні струму була допущена помилка). До сучасного, повністю самоузгодженої увазі їх призвели французький математик А. Пуанкаре і паралельно і незалежно А. Ейнштейн у 1905 році. Анрі Пуанкаре першим встановив і детально вивчив одну з найважливіших властивостей перетворень Лоренца - їх групову структуру, і показав, що "перетворення Лоренца представляють ні що інше, як поворот в простір чотирьох вимірювань, точки якого мають координати (X, y, z, i t) ". [4]. В 1905 Ейнштейн у своїй теорії відносності прийшов до широко популярної згодом формально-аксіоматичної трактуванні цих перетворень.

Пуанкаре також ввів терміни "перетворення Лоренца" і " гурт Лоренца "та показав, виходячи з ефірної моделі, неможливість виявити рух щодо абсолютної системи відліку (тобто системи, в який ефір нерухомий), модифікувавши таким чином принцип відносності Галілея [джерело не вказано 84 дня]. Йому ж належить груповий висновок явного виду перетворень Лоренца (з невизначеним c) без незалежного постулату інваріантності швидкості світла [джерело не вказано 84 дня].

У 1910 році В.С.Ігнатовський першим спробував отримати Лоренца перетворення на основі теорії груп і без використання постулату про сталість швидкості світла [5].


Примітки

  1. 1 2 3 4 5 Шафаревич І. Р., Ремизов А. О. Лінійна алгебра і геометрія, гл. VII, пара. 8, - Физматлит, м. Київ, 2009.
  2. Петровський І. Г. Лекції про рівняння з приватними похідними, гл. II, пара. 14, - Будь-яке видання.
  3. Стаття Ф. Франк і Г. Роте - synset.com/ru/Франк_Роте_1911 "ber die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme" Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825-855 в якій вперше відзначено, що дробнолінейние перетворення є найбільш загальними перетвореннями, які узгоджуються з принципом відносності (російський переклад)
  4. Пуанкаре А. Про динаміку електрона .- В кн.: Принцип відносності: СБ робіт класиків релятивізму .- М.: Атомиздат, 1973, с. 90-93, 118 - 160.
  5. "Деякі загальні зауваження до принципу відносності" - synset.com/ru/Игнатовский_1910 Доповідь на спільному засіданні математичного і фізичного відділення 82-го зборів німецьких натуралістів і лікарів у м. Кенігсберг 21 Вересня 1910;
    von W. v. Ignatowsky, "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativittsprinzip, Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (російський переклад)

Література

  • Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Теория поля - Видання 7-е, виправлене. - М .: Наука, 1988. - 512 с. - ( "Теоретична фізика", том II). - ISBN 5-02-014420-7.
  • Фізична енциклопедія, т.2 - М .: Велика Російська Енциклопедія стр.608 - www.physicum.narod.ru/vol_2/608.pdf і стр.609 - www.physicum.narod.ru/vol_2/609.pdf.
  • Федоров Ф. І. Група Лоренца. - М .: Наука, 1979. 384 с.
  • Гельфанд І. М., Мінлос Р. А., З. Я. Шапіро Представлення групи обертань і групи Лоренца. М., 1958.
  • Шафаревич І. Р., Ремизов А. О. Лінійна алгебра і геометрія, - Физматлит, Москва, 2009.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Машина Лоренца
Метрика Лоренца
Група Лоренца
Аттрактор Лоренца
Висновок перетворень Лоренца
Z-перетворення
Схема перетворення
Модифіковане Z-перетворення
Проективне перетворення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru