Перетворення Радона

Перетворення Радона - інтегральне перетворення функції багатьох змінних, споріднене перетворенню Фур'є. Вперше введено в роботі австрійського математика Йоганна Радона 1917-го року [1].

Найважливіша властивість перетворення Радона - оборотність, тобто можливість відновлювати вихідну функцію по її перетворенню Радона.


1. Двовимірне перетворення Радона

Двовимірне перетворення Радона.
В даному випадку R (s, α) є інтеграл від f (x, y) вздовж прямої AA '

Розгляд перетворення Радона зручно почати з найпростішого випадку функції двох змінних, до того ж, саме цей випадок найбільш практично важливий.

Нехай f (x, y) функція двох дійсних змінних, визначена на всій площині і досить швидко убуває на нескінченності (так, щоб відповідні невласні інтеграли сходилися). Тоді перетворенням Радона функції f (x, y) називається функція

R (s, \ alpha) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} f (s \ cos \ alpha-z \ sin \ alpha, s \ sin \ alpha + z \ cos \ alpha) dz (1)

Перетворення Радона має простий геометричний зміст - це інтеграл від функції вздовж прямої, перпендикулярної вектору \ Vec {n} = (\ cos \ alpha, \ sin \ alpha) і проходить на відстані s (Виміряного вздовж вектора \ Vec {n} , З відповідним знаком) від початку координат.


1.1. Зв'язок перетворення Радона і перетворення Фур'є. Формула звернення

Розглянемо двовимірне перетворення Фур'є від функції f (x, y)

F (k_x, k_y) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x, y) e ^ {-i (k_x x + k_y y)} dx dy (2)

Можна помітити, що показник експоненти в цьому інтегралі не змінюється, якщо ми рухаємося уздовж прямої перпендикулярної вектору \ Vec {k} = (k_x, k_y) , І змінюється найбільш швидко якщо ми рухаємося уздовж цього вектора. Тому зручно перейти до нових змінним. Позначимо \ Vec {k} = (k_x, k_y) = \ omega (\ cos \ alpha, \ sin \ alpha) , Ми виберемо нові змінні s = x \ cos \ alpha + y \ sin \ alpha,z =-x \ sin \ alpha + y \ cos \ alpha . Зробивши заміну змінних в інтегралі, отримуємо

F (\ omega \ cos \ alpha, \ omega \ sin \ alpha) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} (\ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} f (s \ cos \ alpha-z \ sin \ alpha, s \ sin \ alpha + z \ cos \ alpha) e ^ {-i \ omega s} dz) ds

тобто

F (\ omega \ cos \ alpha, \ omega \ sin \ alpha) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {-i \ omega s} R (s, \ alpha) ds (3)

Таким чином, одномірне перетворення Фур'є від перетворення Радона для функції f (x, y) є не що інше як двовимірне перетворення Фур'є від функції f (x, y) . Оскільки перетворення Фур'є функції f (x, y) існує (це необхідна вихідне допущення), то існує і зворотне перетворення Фур'є від функції F (\ omega \ cos \ alpha, \ omega \ sin \ alpha) . Враховуючи (3), можна укласти, що повинно існувати і зворотне перетворення Радона.

Формула звернення для двовимірного перетворення Фур'є, як відомо, виглядає наступним чином

f (x, y) = \ frac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} F (k_x, k_y) e ^ {i (k_x x + k_y y)} dk_x dk_y.

Для наших цілей зручно переписати цю формулу в полярних координатах

f (x, y) = \ frac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} \ int \ limits_0 ^ {2 \ pi} e ^ {i \ omega ( x \ cos \ alpha + y \ sin \ alpha)} F (\ omega \ cos \ alpha, \ omega \ sin \ alpha) \ omega d \ alpha d \ omega ,

що, враховуючи (3), негайно дає формулу зворотного перетворення Радона

f (x, y) = \ frac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ int \ limits_0 ^ {2 \ pi} \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} e ^ {i \ omega ( x \ cos \ alpha + y \ sin \ alpha)} \ \ tilde {R} (\ omega, \ alpha) \ omega d \ omega d \ alpha (4),

де \ Tilde {R} (\ omega, \ alpha) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} R (s, \ alpha) e ^ {-i \ omega s} ds .

Вираз (4), крім того що є одним з варіантів запису зворотного перетворення Радона, також визначає метод реконструкції f (x, y) з її проекцій R (s, \ alpha_i) , Званий фахівцями методом Фур'є-синтезу. Таким чином, в методі Фур'є-синтезу спочатку необхідно сформувати з великої кількості одновимірних Фур'є-образів проекцій по полярній сітці \ Tilde {R} (\ omega, \ alpha_i) двовимірний спектр \ Tilde {R} (\ omega, \ alpha) (При цьому використовується теорема про центральний перетині), а потім виконати зворотне двовимірне перетворення Фур'є в полярній системі координат від \ Tilde {R} (\ omega, \ alpha) . Існують і інші методи реконструкції f (x, y) з R (s, \ alpha) [2]


1.2. Теорема про центральному перерізі

Застосуємо операцію прямого перетворення Фур'є до перетворення Радона від f (x, y) :

\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} R (s, \ alpha) e ^ {-i \ omega s} ds =\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} [\ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x, y) \ delta (s - x \ cos \ alpha - y \ sin \ alpha) dx dy] e ^ {-i \ omega s} ds

Перестановка порядку інтегрування та застосування фільтруючого властивості дельта функції приводять до формулювання теореми про центральному перерізі:

\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} R (s, \ alpha) e ^ {-i \ omega s} ds =\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} [\ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {-i \ omega s} \ delta (s - x \ cos \ alpha - y \ sin \ alpha)) ds] f (x, y) dx dy = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ limits_ { - \ infty} ^ {\ infty} f (x, y) e ^ {-i \ omega (x \ cos \ alpha + y \ sin \ alpha)} dx dy

З останнього рівності, зокрема, випливає, що Фур'є-образ проекції R (s, \ alpha) являє собою спектр функції f (x, y) вздовж прямої, що проходить через початок координат в частотній площині під кутом \ Alpha + \ pi / 2 . Таким чином Фур'є-образ проекції є центральним перетином двовимірного Фур'є-образу функції f (x, y) . В літературі це властивість називають теоремою про центральному шарі або центральному перерізі.


2. Застосування перетворення Радона

Схема отримання рентгенівської томограми

В комп'ютерної рентгенівської томографії лінійка детекторів вимірює поглинання досліджуваним об'єктом паралельного пучка випромінювання (наприклад, рентгенівських променів в медичній томографії, сейсмічних хвиль у геофізичної томографії). У відповідності з законом Бугера-Ламберта-Бера інтенсивність випромінювання, яка вимірюється детектором в точці s лінійки пропорційна \ Exp \ left \ {- \ int \ limits_ {AA '} \ rho (x, y) dz \ right \} , Де \ Rho (x, y)показник поглинання речовини об'єкта для даного типу випромінювання, а інтеграл береться вздовж прямої AA ' проходить через даний детектор і перпендикулярній лінійці детекторів (z - координата на цій прямій). Відповідно, логарифм від інтенсивності, узятий з оберненим знаком, дає перетворення Радона від показника поглинання. Обертаючи систему з джерела випромінювання і детектора довкола об'єкта (при цьому залишаючись в одній площині), або обертаючи сам об'єкт навколо осі, перпендикулярній площині, показання на малюнку, отримують безліч промінь-сум у вибраному зрізі об'єкта. Потім, використовуючи один із методів реконструкції, можна відновити розподіл показника поглинання в будь-якій точці прозондувати площині об'єкта.


3. Перетворення Радона для функції довільного числа змінних

Перетворення Радона для функції двох змінних можна зручно переписати через інтеграл по всьому простору за допомогою дельта-функції Дірака :

R (s, \ vec {n}) = \ int \ delta (\ vec {n} \ vec {r}-s) f (\ vec {r}) d \ vec {r} (2)

Тут ми позначили \ Vec {r} = (x, y) - Радіус-вектор з початку координат, d \ vec {r} = dx dy - Двовимірний елемент обсягу, \ Vec {n} - Одиничний вектор, який можна параметризовані як \ Vec {n} = (\ cos \ alpha, \ sin \ alpha) . За допомогою заміни змінних легко переконатися, що визначення перетворення Радона (1) і (2) повністю ідентичні.

Формула (2) тривіально узагальнюється на випадок довільного числа вимірів, для цього її навіть не треба переписувати, досить під \ Vec {r} , dV і \ Vec {n} розуміти відповідно N-мірний радіус-вектор з початку координат, елемент об'єму в N-мірному просторі і N-мірний одиничний вектор. В принципі, вектор \ Vec {n} можна параметризовані кутами в просторі будь-якого числа вимірів. Наприклад, в тривимірному просторі мається параметризація \ Vec {n} = (\ sin \ theta \ cos \ alpha, \ sin \ theta \ sin \ alpha, \ cos \ theta) .

Геометричний сенс перетворення Радона в багатовимірному випадку: інтеграл від функції по гіперплощини перпендикулярній вектору \ Vec {n} і проходить на відстані s від початку координат (взятому зі знаком мінус якщо перпендикуляр з початку координат на площину протилежно спрямований з вектором \ Vec {n} ).


3.1. Звернення багатовимірного перетворення Радона

У багатовимірному випадку перетворення Радона досить хорошою функції теж оборотно. Покажемо це.

Розглянемо перетворення Фур'є від R (s, \ vec {n}) по змінній s, тобто

\ Int R (s, \ vec {n}) e ^ {-is \ omega} ds .

Використовуючи формулу (2) і властивості дельта-функції ми отримаємо

\ Int R (s, \ vec {n}) e ^ {-is \ omega} ds = \ int f (\ vec {r}) e ^ {-i \ vec {r} \ vec {n} \ omega} d \ vec {r} .

Зауважимо тепер, що \ Int \ limits_ {0} ^ {\ infty} \ omega ^ {N-1} d \ omega \ int d \ vec {n} є інтеграл по всьому N-мірному простору (тут під інтегралом \ Int d \ vec {n} мається на увазі інтеграл по N-1 мірній сфері, зокрема, для N = 2 \ Int d \ vec {n} = \ int \ limits d \ alpha , Для N = 3 \ Int d \ vec {n} = \ int \ limits d \ phi \ cos \ theta d \ theta ). З цього випливає, що

\ Int \ limits_ {0} ^ {\ infty} \ frac {\ omega ^ {N-1} d \ omega} {(2 \ pi) ^ N} \ int d \ vec {n} e ^ {i (\ vec {r} '- \ vec {r}) \ omega \ vec {n}} = \ delta (\ vec {r} - \ vec {r}') .

Використовуючи це уявлення векторної дельта-функції отримуємо формулу звернення

f (\ vec {r} ') = \ int d \ vec {n} \ int \ limits_0 ^ {\ infty} \ frac {\ omega ^ {N-1} d \ omega} {(2 \ pi) ^ N } e ^ {i \ vec {r} '\ vec {n} \ omega} \ int ds e ^ {-is \ omega} R (s, \ vec {n}) .

Примітки

  1. J. Radon. ber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte lngs gewisser Mannigfaltigkeiten / / Berichte Schsische Akademie der Wissenschaften, Bande 29, s. 262-277, Leipzig, 1917.
  2. Глава 1 - tomoscan.ru/book/part3.htm