Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Перетворення Мебіуса



План:


Введення

Вид перетворень на комплексній площині (сіра) і сфері Рімана (чорна)
Не слід плутати з зверненням Мебіуса.

Перетворення Мебіуса - дробно-лінійна функція одного комплексного змінного, тотожно не рівна константі:

f (z) = \ frac {az + b} {cz + d}, \ quad a, \; b, \; c, \; d \ in \ mathbb C, \ quad ad-bc \ ne 0.

Легко перевіряються наступні прості властивості:

  1. Тотожне відображення f (z) = z також є окремим випадком дробово-лінійної функції. Досить підставити a = d = 1, \; b = c = 0 .
  2. Суперпозиція дробно-лінійних відображень також буде представляти собою дробно-лінійну функцію.
  3. Функція, зворотна дробно-лінійною, також буде такою.

Звідси випливає, що дробно-лінійні відображення будуть утворювати групу щодо операції суперпозиції (група автоморфізмів сфери Рімана, що іменується також групою Мебіуса). Ця група є комплексно -тривимірної групою Лі.


1. Алгебраїчні властивості

При множенні параметрів a , b , c , d на ненульове комплексне число перетворення не змінюється. Говорячи формально, група Мебіуса є проектівізаціей групи GL_2 (\ mathbb C) , Тобто має місце епіморфізм : \ Left (\ begin {matrix} a && b \ \ c && d \ end {matrix} \ right) \ to \ frac {az + b} {cz + d} .

Група Мебіуса ізоморфна спеціальної ортохронной групі ЛоренцаSO ^ \ uparrow (1, \; 3) .

Припустимо, що матриця, відповідна перетворенню, нормалізована, тобто задовольняє умові ad-bc = 1 . Тоді, в залежності сліду цієї матриці, рівного a + d , Можна класифікувати всі дробно-лінійні відображення на три типи:

  • еліптичні: | A + d | <2 ;
  • параболічні: a + d = \ pm 2 ;
  • гіперболічні: | A + d |> 2 .

2. Геометричні властивості

По-перше, будь дробно-лінійне відображення може бути представлено у вигляді комбінації зрушень, інверсій, поворотів і розтягувань. Це доводиться просто - довільне відображення f (z) = \ frac {az + b} {cz + d} разложима в суперпозицію чотирьох функцій:

f (z) = f_4 (f_3 (f_2 (f_1 (z)))),

де

По-друге, безпосередньо з цього відразу слід властивість збереження кутів і збереження окружностей при дробно-лінійному відображенні, так як всі відображення, що входять в суперпозицію, конформних. Тут маються на увазі окружності на сфері Рімана, в число яких входять прямі на площині.

Далі, для довільних трьох точок z_1, \; z_2, \; z_3 існує єдине дробно-лінійне відображення, що переводить ці три точки в фіксовані три точки w_1, \; w_2, \; w_3 . Воно будується, виходячи з того, що дробно-лінійні відображення зберігають ангармонічним відношення чотирьох крапок комплексної площини. Шукане відображення будується заміною однієї з точок і її образу на змінну, відповідно, z і w і має загальний вигляд:

\ Frac {(z_1-z_3) (z_2-z)} {(z_1-z) (z_2-z_3)} = \ frac {(w_1-w_3) (w_2-w)} {(w_1-w) (w_2- w_3)}.

3. Перетворення Мебіуса і одиничний круг

Перетворення Мебіуса

f (z) = \ frac {az + b} {cz + d}

є автоморфізмом одиничного кола \ Delta = \ {z \ in {\ mathbb C}: \, | z | <1 \} тоді і тільки тоді, коли a {\ bar b} = c {\ bar d} і \ Frac {bc} {ad} належить полуінтервалу [0, \; 1) .

Як для сфери Рімана, так і для одиничного кола дробно-лінійними функціями вичерпуються всі конформні автоморфізм. Автоморфізм одиничного кола утворюють речовинно -тривимірну підгрупу групи Мебіуса; кожен з них виражається у вигляді:

f (z) = e ^ {i \ varphi} \ frac {z + \ beta} {{\ bar \ beta} z +1}, \ quad \ beta \ in \ Delta, \ quad | e ^ {i \ varphi} | = 1.

4. Приклади

Одним з важливих прикладів дробно-лінійної функції є перетворення Келі:

W (z) = \ frac {z-i} {z + i}.

Воно пов'язує дві канонічні області на комплексній площині, відображаючи верхню полуплоскость {\ Mathbb C} ^ + в одиничний круг \ Delta .


Література

  • Шабат Б. В. Введення в комплексний аналіз. - М .: Наука, 1969. - 577 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Функція Мебіуса
Стрічка Мебіуса
Ряд Мебіуса
Z-перетворення
Проективне перетворення
Перетворення Гільберта
Дуальне перетворення
Вейвлет-перетворення
Перетворення Радона
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru