Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Перпендикулярність



План:


Введення

Перпендикулярність - бінарне відношення між різними об'єктами ( векторами, прямими, підпросторами і т. д.) в евклідовому просторі. Окремий випадок ортогональності.


1. На площині

1.1. Перпендикулярні прямі

Дві прямі на площині називаються перпендикулярними, якщо при перетині утворюють 4 прямих кута.

В аналітичному вираженні прямі, задані лінійними функціями y = \ operatorname {tg} \ alpha_1 x + b_1 і y = \ operatorname {tg} \ alpha_2 x + b_2 будуть перпендикулярні, якщо виконана умова \ Alpha_2 = \ frac {1} {2} \ pi + \ alpha_1 . Ці ж прямі будуть перпендикулярні, якщо \ Operatorname {tg} \ alpha_1 \ operatorname {tg} \ alpha_2 =- 1 . (Тут α 1, α 2 - Кути нахилу прямої до горизонталі)

Для позначення перпендикулярності є загальноприйнятий символ: \ Perp , Запропонований в 1634 французьким математиком П'єром Ерігона.


1.2. Координати точки підстави перпендикуляра до прямої

A (xa, ya) і B (xb, yb) - пряма, O (xo, yo) - підстава перпендикуляра, опущеного з точки P (xp, yp).

xo: = (xa * (yb-ya) ^ 2 + xp * (xb-xa) ^ 2 + (xb-xa) * (yb-ya) * (yp-ya)) / ((yb-ya) ^ 2 + (xb-xa) ^ 2);

yo: = (yb-ya) * (xo-xa) / (xb-xa) + ya;

1.3. Побудова перпендикуляра

Побудова перпендикуляра

Крок 1: (червоний) За допомогою циркуля проведемо півколо з центром в точці P, отримавши точки А 'і В'.

Крок 2: (зелений) Не змінюючи радіуса, побудує дві півкола з центром в точках A 'та В' відповідно, що проходять через точку Р. Крім точки Р є ще одна точка перетину цих напівкіл, назвемо її Q.

Крок 3: (синій) З'єднуємо точки Р і Q. PQ і є перпендикуляр до прямої АВ.


2. У тривимірному просторі

2.1. Перпендикулярні прямі

Дві прямі в просторі перпендикулярні один одному, якщо вони відповідно паралельні деяким двом іншим прямим, лежачим в одній площині і перпендикулярним в ній.

2.2. Перпендикулярність прямої і площини

Визначення: Пряма називається перпендикулярною площині, якщо вона перпендикулярна будь-якої прямої в цій площині.

Ознака: Якщо пряма перпендикулярна кожної з двох пересічних прямих площині, то вона перпендикулярна цій площині.

Площина, перпендикулярна однієї з двох паралельних прямих, перпендикулярна і інший. Через будь-яку точку простору проходить пряма, перпендикулярна до даної площини, до того ж лише одна.


2.3. Перпендикулярні площині

Дві площині називаються перпендикулярними, якщо двогранний кут між ними дорівнює 90 градусам.

  • Якщо площину проходить через пряму, перпендикулярну іншій площині, то ці площини перпендикулярні.
  • Якщо з точки, яка належить одній із двох перпендикулярних площин, провести перпендикуляр до іншої площини, то цей перпендикуляр повністю лежить в першій площині.
  • Якщо в одній з двох перпендикулярних площин провести перпендикуляр до їх лінії перетину, то цей перпендикуляр буде перпендикулярний другій площині.

3. В багатовимірних просторах

3.1. Перпендикулярність площин в 4-мірному просторі

Перпендикулярність площин у чотиривимірному просторі має два значення: площині можуть бути перпендикулярні в 3-вимірному сенсі, якщо вони перетинаються по прямій (а отже, лежать в одній гіперплощини), і двогранний кут між ними дорівнює 90 .

Площині можуть бути також перпендикулярні в 4-мірному сенсі, якщо вони перетинаються в точці (а отже, не лежать в одній гіперплощини), і будь-які 2 прямі, проведені в цих площинах через точку їх перетину (кожна пряма в своїй площині), перпендикулярні.

В 4-мірному просторі через дану точку можна провести рівно 2 взаємно перпендикулярні площини в 4-мірному сенсі (тому 4-мірне евклидово простір можна представити як декартовій твір двох площин). Якщо ж об'єднати обидва види перпендикулярності, то через дану точку можна провести 6 взаємно перпендикулярних площин (перпендикулярних в будь-якому з двох вищезгаданих значень).

Існування шести взаємно перпендикулярних площин можна пояснити таким прикладом. Нехай дана система декартових координат xyzt. Для кожної пари координатних прямих існує площину, що включає ці дві прямі. Таких пар {4 \ choose 2} = 6 : Xy, xz, xt, yz, yt, zt, і їм відповідає 6 площин. Ті з цих площин, які включають однойменну вісь, перпендикулярні в 3-вимірному сенсі і перетинаються по прямій (наприклад, xy і xz, yz і zt), а ті, які не включають однойменних осей, перпендикулярні в 4-мірному сенсі і перетинаються в точці (наприклад, xy і zt, yz і xt).


3.2. Перпендикулярність прямої і гіперплощини

Нехай задано n-мірний евклидово простір \ Mathbb {R} ^ n (N> 2) і асоційоване з ним векторний простір W n , А пряма l з напрямним векторним простором L 1 і гіперплоскость Π k з напрямним векторним простором L k (Де L_1 \ subset W ^ n , L ^ k \ subset W ^ n, \ k <n ) Належать простору \ Mathbb {R} ^ n .

Пряма l називається перпендикулярній гіперплощини Π k , Якщо підпростір L 1 ортогонально підпростір L k , Тобто (\ Forall \ vec a \ in L_1) \ (\ forall \ vec b \ in L_k) \ \ vec a \ vec b = 0


3.3. Перпендикулярні гіперплощини



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru