Площа плоскої фігури - адитивна числова характеристика фігури, цілком належить одній площині. У найпростішому випадку, коли фігуру можна розбити на кінцеве безліч одиничних квадратів, площа дорівнює числу квадратів.
1. Про визначення
Формальне запровадження поняття площа і об'єм можна знайти у статті міра Жордана, тут ми наводимо лише намітки визначення з коментарями.
Площа - це вещественнозначная функція, визначена на певному класі фігур евклідової площини, така що:
- (Позитивність) площа неотрицательна;
- (Нормування) квадрат зі стороною одиниця має площу 1;
- конгруентні фігури мають рівну площу;
- ( адитивність) площа об'єднання двох фігур без спільних внутрішніх точок дорівнює сумі площ.
Певний клас повинен бути замкнутий щодо перетину та об'єднання, а також щодо рухів площини і включати в себе всі багатокутники. З цих аксіом слід монотонність площі, тобто
- Якщо одна фігура належить іншій фігурі, то площа першою не перевершує площі другий:
Найчастіше за "певний клас" беруть безліч квадріруемих фігур. Постать F називається квадріруемой, якщо для будь-якого ε> 0 існує пара багатокутників P і Q , Такі що
і S (Q) - S (P) <ε , Де S (P) позначає площа P .
2. Пов'язані визначення
- Дві фігури називаються рівновеликими, якщо вони мають рівну площу.
3. Коментарі
Насправді, є досить неприродний і неоднозначний спосіб визначити площу для всіх обмежених підмножин площині. На безлічі всіх обмежених підмножин площини існують різні функції площі, тобто не рівні функції, що задовольняють вищенаведеним аксіомам, а безліч квадріруемих фігур є максимальним безліччю постатей, на яких функціонал площі визначається однозначно.
Те ж саме можна зробити для довжини на прямій, але не можна для обсягу в евклідовому просторі і також не можна для площі на одиничному сфері в евклідовому просторі, (дивись відповідно парадокс Банаха - Тарського і парадокс Хаусдорфа).
4. Площі деяких фігур
5. Формули для знаходження площ різних фігур
Постать | Формула | Коментар |
---|
Правильний трикутник |  | a - Довжина сторони трикутника. |
Трикутник |  | p - Напівпериметр, a , b і c - Довжини сторін трикутника. |
Трикутник |  | a і b - Дві сторони трикутника, а α - Кут між ними. |
Трикутник |  | b і h - Сторона трикутника і висота, проведена до цієї сторони. |
Квадрат |  | a - Довжина сторони квадрата. |
Прямокутник |  | a і b - Довжини сторін прямокутника. |
Ромб |  | a і b - Довжини діагоналей ромба. |
Паралелограм |  | b - Довжина однієї із сторін паралелограма, а h - висота, проведена до цієї сторони. |
Трапеція |  | a і b - Довжини паралельних сторін, а h - Відстань між ними (висота). |
Правильний шестикутник |  | a - Довжина сторони шестикутника. |
Правильний восьмикутник |  | a - Довжина сторони восьмикутника. |
Правильний многокутник |  | a - Довжина сторони багатокутника, а n - Кількість сторін багатокутника. |
 | a - апофема (або радіус вписаного в багатокутник кола), а p - Периметр багатокутника. |
Коло | π r 2 або  | r - Радіус кола, а d - Її діаметр. |
Сектор окружності |  | r і θ - Відповідно радіус і кут сектора (в радіанах). |
Еліпс |  | a і b - Велика і мала півосі еліпса. |
Поверхня Циліндра |  | r і h - Радіус і висота циліндра відповідно. |
Бічна поверхня циліндра |  | r і h - Радіус і висота циліндра відповідно. |
Поверхня конуса |  | r і l - Радіус і довжина твірної відповідно. |
Бічна поверхня конуса |  | r і l - Радіус і довжина твірної відповідно. |
Поверхня сфери |  | r і d - Радіус і діаметр відповідно. |
Поверхня еліпсоїда | | Див статтю. |
- Площа трикутника дорівнює половині твори боку на висоту, проведену до цієї сторони:

- Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін:
- S = a b
- Площа довільного чотирикутника ABCD дорівнює половині твори діагоналей і синуса кута між ними:
,
- де β - Кут між діагоналями.
- Площа ромба ABCD дорівнює половині твори діагоналей:

- Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони: S = a h
- Площа трапеції дорівнює добутку напівсума підстав на висоту:
