Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Побудова з допомогою циркуля і лінійки



План:


Введення

Побудови з допомогою циркуля і лінійки - розділ евклідової геометрії, відомий з античних часів. У завданнях на побудову циркуль і лінійка вважаються ідеальними інструментами, зокрема:

  • Лінійка не має поділів і має тільки одну сторону нескінченної довжини.
  • Циркуль може мати скільки завгодно великий чи як завгодно малий розчин.

1. Приклад

Розбиття відрізка навпіл

Завдання на бисекции. За допомогою циркуля і лінійки розбити даний відрізок AB на дві рівні частини. Одне з рішень показано на малюнку:

  • Циркулем проводимо кола з центром в точках A і B радіусом AB.
  • Знаходимо точки перетину P і Q двох побудованих кіл (дуг).
  • По лінійці проводимо відрізок або лінію, що проходить через точки P і Q.
  • Знаходимо шукану середину відрізка AB - точку перетину AB та PQ.

2. Формальне визначення

У завданнях на побудову розглядаються безліч всіх точок площини, безліч всіх прямих площині і безліч всіх кіл площині, над якими допускаються такі операції:

  1. Виділити точку з множини всіх точок:
    1. довільну точку
    2. довільну точку на заданій прямій
    3. довільну точку на заданій окружності
    4. точку перетину двох заданих прямих
    5. точки перетину / торкання заданої прямої і заданої окружності
    6. точки перетину / торкання двох заданих кіл
  2. "За допомогою лінійки" виділити пряму з множини всіх прямих:
    1. довільну пряму
    2. довільну пряму, що проходить через задану точку
    3. пряму, що проходить через дві заданих точки
  3. "За допомогою циркуля" виділити коло з безлічі всіх кіл:
    1. довільну окружність
    2. довільну коло з центром в заданій точці
    3. довільну окружність з радіусом, рівним відстані між двома заданими точками
    4. коло з центром в заданій точці і з радіусом, рівним відстані між двома заданими точками

В умовах задачі задається деяке безліч точок. Потрібно за допомогою кінцевого кількості операцій з числа перерахованих вище допустимих операцій побудувати інше безліч точок, що знаходиться в заданому співвідношенні з вихідним безліччю.

Рішення задачі на побудову містить у собі три суттєві частини:

  1. Опис способу побудови заданої множини.
  2. Доказ того, що безліч, побудоване описаним способом, дійсно знаходиться в заданому співвідношенні з вихідним безліччю. Зазвичай доказ побудови проводиться як звичайне доказ теореми, що спирається на аксіоми та інші доведені теореми.
  3. Аналіз описаного способу побудови на предмет його застосовності до різних варіантів початкових умов, а також на предмет єдиності або неєдиним рішення, одержуваного описаним способом.

3. Відомі завдання

  • Завдання Аполлонія про побудову окружності, що стосується трьох заданих кіл. Якщо жодна із заданих кіл не лежить всередині іншого, то це завдання має 8 істотно різних рішень.
  • Завдання Брахмагупти про побудову вписаного чотирикутника за чотирма його сторонам.

3.1. Побудова правильних багатокутників

Побудова правильного п'ятикутника

Античним геометрам були відомі способи побудови правильних n-кутників для n = 2 ^ k \, \! , n = 3 \ cdot 2 ^ k , n = 5 \ cdot 2 ^ k і n = 3 \ cdot5 \ cdot2 ^ k .

В 1796 Гаусс показав можливість побудови правильних n-кутників при n = 2 ^ k \ cdot p_1 \ cdots p_m , Де p_i \, \! - Різні прості числа Ферма. В 1836 Ванцель довів, що інших правильних багатокутників, які можна побудувати циркулем і лінійкою, не існує.


3.2. Нерозв'язні завдання

Наступні три завдання на побудову були поставлені ще в античності:

Тільки в XIX столітті було доведено, що всі три завдання неможливо розв'язати при використанні тільки циркуля і лінійки. Питання можливості побудови повністю вирішене алгебраїчними методами, заснованими на теорії Галуа.

  • Інша відома нерозв'язна за допомогою циркуля і лінійки завдання - побудова трикутника за трьома заданим длинам биссектрис. [1] Причому це завдання залишається нерозв'язною навіть при наявності трісектора. [2]

4. Можливі і неможливі побудови

Усі побудови є нічим іншим, як рішеннями якого-небудь рівняння, причому коефіцієнти цього рівняння пов'язані з довжинами заданих відрізків. Тому зручно говорити про побудову числа - графічного рішення рівняння певного типу. У рамках вищеописаних вимог можливі наступні побудови:

Інакше кажучи, можливо побудувати лише числа рівні арифметичним виразам з використанням квадратного кореня з вихідних чисел (довжин відрізків). Наприклад,

  • Якщо встановлено тільки відрізок довжини 1 , То \ Sqrt [3] {2} неможливо уявити в такому вигляді (звідси неможливість подвоєння куба).
  • Можливість побудувати правильний 17-кутник випливає з висловлювання на косинус кута:
    \ Cos {\ left (\ frac {2 \ pi} {17} \ right)} = - \ frac {1} {16} \; + \; \ frac {1} {16} \ sqrt {17} \; + \; \ frac {1} {16} \ sqrt {34 - 2 \ sqrt {17}} \; + \; \ frac {1} {8} \ sqrt {17 + 3 \ sqrt {17} - \ sqrt {34 - 2 \ sqrt {17}} - 2 \ sqrt {34 + 2 \ sqrt {17}}}

5. Варіації і узагальнення

  • Побудови з допомогою одного циркуля. За теоремі Мора - Маскероні за допомогою одного циркуля можна побудувати будь-яку фігуру, яку можна побудувати циркулем і лінійкою. При цьому пряма вважається побудованою, якщо на ній задано дві точки.
  • Побудови з допомогою однієї лінійки. Легко помітити, що за допомогою однієї лінійки можна проводити тільки проективно-інваріантні побудови. Зокрема, неможливо навіть розбити відрізок на дві рівні частини, або знайти центр намальованої окружності. Але при наявності на площині заздалегідь проведеної кола з зазначеним центром за допомогою лінійки можна провести ті ж побудови, що і циркулем і лінійкою (теорема Понселе - Штейнера (англ.)), 1833.
    Якщо на лінійці є дві засічки, то побудови за допомогою неї еквівалентні побудов за допомогою циркуля і лінійки (важливий крок у доведенні цього зробив Наполеон).
  • Побудови за допомогою інструментів з обмеженими можливостями. У завданнях такого роду інструменти (на противагу класичній постановці задачі) вважаються не ідеальними, а обмеженими: пряму через дві точки за допомогою лінійки можна провести тільки за умови, що відстань між цими точками не перевищує деякої величини; радіус кіл, проведених за допомогою циркуля, може бути обмежений зверху, знизу або одночасно і зверху, і знизу.
  • Побудови за допомогою плоского орігамі. См. правила Худзіта

6. Цікаві факти

  • Візерунок на прапорі Ірану описується як побудова за допомогою циркуля і лінійки [3].

7. Дивись

  • Програми динамічної геометрії дозволяють виконувати побудови за допомогою циркуля і лінійки на комп'ютері.

Примітки

  1. Хто і коли довів неможливість побудови трикутника за трьома бісектриса? - www.mccme.ru / ask / qa / bissect.html. Дистанційний консультаційний пункт з математики МЦНМО.
  2. Чи можна побудувати трикутник за трьома бісектриса, якщо крім циркуля і лінійки дозволяється використовувати трісектор - www.mccme.ru/ask/qa/bissect1.html. Дистанційний консультаційний пункт з математики МЦНМО.
  3. Стандарт прапора Ірану - www.isiri.org/std/1.htm (Перс.)

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Каре (побудова)
Список зірок сузір'я Циркуля
Факторизація за допомогою еліптичних кривих
Сортування за допомогою двійкового дерева
Алгоритм обміну за допомогою виключає АБО
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru