Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Перетворення Фур'є



План:


Введення

Перетворення Фур'є - операція, що зіставляє функції речовинної змінної іншу функцію дійсної змінної. Ця нова функція описує коефіцієнти ("амплітуди") при розкладанні вихідної функції на елементарні складові - гармонійні коливання з різними частотами.

Перетворення Фур'є функції f речовинної змінної є інтегральним перетворенням і задається наступною формулою:

\ Hat {f} (\ omega) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {-ix \ omega} \, dx.

Зазначимо, що різні джерела можуть давати визначення, що відрізняються від наведеного вибором коефіцієнта перед інтегралом, а також знака "-" в показнику експоненти. Всі властивості в цьому випадку будуть аналогічні, хоча вигляд якихось формул може змінитися.

Крім цього, існують різноманітні узагальнення цього поняття, які будуть наведені нижче.


1. Властивості

Хоча формула, що задає перетворення Фур'є, має ясний сенс тільки для функцій класуL_1 (\ R) , Перетворення Фур'є може бути визначено і для більш широкого класу функцій, і навіть узагальнених функцій. Це можливо завдяки ряду властивостей перетворення Фур'є:

\ Widehat {(\ alpha f + \ beta g)} = \ alpha \ hat {f} + \ beta \ hat {g}.
\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} | f (x) | ^ 2 \, dx = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} | {\ hat f (w)} | ^ 2 \, dw.

Ця властивість дозволяє по безперервності поширити визначення перетворення Фур'є на весь простір L_2 (\ R) . Рівність Парсеваля буде при цьому справедливо для всіх f \ in L_2 (\ R) .

  • Формула звернення:
f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \ hat {f} (w) e ^ {ix \ omega} \, dw

справедлива, якщо інтеграл в правій частині має сенс. Зокрема, це вірно, якщо функція f є досить гладкою. Якщо f \ in L_2 (\ R) , То формула також вірна, оскільки рівність Парсеваля дозволяє надати інтегралу в правій частині сенс за допомогою граничного переходу.

Ця формула пояснює фізичний сенс перетворення Фур'є: права частина - (нескінченна) сума гармонійних коливань e i ω x з частотами ω , Амплітудами \ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} | \ hat {f} (\ omega) | і фазовими зрушеннями \ Arg \ hat {f} (\ omega) відповідно.

  • Теорема про згортку: якщо f, \; g \ in L_1 (\ R) , Тоді
\ Widehat {(f \ ast g)} = \ sqrt {2 \ pi} \ widehat {f} \ widehat {g} , Де
(F \ ast g) (t) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} f (ts) g (s) \, ds.

Ця формула може бути поширена і на випадок узагальнених функцій.

  • Перетворення Фур'є і диференціювання. Якщо f, \; f '\ in L_1 (\ R) , То
\ Widehat {(f ')} = i \ omega \ widehat {f}.

З цієї формули легко виводиться формула для n -Й похідної:

\ Widehat {(f ^ {(n )})}=( i \ omega) ^ n \ widehat {f}.

Формули вірні і у випадку узагальнених функцій.

  • Перетворення Фур'є і зрушення.
\ Widehat {f (x-x_0)} = e ^ {-i \ omega x_0} \ hat {f} (w).

Ця і попередня формула є окремими випадками теореми про згортку, так як зсув по аргументу - це згортка з зрушеної дельта-функцією δ (x - x 0) , А диференціювання - згортка з похідною дельта-функції.

  • Перетворення Фур'є і розтяг.
\ Widehat {f (ax)} = | a | ^ {-1} \ hat {f} (w / a).
  • Перетворення Фур'є узагальнених функцій. Перетворення Фур'є можна визначити для широкого класу узагальнених функцій. Визначимо спочатку простір гладких швидко убувають функцій ( простір Шварца):
S (\ mathbb {R}): = \ left \ {\ varphi \ in C ^ {\ infty} (R): \ forall n, \; m \ in \ N \; x ^ n \ varphi ^ {(m )} (x) \ xrightarrow {x \ to \ pm \ infty} 0 \ right \}.

Ключовою властивістю цього простору є те, що це інваріантне підпростір по відношенню до перетворення Фур'є.

Тепер визначимо його двоїсте простір S ^ * (\ R) . Це деякий підпростір в просторі всіх узагальнених функцій - так звані узагальнені функції повільного зростання. Тепер для функції f \ in S ^ * (\ R) її перетворенням Фур'є називається узагальнена функція \ Hat {f} \ in S ^ * (\ R) , Що діє на основні функції за правилом

\ Langle \ hat {f}, \; \ varphi \ rangle = \ langle f, \; \ hat {\ varphi} \ rangle.

Наприклад, обчислимо перетворення Фур'є дельта-функції :

x} \, dx \ right \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varphi (x) \ cdot 1 \, dx = \ left \ langle \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}, \; \ varphi \ right \ rangle.

Таким чином, перетворенням Фур'є дельта-функції є константа \ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} .


2. Застосування перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є використовується в багатьох галузях науки - в фізиці, теорії чисел, комбінаториці, обробці сигналів, теорії ймовірностей, статистикою, криптографії, акустиці, океанології, оптиці, геометрії, і багатьох інших. В обробці сигналів і пов'язаних областях перетворення Фур'є звичайно розглядається як декомпозиція сигналу на частоти і амплітуди, тобто, зворотній перехід від тимчасового простору (time domain) в частотне простір (frequency domain). Багаті можливості застосування грунтуються на кількох корисних властивостях перетворення:

  • Перетворення є лінійними операторами і, з відповідною нормалізацією, також є унітарними (властивість, відоме як теорема Парсеваля або, в більш загальному випадку як теорема Планшереля, або в найбільш загальному як дуалізм Понтрягина).
  • Перетворення оборотні, причому зворотне перетворення має практично таку ж форму, як і пряме перетворення.
  • Синусоїдальні базисні функції (вірніше, комплексні експоненти) є власними функціями диференціювання, що означає, що дане подання перетворює лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами в звичайні алгебраїчні. (Наприклад, в лінійної стаціонарної системи частота - консервативна величина, тому поведінка на кожній частоті може вирішуватися незалежно.)
  • По теоремі про згортку, перетворення Фур'є перетворює складну операцію згортки у простої множення, що означає, що вони забезпечують ефективний спосіб обчислення заснованих на згортку операцій, таких як множення многочленів і множення великих чисел.
  • Дискретна версія перетворення Фур'є може швидко розраховуватися на комп'ютерах, використовуючи алгоритм швидкого перетворення Фур'є (ШПФ, англ. FFT ).

3. Різновиди перетворення Фур'є

3.1. Багатомірне перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є функцій, заданих на просторі \ R ^ n , Визначається формулою

\ Hat {f} (\ omega) = \ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n / 2}} \ int \ limits_ {\ R ^ n} f (x) e ^ {-ix \ cdot \ omega} \, dx.

Тут ω і x - Вектори простору \ R ^ n , x \ cdot \ omega - Їх скалярний твір. Зворотне перетворення в цьому випадку задається формулою

f (x) = \ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n / 2}} \ int \ limits_ {\ R ^ n} \ hat {f} (\ omega) e ^ {ix \ cdot \ omega } \, d \ omega.

Ця формула може бути інтерпретована як розкладання функції f в лінійну комбінацію ( суперпозицію) "плоских хвиль" виду e ^ {ix \ cdot \ omega} з амплітудами \ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {n / 2}} | \ hat {f} (\ omega) | , Частотами ω і фазовими зрушеннями \ Arg \ hat {f} (\ omega) відповідно. Як і колись, у різних джерелах визначення багатовимірного перетворення Фур'є можуть відрізнятися вибором константи перед інтегралом.

Зауваження щодо області завдання перетворення Фур'є і його основні властивості залишаються справедливими і в багатовимірному випадку, з наступними уточненнями:

  • Взяття приватних похідних під дією перетворення Фур'є перетворюється в множення на однойменну координату:
\ Widehat {\ frac {\ partial f} {\ partial x_k}} = i \ omega_k \ hat {f} (\ omega).
  • Змінюється константа в теоремі про згортку:
\ Widehat {(f \ ast g)} = (2 \ pi) ^ {n / 2} \ hat {f} \ hat {g}.
  • Перетворення Фур'є і стиснення координат:
\ Widehat {\ left (f \ left (\ frac {x} {| a |} \ right) \ right)} = | a | ^ n \ hat {f} (\ omega | a |).
\ Widehat {\ left (f (Ax) \ right)} = | \ det (A )|^{- 1} \ hat {f} (A ^ {-1} \ omega).

3.2. Ряди Фур'є

Безперервне перетворення саме фактично є узагальненням більш ранньої ідеї рядів Фур'є, які визначені для -Періодичних функцій і являють собою розкладання таких функцій в (нескінченну) лінійну комбінацію гармонійних коливань з цілими частотами:

f (x) = \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} \ hat {f} _n \, e ^ {inx}.

Розклад в ряд Фур'є застосовується також до функцій, заданих на обмежених проміжках, оскільки такі функції можуть бути періодично продовжені на всю пряму.

Ряд Фур'є є окремим випадком перетворення Фур'є, якщо останнє розуміти в сенсі узагальнених функцій. Для будь-якої -Періодичної функції маємо

\ Hat {f} (\ omega) = \ sqrt {2 \ pi} \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} \ hat {f} _n \ delta (\ omega-n).

Іншими словами, перетворення Фур'є періодичної функції являє собою суму точкових навантажень в цілих точках, і дорівнює нулю поза ними.


3.3. Дискретне перетворення Фур'є

Дискретне перетворення Фур'є - перетворення кінцевих послідовностей (комплексних) чисел, яке, як і в безперервному випадку, перетворює згортку в Поточечное множення. Використовується в цифровій обробці сигналів і в інших ситуаціях, де необхідно швидко виконувати згортку, наприклад, при множенні великих чисел.

Нехай x_0, \; x_1, \; \ ldots, \; x_ {n-1} - Послідовність комплексних чисел. Розглянемо многочлен f (t) = x_0 + x_1t + x_2t ^ 2 + \ ldots + x_ {n-1} t ^ {n-1} . Виберемо які-небудь n точок на комплексній площині z_0, \; z_1, \; \ ldots, \; z_ {n-1} . Тепер многочлені f (t) ми можемо зіставити новий набір з n чисел: f_0: = f (z_0), \; f_1: = f (z_1), \; \ ldots, \; f_ {n-1}: = f (z_ {n-1}) . Зауважимо, що це перетворення оборотно: для будь-якого набору чисел f_0, \; f_1, \; \ ldots, \; f_ {n-1} існує єдиний многочлен f (t) ступеня не вище n - 1 з такими значеннями в z_0, \; \ ldots, \; z_ {n-1} відповідно (див. Інтерполяція).

Набір {F k} і називається дискретним перетворенням Фур'є вихідного набору {X k} . Як точок z k зазвичай вибирають коріння n -Го ступеня з одиниці:

z_k = e ^ \ frac {2 \ pi ik} {n} .

Такий вибір продиктований тим, що в цьому випадку зворотне перетворення приймає просту форму, а також тим, що обчислення перетворення Фур'є може бути виконано особливо швидко. Так, у той час як обчислення згортки двох послідовностей довжини n безпосередньо вимагає порядку n 2 операцій, перехід до їх перетворення Фур'є і назад по швидкому алгоритму може бути виконаний за O (n log n) операцій. Для перетворень Фур'є згортку відповідає покомпонентное множення, яке вимагає лише порядку n операцій.


3.4. Віконне перетворення Фур'є

F (t, \; \ omega) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty f (\ tau) W (\ tau-t) e ^ {-i \ omega \ tau} \, d \ tau,

де F (t, \; \ omega) дає (взагалі кажучи трохи перекручене) розподіл частот частини оригінального сигналу f (t) в околиці часу t .

Класичне перетворення Фур'є має справу зі спектром сигналу, взятим у всьому діапазоні існування змінної. Нерідко інтерес представляє тільки локальне розподіл частот, в той час як потрібно зберегти початкову змінну (зазвичай час). У цьому випадку використовується узагальнення перетворення Фур'є, так зване віконне перетворення Фур'є. Для початку необхідно вибрати деяку віконну функцію W , Ця функція повинна мати добре локалізований спектр.

На практиці дискретний спектральний аналіз реалізований в сучасних цифрових осцилографах і аналізаторах спектра. Використовується, як правило, вибір вікна з 3-10 типів вікон. Застосування вікон принципово необхідно, оскільки в реальних приладах досліджується завжди деяка вирізка з досліджуваного сигналу. При цьому розриви сигналу внаслідок вирізки різко спотворюють спектр через накладення спектрів стрибків на спектр сигналу.

Деякі аналізатори спектра використовують швидке (або короткочасне) віконне перетворення. При ньому сигнал заданої тривалості розбивається на ряд інтервалів за допомогою ковзного вікна того чи іншого типу. Це дозволяє отримувати, досліджувати і будувати у вигляді спектрограм динамічні спектри і аналізувати їх поведінку в часі. Спектрограма будується в трьох координатах - частота, час і амплітуда. При цьому амплітуда задається кольором або відтінком кольору кожного прямокутника спектрограми. Подібні аналізатори спектру називають аналізаторами спектра реального часу. Основним їх виробником є ​​корпорація Tektronix (США). Такі аналізатори з'явилися наприкінці минулого століття і нині бурхливо розвиваються. Частотний діапазон досліджуваних ними сигналів досягає сотень ГГц.

Зазначені методи спектрального аналізу реалізуються і в системах комп'ютерної математики, наприклад, Mathcad, Mathematica, Maple і MATLAB.


3.5. Інші варіанти

Дискретне перетворення Фур'є є окремим випадком (і іноді застосовується для апроксимації) дискретного в часі перетворення Фур'є (DTFT), в якому x k визначені на дискретних, але нескінченних областях, і таким чином спектр є безперервним і періодичним. Дискретне в часі перетворення Фур'є є по суті зворотним для рядів Фур'є.

Ці різновиди перетворення Фур'є можуть бути узагальнені на перетворення Фур'є довільних локально компактних абелевих топологічних груп, які вивчаються в гармонічному аналізі, вони перетворюють групу в її дуальну групу. Це трактування також дозволяє сформулювати теорему згортки, яка встановлює зв'язок між перетвореннями Фур'є і згортками..


4. Інтерпретація в термінах часу і частоти

У термінах обробки сигналів, перетворення бере представлення функції сигналу у вигляді часових рядів і відображає його в частотний спектр, де ω - кутова частота. Тобто воно перетворює функцію часу у функцію частоти; це розкладання функції на гармонійні складові на різних частотах.

Коли функція f є функцією часу і представляє фізичний сигнал, перетворення має стандартну інтерпретацію як спектр сигналу. Абсолютна величина получающейся в результаті комплексної функції F являє амплітуди відповідних частот ( ω ), У той час як фазові зрушення виходять як аргумент этой комплексной функции.

Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.


5. Таблица важных преобразований Фурье

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье F (ω) і G (ω) обозначают фурье компоненты функций f (t) і g (t) , соответственно. f і g должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

Помните, что соотношения в этой таблице и в особенности множители такие как \sqrt{2\pi}, зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).

Функція Образ Примітки
1 af(t)+bg(t)\,aF(\omega)+bG(\omega)\, Линейность
2 f(t-a)\,e^{-i\omega a}F(\omega)\, Запізнення
3 e ^ {iat} f (t) \,F (\ omega-a) \, Частотний зрушення
4 f (at) \,| A | ^ {-1} F \ left (\ frac {\ omega} {a} \ right) \, Якщо a велике, то f (a t) зосереджена близько 0 і | A | ^ {-1} F \ left (\ frac {\ omega} {a} \ right) стає плоским
5 \ Frac {d ^ n f (t)} {dt ^ n} \,(I \ omega) ^ n F (\ omega) \, Властивість перетворення Фур'є від n -Й похідної
6 t ^ n f (t) \,i ^ n \ frac {d ^ n F (\ omega)} {d \ omega ^ n} \, Це звернення правила 5
7 (F * g) (t) \,\ Sqrt {2 \ pi} F (\ omega) G (\ omega) \, Запис f * g означає згортку f і g . Це правило - теорема про згортку
8 f (t) g (t) \,\ Frac {(F * G) (\ omega)} {\ sqrt {2 \ pi}} \, Це обіг 7
9 \ Delta (t) \,\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \, δ (t) означає дельта-функцію Дірака
10 1 \,\ Sqrt {2 \ pi} \ delta (\ omega) \, Звернення 9.
11 t ^ n \,i ^ n \ sqrt {2 \ pi} \ delta ^ {(n)} (\ omega) \, Тут, n - натуральне число, δ n (ω) - n -Я узагальнена похідна дельта-функції Дірака. Слідство правил 6 і 10. Використання його разом з правилом 1 дозволяє робити перетворення будь-яких многочленів
12 e ^ {iat} \,\ Sqrt {2 \ pi} \ delta (\ omega-a) \, Слідство 3 і 10
13 \ Cos (at) \,\ Sqrt {2 \ pi} \ frac {\ delta (\ omega-a) + \ delta (\ omega + a)} {2} \, Слідство 1 і 12 з використанням формули Ейлера \ Cos (at) = \ frac {1} {2} \ left (e ^ {iat} + e ^ {-iat} \ right) \,
14 \ Sin (at) \,\ Sqrt {2 \ pi} \ frac {\ delta (\ omega-a) - \ delta (\ omega + a)} {2i} \, Також з 1 і 12
15 \ Exp (-at ^ 2) \,\ Frac {1} {\ sqrt {2a}} \ exp \ left (\ frac {- \ omega ^ 2} {4a} \ right) \, Показує, що функція Гаусса exp (- t 2 / 2) збігається зі своїм зображенням
16 W \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} \ mathrm {sinc} (Wt) \,\ Mathrm {rect} \ left (\ frac {\ omega} {2W} \ right) \, Прямокутна функція - ідеальний фільтр низьких частот і функція sinc (x) - її тимчасової еквівалент
17 \ Frac {1} {t} \,-I \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} \ sgn (\ omega) \, Тут \ Sgn (\ omega) \, - sign функція. Це правило узгоджується з 6 та 10
18 \ Frac {1} {t ^ n} \,-I \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {(-i \ omega) ^ {n-1}} {(n-1)!} \ Sgn (\ omega) \, Узагальнення 17
19 \ Sgn (t) \,\ Sqrt {\ frac {2} {\ pi}} (i \ omega) ^ {-1} \, Обіг 17
20 \ Sqrt {2 \ pi} \ mathrm {H} (t) \,\ Frac {1} {i \ omega} + \ pi \ delta (\ omega) \, Тут \ Mathrm {H} (t) \, - функція Хевісайда. Слід з правил 1 і 19

Література

  • Афонський А. А., Дьяконов В. П. Цифрові аналізатори спектру, сигналів і логіки. Під ред. проф. В. П. Дьяконова - М: СОЛОН-Пресс, 2009. - С. 248. - ISBN 978-5-91359-049-7.
  • Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7.0/7.0 SP1 + Simulink 5 / 6 / Обробка сигналів і проектування фільтрів - М: СОЛОН-Пресс, 2005. - С. 676. - ISBN 5-98003-206-1.
  • Сергієнко А. Б. Цифрова обробка сигналів - 2-е. - Спб: Питер, 2006. - С. 751. - ISBN 5-469-00816-9.
  • М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов Спектральні перетворення в MatLab - СПб, 2007. - С. 160. - ISBN 978-5-98340-121-1.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Віконне перетворення Фур'є
Дискретне перетворення Фур'є
Швидке перетворення Фур'є
Дискретне перетворення Фур'є над кінцевим полем
Фур'є
Число Фур'є
Фур'є, Шарль
Ряд Фур'є
Фур'є, Жан Батист Жозеф
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru