Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Площа фігури



План:


Введення

Площа плоскої фігури - адитивна числова характеристика фігури, цілком належить одній площині. У найпростішому випадку, коли фігуру можна розбити на кінцеве безліч одиничних квадратів, площа дорівнює числу квадратів.


1. Про визначення

Формальне запровадження поняття площа і об'єм можна знайти у статті міра Жордана, тут ми наводимо лише намітки визначення з коментарями.

Площа - це вещественнозначная функція, визначена на певному класі фігур евклідової площини, така що:

  1. (Позитивність) площа неотрицательна;
  2. (Нормування) квадрат зі стороною одиниця має площу 1;
  3. конгруентні фігури мають рівну площу;
  4. ( адитивність) площа об'єднання двох фігур без спільних внутрішніх точок дорівнює сумі площ.

Певний клас повинен бути замкнутий щодо перетину та об'єднання, а також щодо рухів площини і включати в себе всі багатокутники. З цих аксіом слід монотонність площі, тобто

  • Якщо одна фігура належить іншій фігурі, то площа першою не перевершує площі другий:

Найчастіше за "певний клас" беруть безліч квадріруемих фігур. Постать F називається квадріруемой, якщо для будь-якого ε> 0 існує пара багатокутників P і Q , Такі що P \ subset F \ subset Q і S (Q) - S (P) , Де S (P) позначає площа P .


2. Пов'язані визначення

  • Дві фігури називаються рівновеликими, якщо вони мають рівну площу.

3. Коментарі

Насправді, є досить неприродний і неоднозначний спосіб визначити площу для всіх обмежених підмножин площині. На безлічі всіх обмежених підмножин площини існують різні функції площі, тобто не рівні функції, що задовольняють вищенаведеним аксіомам, а безліч квадріруемих фігур є максимальним безліччю постатей, на яких функціонал площі визначається однозначно.

Те ж саме можна зробити для довжини на прямій, але не можна для обсягу в евклідовому просторі і також не можна для площі на одиничному сфері в евклідовому просторі, (дивись відповідно парадокс Банаха - Тарського і парадокс Хаусдорфа).


4. Площі деяких фігур

5. Формули для знаходження площ різних фігур

Area.svg
Постать Формула Коментар
Правильний трикутник \ Tfrac14 \ sqrt {3} a ^ 2 \, \! a - Довжина сторони трикутника.
Трикутник \ Sqrt {p (p-a) (p-b) (p-c)} \, \! p - Напівпериметр, a , b і c - Довжини сторін трикутника.
Трикутник \ Tfrac12 a b \ sin (\ alpha) \, \! a і b - Дві сторони трикутника, а α - Кут між ними.
Трикутник \ Tfrac12bh \, \! b і h - Сторона трикутника і висота, проведена до цієї сторони.
Квадрат a ^ 2 \, \! a - Довжина сторони квадрата.
Прямокутник ab \, \! a і b - Довжини сторін прямокутника.
Ромб \ Tfrac12ab a і b - Довжини діагоналей ромба.
Паралелограм bh \, \! b - Довжина однієї із сторін паралелограма, а h - висота, проведена до цієї сторони.
Трапеція \ Tfrac12 (a + b) h \, \! a і b - Довжини паралельних сторін, а h - Відстань між ними (висота).
Правильний шестикутник \ Tfrac32 \ sqrt {3} a ^ 2 \, \! a - Довжина сторони шестикутника.
Правильний восьмикутник 2 \ left (1 + \ sqrt {2} \ right) a ^ 2 \, \! a - Довжина сторони восьмикутника.
Правильний многокутник \ Frac {na ^ 2} {4 \ cdot \ tan (\ pi / n)} \, \! a - Довжина сторони багатокутника, а n - Кількість сторін багатокутника.
\ Tfrac12a p \, \! a - апофема (або радіус вписаного в багатокутник кола), а p - Периметр багатокутника.
Коло π r 2 або \ Frac {\ pi d ^ 2} {4} \, \! r - Радіус кола, а d - Її діаметр.
Сектор окружності \ Tfrac12 r ^ 2 \ theta \, \! r і θ - Відповідно радіус і кут сектора (в радіанах).
Еліпс \ Pi ab \, \! a і b - Велика і мала півосі еліпса.
Поверхня Циліндра 2 \ pi r (r + h) \, \! r і h - Радіус і висота циліндра відповідно.
Бічна поверхня циліндра 2 \ pi r h \, \! r і h - Радіус і висота циліндра відповідно.
Поверхня конуса \ Pi r (r + l) \, \! r і l - Радіус і довжина твірної відповідно.
Бічна поверхня конуса \ Pi r l \, \! r і l - Радіус і довжина твірної відповідно.
Поверхня сфери 4 \ pi r ^ 2 \ \ text {,} \ \ pi d ^ 2 \, \! r і d - Радіус і діаметр відповідно.
Поверхня еліпсоїда Див статтю.
  • Площа трикутника дорівнює половині твори боку на висоту, проведену до цієї сторони:
    S = \ frac {1} {2} ah
  • Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін:
    S = a b
  • Площа довільного чотирикутника ABCD дорівнює половині твори діагоналей і синуса кута між ними:
    S_ {ABCD} = \ frac {1} {2} AC \ cdot BD \ cdot \ sin \ beta ,
де β - Кут між діагоналями.
  • Площа ромба ABCD дорівнює половині твори діагоналей:
    S_ {ABCD} = \ frac {1} {2} AC \ cdot BD
  • Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони: S = a h
  • Площа трапеції дорівнює добутку напівсума підстав на висоту:
    S = \ frac {a + b} {2} \ cdot h

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Блайтскіе фігури
Негеральдичною фігури
Гербові фігури
Шахові фігури
Центр фігури
Фігури Ліссажу
Площа
Площа Вогезів
Тишинская площа
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru