Площа фігури

Площа плоскої фігури - адитивна числова характеристика фігури, цілком належить одній площині. У найпростішому випадку, коли фігуру можна розбити на кінцеве безліч одиничних квадратів, площа дорівнює числу квадратів.

1. Про визначення

Формальне запровадження поняття площа і об'єм можна знайти у статті міра Жордана, тут ми наводимо лише намітки визначення з коментарями.

Площа - це вещественнозначная функція, визначена на певному класі фігур евклідової площини, така що:

1. (Позитивність) площа неотрицательна;
2. (Нормування) квадрат зі стороною одиниця має площу 1;
3. конгруентні фігури мають рівну площу;
4. ( адитивність) площа об'єднання двох фігур без спільних внутрішніх точок дорівнює сумі площ.

Певний клас повинен бути замкнутий щодо перетину та об'єднання, а також щодо рухів площини і включати в себе всі багатокутники. З цих аксіом слід монотонність площі, тобто

• Якщо одна фігура належить іншій фігурі, то площа першою не перевершує площі другий:

Найчастіше за "певний клас" беруть безліч квадріруемих фігур. Постать F називається квадріруемой, якщо для будь-якого ε> 0 існує пара багатокутників P і Q , Такі що і S (Q) - S (P) <ε , Де S (P) позначає площа P .

2. Пов'язані визначення

• Дві фігури називаються рівновеликими, якщо вони мають рівну площу.

3. Коментарі

Насправді, є досить неприродний і неоднозначний спосіб визначити площу для всіх обмежених підмножин площині. На безлічі всіх обмежених підмножин площини існують різні функції площі, тобто не рівні функції, що задовольняють вищенаведеним аксіомам, а безліч квадріруемих фігур є максимальним безліччю постатей, на яких функціонал площі визначається однозначно.

Те ж саме можна зробити для довжини на прямій, але не можна для обсягу в евклідовому просторі і також не можна для площі на одиничному сфері в евклідовому просторі, (дивись відповідно парадокс Банаха - Тарського і парадокс Хаусдорфа).

4. Площі деяких фігур

5. Формули для знаходження площ різних фігур

Постать	Формула	Коментар
Правильний трикутник		a - Довжина сторони трикутника.
Трикутник		p - Напівпериметр, a , b і c - Довжини сторін трикутника.
Трикутник		a і b - Дві сторони трикутника, а α - Кут між ними.
Трикутник		b і h - Сторона трикутника і висота, проведена до цієї сторони.
Квадрат		a - Довжина сторони квадрата.
Прямокутник		a і b - Довжини сторін прямокутника.
Ромб		a і b - Довжини діагоналей ромба.
Паралелограм		b - Довжина однієї із сторін паралелограма, а h - висота, проведена до цієї сторони.
Трапеція		a і b - Довжини паралельних сторін, а h - Відстань між ними (висота).
Правильний шестикутник		a - Довжина сторони шестикутника.
Правильний восьмикутник		a - Довжина сторони восьмикутника.
Правильний многокутник		a - Довжина сторони багатокутника, а n - Кількість сторін багатокутника.
		a - апофема (або радіус вписаного в багатокутник кола), а p - Периметр багатокутника.
Коло	π r 2 або	r - Радіус кола, а d - Її діаметр.
Сектор окружності		r і θ - Відповідно радіус і кут сектора (в радіанах).
Еліпс		a і b - Велика і мала півосі еліпса.
Поверхня Циліндра		r і h - Радіус і висота циліндра відповідно.
Бічна поверхня циліндра		r і h - Радіус і висота циліндра відповідно.
Поверхня конуса		r і l - Радіус і довжина твірної відповідно.
Бічна поверхня конуса		r і l - Радіус і довжина твірної відповідно.
Поверхня сфери		r і d - Радіус і діаметр відповідно.
Поверхня еліпсоїда		Див статтю.

• Площа трикутника дорівнює половині твори боку на висоту, проведену до цієї сторони:

  

• Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін:

  S = a b

• Площа довільного чотирикутника ABCD дорівнює половині твори діагоналей і синуса кута між ними:

  ,

де β - Кут між діагоналями.

• Площа ромба ABCD дорівнює половині твори діагоналей:

  

• Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони: S = a h

• Площа трапеції дорівнює добутку напівсума підстав на висоту: