Площа



План:


Введення

Площа - чисельна характеристика двовимірної (плоскої або викривленої) геометричної фігури [1], неформально кажучи, що показує розмір цієї фігури. Історично обчислення площі називалося квадратурою. Фігура, що має площу, називається квадріруемой. Конкретне значення площі для простих фігур однозначно випливає з пропонованих до цього поняття практично важливих вимог (див. нижче). Фігури з однаковою площею називаються рівновеликими.

Загальний метод обчислення площі геометричних фігур надало інтегральне числення. Узагальненням поняття площі стала теорія заходи безлічі, придатна для більш широкого класу геометричних об'єктів.


1. Властивості

  • Площа одиничного квадрата дорівнює 1.
  • Площа аддитивна.
  • Площа неотрицательна.
  • Площі конгруентних фігур рівні.

Для фігур на площині, не складаються з цілого кількості одиничних квадратів, а також для викривлених тривимірних поверхонь, площа визначається за допомогою граничного переходу, при цьому потрібно, щоб як фігура, так і її кордон були кусочно-гладкими [2].


2. Загальний метод визначення площі

2.1. Площа плоскої фігури

2.1.1. Декартові координати

Визначений інтеграл як площа фігури
Площа між графіками двох функцій дорівнює різниці інтегралів від цих функцій в однакових межах інтегрування

Площа, укладена між графіком неперервної функції на інтервалі [A, b] і горизонтальною віссю, може бути обчислена як визначений інтеграл від цієї функції:

S = \ int \ limits_a ^ b f (x) \, dx

Площа, укладена між графіками двох неперервних функцій f (x), \, g (x) на інтервалі [A, b] знаходиться як різниця певних інтегралів від цих функцій:

S = \ int \ limits_a ^ b \ left | f (x)-g (x) \ right | \, dx


2.1.2. Полярні координати

В полярних координатах : площа, обмежена графіком функції r = r (θ) і променями θ = θ 1, θ = θ 2, θ 12 обчислюється за формулою:

S = {1 \ over 2} \ int \ limits_ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} r ^ 2 (\ theta) \, d \ theta .

2.2. Площа поверхні

Площа викривленої поверхні A, заданої вектор-функцією \ Mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, v), , Дається подвійним інтегралом:

S = \ iint \ limits_A \ left | \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u} \ times \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial v} \ right | \, du \ , dv.

Те ж в координатах:

S = \ iint \ limits_A

Тут \ Frac {D (y, z)} {D (u, v)} = \ begin {vmatrix} y'_u & y'_v \ \ z'_u & z'_v \ end {vmatrix}, \ quad \ frac {D (z, x)} {D (u, v)} = \ begin {vmatrix} z'_u & z'_v \ \ x'_u & x'_v \ end {vmatrix}, \ quad \ frac {D (x, y)} {D (u, v)} = \ begin {vmatrix} x'_u & x'_v \ \ y'_u & y'_v \ end {vmatrix} .


3. Одиниці виміру площі

3.1. Метричні одиниці

  • Квадратний кілометр, 1 км = 1 000 000 м
  • Гектар, 1 га = 10 000 м
  • Ар ( сотка), 1 а = 100 м
  • Квадратний метр, похідна одиниця системи СІ 1 м = 1 са ( сантіар)
  • Квадратний дециметр, 100 дм = 1 м ;
  • Квадратний сантиметр, 10 000 см = 1 м ;
  • Квадратний міліметр, 1 000 000 мм = 1 м .

3.2. Російські застарілі

  • Квадратна верста = 1,13806 км
  • Десятина = 10925,4 м
  • Копиця = 0,1 десятини - сінешні покоси міряли копицями
  • Квадратна сажень = 4,55224 м

заходами землі при податкових розрахунках були вити, соха, обжа, розміри яких залежали від якості землі та соціального становища власника. Існували й різні місцеві заходи землі: короб, мотузка, лошат та ін

3.3. Античні

  • Аруру

Література

  • Рашевський П. К. Ріманова геометрія і тензорний аналіз. Изд. 3-е, М.: Наука, 1967.
  • Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального числення - М .: Физматлит, 1960. - Т. 2. - 680 с. - ISBN 5-9221-0155-2.

http://znaimo.com.ua