Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Площа



План:


Введення

Площа - чисельна характеристика двовимірної (плоскої або викривленої) геометричної фігури [1], неформально кажучи, що показує розмір цієї фігури. Історично обчислення площі називалося квадратурою. Фігура, що має площу, називається квадріруемой. Конкретне значення площі для простих фігур однозначно випливає з пропонованих до цього поняття практично важливих вимог (див. нижче). Фігури з однаковою площею називаються рівновеликими.

Загальний метод обчислення площі геометричних фігур надало інтегральне числення. Узагальненням поняття площі стала теорія заходи безлічі, придатна для більш широкого класу геометричних об'єктів.


1. Властивості

Для фігур на площині, не складаються з цілого кількості одиничних квадратів, а також для викривлених тривимірних поверхонь, площа визначається за допомогою граничного переходу, при цьому потрібно, щоб як фігура, так і її кордон були кусочно-гладкими [2].


2. Загальний метод визначення площі

2.1. Площа плоскої фігури

2.1.1. Декартові координати

Визначений інтеграл як площа фігури
Площа між графіками двох функцій дорівнює різниці інтегралів від цих функцій в однакових межах інтегрування

Площа, укладена між графіком неперервної функції на інтервалі [A, b] і горизонтальною віссю, може бути обчислена як визначений інтеграл від цієї функції:

S = \ int \ limits_a ^ b f (x) \, dx

Площа, укладена між графіками двох неперервних функцій f (x), \, g (x) на інтервалі [A, b] знаходиться як різниця певних інтегралів від цих функцій:

S = \ int \ limits_a ^ b \ left | f (x)-g (x) \ right | \, dx


2.1.2. Полярні координати

В полярних координатах : площа, обмежена графіком функції r = r (θ) і променями θ = θ 1, θ = θ 2, θ 12 обчислюється за формулою:

S = {1 \ over 2} \ int \ limits_ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} r ^ 2 (\ theta) \, d \ theta .

2.2. Площа поверхні

Площа викривленої поверхні A, заданої вектор-функцією \ Mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, v), , Дається подвійним інтегралом:

S = \ iint \ limits_A \ left | \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u} \ times \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial v} \ right | \, du \ , dv.

Те ж в координатах:

S = \ iint \ limits_A

Тут \ Frac {D (y, z)} {D (u, v)} = \ begin {vmatrix} y'_u & y'_v \ \ z'_u & z'_v \ end {vmatrix}, \ quad \ frac {D (z, x)} {D (u, v)} = \ begin {vmatrix} z'_u & z'_v \ \ x'_u & x'_v \ end {vmatrix}, \ quad \ frac {D (x, y)} {D (u, v)} = \ begin {vmatrix} x'_u & x'_v \ \ y'_u & y'_v \ end {vmatrix} .


3. Одиниці виміру площі

3.1. Метричні одиниці


3.2. Російські застарілі

заходами землі при податкових розрахунках були вити, соха, обжа, розміри яких залежали від якості землі та соціального становища власника. Існували й різні місцеві заходи землі: короб, мотузка, лошат та ін

3.3. Античні

Література

  • Рашевський П. К. Ріманова геометрія і тензорний аналіз. Изд. 3-е, М.: Наука, 1967.
  • Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального числення - М .: Физматлит, 1960. - Т. 2. - 680 с. - ISBN 5-9221-0155-2.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Пушкінська площа
Площа Тургенєва
Сусанінская площа
Площа Вогезів
Площа Європи
Площа Іспанії
Площа Згоди
Площа Тертр
Вандомська площа
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru