Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Площина (геометрія)



План:


Введення

Сюди перенаправляється запит " Площинність ". На цю тему потрібна окрема стаття .
Дві площини, що перетинаються

Площина - одне з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії поняття площини звичайно приймається за одне з вихідних понять, яке лише непрямим чином визначається аксіомами геометрії.


1. Деякі характеристичні властивості площині

  • Площина - поверхню, яка містить повністю кожну пряму, що сполучає будь-які її точки;
  • Дві площини є або паралельними, або перетинаються по прямій.
  • Пряма або паралельна площині, або перетинає її в одній точці, або перебуває на площині.
  • Дві прямі, перпендикулярні одній і тій же площині, паралельні один одному.
  • Дві площини, перпендикулярні одній і тій же прямій, паралельні один одному.

Аналогічно відрізку і інтервалу, площина, не включає крайні точки, можна назвати інтервальної площиною, або відкритої площиною.


2. Рівняння площини

Вперше зустрічається у А. К. Клеро ( 1731).

Рівняння площини у відрізках, мабуть, вперше зустрічається у Г. Ламі ( 1816 - 1818).

Нормальне рівняння ввів Л. О. Гессе ( 1861).

Площина - алгебраїчна поверхня першого порядку: у декартовій системі координат площина може бути задана рівнянням першого ступеня.

  • Загальне рівняння (повне) площині
Ax + By + Cz + D = 0 \ qquad (1)

де ~ A, B, C і ~ D - Постійні, причому ~ A, B і ~ C одночасно не дорівнюють нулю; в векторної формі:

(\ Mathbf {r}, \ mathbf {N}) + D = 0

де \ Mathbf {r} - Радіус-вектор точки ~ M (x, y, z) , Вектор \ Mathbf {N} = (A, B, C) перпендикулярний до площини (нормальний вектор). Напрямні косинуси вектора \ Mathbf {N} :

\ Cos \ alpha = \ frac {A} {\ sqrt {A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2}},
\ Cos \ beta = \ frac {B} {\ sqrt {A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2}},
\ Cos \ gamma = \ frac {C} {\ sqrt {A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2}}.

Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю, рівняння називається неповним. При ~ D = 0 площину проходить через початок координат, при ~ A = 0 (Або ~ B = 0 , ~ C = 0 ) П. паралельна осі ~ Ox (Відповідно ~ Oy або ~ Oz ). При ~ A = B = 0 ( ~ A = C = 0 , Або ~ B = C = 0 ) Площина паралельна площині ~ Oxy (Відповідно ~ Oxz або ~ Oyz ).

  • Рівняння площини у відрізках:
\ Frac {x} {a} + \ frac {y} {b} + \ frac {z} {c} = 1,

де ~ A =- D / A , ~ B =- D / B , ~ C =- D / C - Відрізки, відсікаються площиною на осях ~ Ox, Oy і ~ Oz .

  • Рівняння площини, що проходить через точку ~ M (x_0, y_0, z_0) перпендикулярно вектору нормалі \ Mathbf {N} (A, B, C) :
~ A (x-x_0) + B (y-y_0) + C (z-z_0) = 0;

у векторній формі:

((\ Mathbf {r} - \ mathbf {r_0}), \ mathbf {N}) = 0.
  • Рівняння площини, що проходить через три задані точки ~ M (x_i, y_i, z_i) , Що не лежать на одній прямій:
((\ Mathbf {r} - \ mathbf {r_1}), (\ mathbf {r_2} - \ mathbf {r_1}), (\ mathbf {r_3} - \ mathbf {r_1})) = 0

(Змішане твір векторів), інакше

\ Left | \ begin {matrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \ \ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \ \ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \ \ \ end {matrix} \ right | = 0.
  • Нормальне (нормоване) рівняння площини
x \ cos \ alpha + y \ cos \ beta + z \ cos \ gamma - p = 0 \ qquad (2)

у векторній формі:

(\ Mathbf {r}, \ mathbf {N ^ 0}) \ mathbf {p}-= 0,

де \ Mathbf {N ^ 0} - Одиничний вектор, ~ P - Відстань П. від початку координат. Рівняння (2) може бути отримано з рівняння (1) множенням на нормуючий множник

\ Mu = \ pm \ frac {1} {\ sqrt {A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2}}

(Знаки ~ \ Mu і ~ D протилежні).


3. Визначення по точці і вектору нормалі

У тривимірному просторі одним з найважливіших способів визначення площині є вказівка ​​точки на площині і вектора нормалі до неї.

Припустимо, r 0 є радіусом-вектором точки P 0 , Заданої на площині, і припустимо, що n - це ненульовий вектор, перпендикулярний до площини (нормаль). Ідея полягає в тому, що точка P з радіусом-вектором r знаходиться на площині тоді і тільки тоді, коли вектор, проведений від P 0 до P , Перпендикулярний n.

Повернімося до того, що два вектора є перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю. Звідси випливає, що потрібна нам площину може бути виражена як безліч всіх точок r таких, що:

\ Bold n \ cdot (\ bold r-\ bold r_0) = 0. (Тут крапка означає скалярний твір, а не множення.)

Розгорнувши вираз, ми отримаємо:

n_x (x-x_0) + n_y (y-y_0) + n_z (z-z_0) = 0, \,

що є знайомим нам рівнянням площини.

Наприклад: Дано: точка на площині P (2,6, - 3) і вектор нормалі N (9,5,2) .

Рівняння площини записується так:

9 (x - 2) + 5 (y - 6) + 2 (z + 3) = 0

- 18 + 9 x - 30 + 5 y + 6 + 2 z = 0

9 x + 5 y + 2 z - 42 = 0


4. Відстань від точки до площини

Відстань від точки до площини - це найменше з відстаней між цією точкою та точками площини. Відомо, що відстань від точки до площини дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину.

  • Відхилення точки ~ M_1 (x_1, y_1, z_1) від площини заданої нормованим рівнянням ~ (2)
~ \ Delta = x_1 \ cos \ alpha + y_1 \ cos \ beta + z_1 \ cos \ gamma - p;
~ \ Delta> 0 , Якщо ~ M_1 і початок координат лежать по різні сторони площини, в протилежному випадку ~ \ Delta <0 . Відстань від точки до площини дорівнює ~ | \ Delta |.
  • Відстань ~ \ Rho від точки ~ M_0 (x_0, y_0, z_0) , До площини, заданої рівнянням ~ Ax + by + cz + d = 0 , Обчислюється за формулою:
\ Rho = \ frac {\ mid ax_0 + by_0 + cz_0 + d \ mid} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}}

5. Відстань між паралельними площинами

  • Відстань між площинами, заданими рівняннями ~ Ax + By + Cz + D_1 = 0 і ~ Ax + By + Cz + D_2 = 0 :
d = \ frac {\ mid D_2-D_1 \ mid} {\ sqrt {A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2}}
  • Відстань між площинами, заданими рівняннями \ Bar n (\ bar r - \ bar {r_1}) = 0 і \ Bar n (\ bar r - \ bar {r_2}) = 0 :
d = \ frac {\ mid [\ bar r_2 - \ bar r_1, \ bar n] \ mid} {\ mid \ bar n \ mid}

6. Пов'язані поняття

  • Кут між двома площинами. Якщо рівняння П. задані у вигляді (1), то
\ Cos \ varphi = \ frac {A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2} {\ sqrt {(A_1 ^ 2 + B_1 ^ 2 + C_1 ^ 2) (A_2 ^ 2 + B_2 ^ 2 + C_2 ^ 2)}};

Якщо у векторній формі, то

\ Cos \ varphi = \ frac {(\ mathbf {N_1}, \ mathbf {N_2 })}{| \ mathbf {N_1} | | \ mathbf {N_2} |}.
\ Frac {A_1} {A_2} = \ frac {B_1} {B_2} = \ frac {C_1} {C_2} або [\ Mathbf {N_1}, \ mathbf {N_2}] = 0. (Векторне твір)
  • Площини перпендикулярні, якщо
~ A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0 або (\ Mathbf {N_1}, \ mathbf {N_2}) = 0 . (Скалярний твір)
  • Пучок площин - рівняння будь П., що проходить через лінію перетину двох площин
~ \ Alpha (A_1x + B_1y + C_1z) + \ beta (A_2x + B_2y + C_2z) = 0,

де α і β - Будь-які числа, не рівні одночасно нулю.


7. m-площину в просторі R n

Нехай дано n-мірний аффінних-точененое простір K n (V, P) , Над полем дійсних чисел. У ньому обрана прямокутна система координат O, \ vec {e_1 },..., \ vec {e_n} . M-площиною називається безліч точок α , Радіус вектори яких задовольняють наступному співвідношенню \ Alpha = \ {x | x = A_ {nm} \ vec {t_m} + \ vec {d} \}. A n m - Матриця, стовпці якої утворює напрямні підпростір площині, \ Vec {t} - Вектор змінних, \ Vec {d} - Радіус-вектор одній з точок площини.
Зазначене співвідношення можна з матрично-векторного виду перевести у векторний:
x = \ vec {a_1} t_1 + ... + \ Vec {a_m} t_m + d, \ vec {a_i} \ in V - Векторне рівняння m-площині.
Вектора \ Vec {a_i} утворюють направляє підпростір. Дві m-площині α, β називаються паралельними, якщо їх направляють простору збігаються і \ Exists x \ in \ alpha: x \ notin \ beta .

(N-1)-площину в n-мірному просторі називається гіперплощиною або просто площиною. Для гіперплощини існує загальне рівняння площини. Нехай \ Vec {n} - Нормальний вектор площини, \ Vec {r} = (x ^ 1 ,..., x ^ n) - Вектор змінних, \ Vec {r_0} - Радіус вектор точки, що належить площині, тоді:
(\ Vec {r} - \ vec {r_0}, \ vec {n}) = 0 - Загальне рівняння площини.
Ім'я матрицю напрямних векторів, рівняння можна записати так: det (\ vec {r} - \ vec {r_0} | A_ {n, n-1}) = 0 , Або:
\ Begin {vmatrix} x ^ 1 - x_ {0} ^ 1 & a_ {1} ^ 1 & a_ {2} ^ 1 & ... & A_ {n-1} ^ 1 \ \ x ^ 2 - x_ {0} ^ 2 & a_ {1} ^ 2 & a_ {2} ^ 1 & ... & A_ {n-1} ^ 2 \ \ ... & ... & ... & ... \ \ X ^ n - x_ {0} ^ n & a_ {1} ^ n & a_ {2} ^ n & ... & A_ {n-1} ^ n \ end {vmatrix} = 0 .
Кутом між площинами називається найменший кут між їх нормальними векторами.


7.1. Приклади m-площин

  1. Прикладом 1-площини в тривимірному просторі (n = 3) служить пряма. Її векторне рівняння має вигляд: α = {a x, a y, a z} t + {b x, b y, b z} . У разі n = 2 пряма є гіперплощиною.
  2. Гіперплощиною в тривимірному просторі відповідає звичному поняттю площині.

Література

Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Аналітична геометрія - М .: Физматлит, 2002. - 240 с.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Площина
Площина (філософія)
Площина Лапласа
Фазова площина
Похила площина
Геометрія
Сакральна геометрія
Градус (геометрія)
Дефект (геометрія)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru