Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Поверхня



План:


Введення

Приклад простий поверхні

Поверхня - традиційна назва для двовимірного різноманіття в просторі.


1. Способи завдання

Поверхні визначається як безліч точок, координати яких задовольняють певному виду рівнянь:

F (x, \, y, \, z) = 0 \ qquad (1)

Якщо функція F (x, \, y, \, z)неперервна в деякій точці і має в ній безперервні приватні похідні, принаймні одна з яких не звертається в нуль, то в околиці цієї точки поверхня, задана рівнянням (1), буде правильною поверхнею.

Крім зазначеного вище неявного способу завдання поверхня може бути визначена явно, якщо одну із змінних, наприклад z, можна виразити через інші:

z = f (x, y) \ qquad (1 ')

Також існує параметричний спосіб завдання. У цьому випадку поверхня визначається системою рівнянь:

\ Left \ {\ begin {array} {ccc} x & = & x (u, v) \ \ y & = & y (u, v) \ \ z & = & z (u, v) \ end {array } \ right. \ qquad (1'')

2. Поняття про просту поверхні

Інтуїтивно просту поверхню можна представити як шматок площині, підданий безперервним деформацій ( розтягування, стисканням і згинання).

Більш строго, простий поверхнею називається образ гомеоморфна відображення (тобто взаємно однозначної і взаємно безперервного відображення) нутрощі одиничного квадрата. Цьому визначенню можна дати аналітичне вираз.

Нехай на площині з прямокутною системою координат u і v заданий квадрат, координати внутрішніх точок якого задовольняють нерівностям 0 прямокутної системою координат х, у, z задається за допомогою формул х = x (u, v), у = y (u, v), z = z (u, v) ( параметричне завдання поверхні). При цьому від функцій x (u, v), y (u, v) і z (u, v) потрібно, щоб вони були безперервними і щоб для різних точок (u, v) і (u ', v') були різними відповідні точки (x, у, z) і (x ', у', z ').

Прикладом простої поверхні є півсфера. Вся ж сфера не є простою поверхнею. Це викликає необхідність подальшого узагальнення поняття поверхні.

Підмножина простору, у кожної точки якого є околиця, що є простий поверхнею, називається правильною поверхнею.


3. Поверхня в диференційній геометрії

В диференціальної геометрії досліджувані поверхні зазвичай підпорядковані умовам, пов'язаним з можливістю застосування методів диференційного числення. Як правило, це - умови гладкості поверхні, тобто існування в кожній точці поверхні визначеної дотичній площині, кривизни і т. д. Ці вимоги зводяться до того, що функції, які визначають поверхню, передбачаються одноразово, двічі, тричі, а в деяких питаннях - необмежене число разів диференційовними або навіть аналітичними функціями. При цьому додатково накладається умова регулярності.

Випадок неявного завдання. Поверхня, задана рівнянням F (x, \, y, \, z) = 0, \; F: \ Omega \ to \ mathbb {R} ^ 3 , Є гладкою регулярною поверхнею, якщо \ Exist P_0 (x_0, \, y_0, \, z_0): \; F (x_0, \, y_0, \, z_0) = 0 , Функція F безперервно дифференцируема у своїй області визначення Ω , А її приватні похідні одночасно не перетворюються на нуль (умова правильності) по всьому безлічі Ω :

\ Left (\ frac {\ partial F} {\ partial x} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {\ partial F} {\ partial y} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {\ partial F} {\ partial z} \ right) ^ 2> 0

Випадок параметричного завдання. Задамо поверхню векторним рівнянням \ Mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, \ v) , Або, що те ж саме, трьома рівняннями в координатах:

\ Left \ {\ begin {array} {ccc} x & = & x (u, v) \ \ y & = & y (u, v) \ \ z & = & z (u, v) \ end {array } \ right. \ quad (u, \, v) \ in \ Omega

Ця система рівнянь задає гладку регулярну поверхню, якщо виконані умови:

  • система встановлює взаємно однозначну відповідність між образом і прообразом Ω ;
  • функції x (u, v), \, y (u, v), \, z (u, v) безперервно діфференцируєми в Ω ;
  • виконана умова невиродженого:
\ Begin {vmatrix} x'_u & x'_v \ \ y'_u & y'_v \ end {vmatrix} ^ 2 + \ begin {vmatrix} y'_u & y'_v \ \ z'_u & z'_v \ end {vmatrix} ^ 2 + \ begin {vmatrix} z'_u & z'_v \ \ x'_u & x'_v \ end {vmatrix} ^ 2> 0

Геометрично остання умова означає, що вектори \ Frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u}, \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial v} ніде не паралельні.

Координатна сітка на сфері

Параметри u, v можна розглядати як внутрішні координати точок поверхні. Фіксуючи одну з координат, ми отримуємо два сімейства координатних кривих, що покривають поверхню координатної сіткою.

Випадок явного завдання. Поверхня S може бути визначена як графік функції z = f (x, y) ; Тоді S є гладкою регулярною поверхнею, якщо функція f дифференцируема. Цей варіант можна розглядати як окремий випадок параметричного завдання: x = u; \ y = v; \ z = f (u, v) .


3.1. Дотична площина

Дотична площина в точці поверхні.

Дотична площина в точці гладкої поверхні - це площина, що має максимальний порядок зіткнення з поверхнею в цій точці. Еквівалентний варіант визначення: дотична площину є площина, яка містить дотичні до всіх гладким кривим, які проходять через цю точку.

Нехай гладка крива на параметрично заданої поверхні \ Mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, \ v) задана у вигляді:

u = u (t); \ v = v (t) .

Напрямок \ Mathbf {v} дотичній до такої кривої дає вектор:

\ Mathbf {v} = \ frac {d \ mathbf {r}} {dt} = \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u} \ frac {du} {dt} + \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial v} \ frac {dv} {dt}

Звідси видно, що всі дотичні до всіх кривим в даній точці лежать в одній площині, що містить вектори \ Frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u}, \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial v} , Які ми вище припустили незалежними.

Рівняння дотичної площини в точці \ Mathbf {r_0} = (x_0, y_0, z_0) має вигляд:

\ Left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_0}, \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u}, \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial v} \ right ) = 0 \ quad ( змішане твір векторів).

У координатах рівняння дотичної площини для різних способів завдання поверхні наведені в таблиці:

дотична площина до поверхні в точці (X 0, y 0, z 0)
неявне завдання \ Frac {\ partial F} {\ partial x} (x-x_0) + \ frac {\ partial F} {\ partial y} (y-y_0) + \ frac {\ partial F} {\ partial z} (z -z_0) = 0
явне завдання \ Frac {\ partial f} {\ partial x} (x-x_0) + \ frac {\ partial f} {\ partial y} (y-y_0) = (z-z_0)
параметричне завдання \ Begin {vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \ \ x_u '& y_u' & z_u '\ \ x_v' & y_v '& z_v' \ end {vmatrix} = 0

Всі похідні беруться в точці (X 0, y 0, z 0) .


3.2. Метрика і внутрішня геометрія

Знову розглянемо гладку криву:

u = u (t); \ v = v (t) .

Елемент її довжини визначається зі співвідношення:

ds ^ 2 = | d \ mathbf {r} | ^ 2 = (\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u} du + \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial v} dv) ^ 2 = E \, du ^ 2 + 2 F \, du \, dv + G \, dv ^ 2 ,

де E = \ mathbf {r'_u} \ mathbf {r'_u}; \ F = \ mathbf {r'_u} \ mathbf {r'_v}; \ G = \ mathbf {r'_v} \ mathbf {r ' _v} .

Ця квадратична форма називається першої квадратичної формою і являє собою двовимірний варіант метрики поверхні. Для регулярної поверхні її дискриминант E G - F 2> 0 у всіх точках. Коефіцієнт ~ F = 0 в точці поверхні тоді і тільки тоді, коли в цій точці координатні криві ортогональні. Зокрема, на площині з декартовими координатами u, \ v виходить метрика d s 2 = d u 2 + d v 2 ( теорема Піфагора).

Гелікоїд
Катеноід

Метрика не визначає однозначно форму поверхні. Наприклад, метрики гелікоїда і катеноіда, параметризованих відповідним чином, збігаються, тобто між їх областями існує відповідність, що зберігає всі довжини ( ізометрія). Властивості, що зберігаються при ізометричних перетвореннях, називаються внутрішньої геометрією поверхні. Внутрішня геометрія не залежить від положення поверхні в просторі і не змінюється при її згинанні без розтягування і стиснення (наприклад, при згинанні циліндра в конус) [1].

Метричні коефіцієнти E, \ F, \ G визначають не тільки довжини всіх кривих, а й взагалі результати всіх вимірів усередині поверхні (кути, площі, кривизна та ін.) Тому все, що залежить тільки від метрики, відноситься до внутрішньої геометрії.


3.3. Нормаль і нормальне перетин

Вектори нормалі в точках поверхні

Однією з основних характеристик поверхні є її нормаль - одиничний вектор, перпендикулярний дотичній площині в заданій точці:

\ Mathbf {m} = \ frac {[\ mathbf {r'_u}, \ mathbf {r'_v}]} {| [\ mathbf {r'_u}, \ mathbf {r'_v}] |} .

Знак нормалі залежить від вибору координат.

Перетин поверхні площиною, що містить нормаль (в даній точці), утворює деяку криву на поверхні, яка називається нормальним перетином поверхні. Головна нормаль для нормального перетину збігається з нормаллю до поверхні (з точністю до знака).

Якщо ж крива на поверхні не є нормальним перерізом, то її головна нормаль утворює з нормаллю поверхні деякий кут θ . Тоді кривизна k кривої пов'язана з кривизною k n нормального перетину (з тією ж дотичній) формулою Менье :

k_n = \ pm k \, \ cos \, \ theta

Координати орта нормалі для різних способів завдання поверхні наведені в таблиці:

Координати нормалі в точці поверхні
неявне завдання \ Frac {\ left (\ frac {\ partial F} {\ partial x}; \, \ frac {\ partial F} {\ partial y}; \, \ frac {\ partial F} {\ partial z} \ right )} {\ sqrt {\ left (\ frac {\ partial F} {\ partial x} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {\ partial F} {\ partial y} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {\ partial F} {\ partial z} \ right) ^ 2}}
явне завдання \ Frac {\ left (- \ frac {\ partial f} {\ partial x}; \, - \ frac {\ partial f} {\ partial y}; \, 1 \ right)} {\ sqrt {\ left ( \ frac {\ partial f} {\ partial x} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {\ partial f} {\ partial y} \ right) ^ 2 +1}}
параметричне завдання

Тут \ Frac {D (y, z)} {D (u, v)} = \ begin {vmatrix} y'_u & y'_v \ \ z'_u & z'_v \ end {vmatrix}, \ quad \ frac {D (z, x)} {D (u, v)} = \ begin {vmatrix} z'_u & z'_v \ \ x'_u & x'_v \ end {vmatrix}, \ quad \ frac {D (x, y)} {D (u, v)} = \ begin {vmatrix} x'_u & x'_v \ \ y'_u & y'_v \ end {vmatrix} .

Всі похідні беруться в точці (X 0, y 0, z 0) .


3.4. Кривизна

Для різних напрямків в заданій точці поверхні виходить різна кривизна нормального перетину, яка називається нормальним кривизною; їй приписується знак плюс, якщо головна нормаль кривої йде в тому ж напрямку, що і нормаль до поверхні, або мінус, якщо напрями нормалей протилежні.

Взагалі кажучи, в кожній точці поверхні існують два перпендикулярних напрямку e 1 і e 2 , В яких нормальна кривизна приймає мінімальне і максимальне значення; ці напрямки називаються головними. Виняток становить випадок, коли нормальна кривизна в усіх напрямках однакова (наприклад, у сфери або на торці еліпсоїда обертання), тоді всі напрямки в точці - головні.

Поверхні з негативною (ліворуч), нульовий (у центрі) і позитивною (праворуч) кривизною.

Нормальні кривизни у головних напрямках називаються головними кривизнами; позначимо їх κ 1 і κ 2 . Величина:

K = κ 1 κ 2

називається гауссовой кривизною, повною кривизною або просто кривизною поверхні. Зустрічається також термін скаляр кривизни, який має на увазі результат згортки тензора кривизни; при цьому скаляр кривизни вдвічі більше, ніж гауссова кривизна.

Гауссова кривизна може бути обчислена через метрику, і тому вона є об'єктом внутрішньої геометрії поверхонь (відзначимо, що головні кривизни до внутрішньої геометрії не відносяться). За знаком кривизни можна класифікувати точки поверхні (див. малюнок). Кривизна площині дорівнює нулю. Кривизна сфери радіуса R усюди дорівнює \ Frac {1} {R ^ 2} . Існує і поверхня постійної негативної кривизни - псевдосфера.


3.5. Геодезичні лінії, геодезична кривизна

Крива на поверхні називається геодезичної лінією, або просто геодезичної, якщо у всіх її точках головна нормаль до кривої співпадає з нормаллю до поверхні. Приклад: на площині геодезичними будуть прямі і відрізки прямих, на сфері - великі кола і їх відрізки.

Еквівалентна визначення: у геодезичної лінії проекція її головною нормалі на дотичну площину є нульовий вектор. Якщо крива не є геодезичної, то зазначена проекція ненульова; її довжина називається геодезичної кривизною k g кривої на поверхні. Має місце співвідношення:

k ^ 2 = k_g ^ 2 + k_n ^ 2 ,

де k - Кривизна даної кривої, k n - Кривизна її нормального перетину з тією ж дотичній.

Геодезичні лінії відносяться до внутрішньої геометрії. Перерахуємо їх головні властивості.

  • Через дану точку поверхні в заданому напрямку проходить одна і тільки одна геодезична.
  • На досить малій ділянці поверхні дві точки завжди можна поєднати геодезичної, до того ж лише однієї. Пояснення: на сфері протилежні полюси з'єднує нескінченну кількість меридіанів, а дві близькі точки можна з'єднати не тільки відрізком великого кола, але і його доповненням до повної окружності, так що однозначність дотримується тільки в малому.
  • Геодезична є найкоротшою. Більш строго: на малому шматку поверхні найкоротший шлях між заданими точками лежить по геодезичної.

3.6. Площа

Ще один важливий атрибут поверхні - її площа, яка обчислюється за формулою:

S = \ iint \, | [\ mathbf {r} '_u \ times \ mathbf {r}' _v] | \; \ mathrm {d} \, u \, \ mathrm {d} \, v

Тут \ Mathbf {r} '_u = \ left \ {\ frac {\ partial x} {\ partial u}, \, \ frac {\ partial y} {\ partial u}, \, \ frac {\ partial z} { \ partial u} \ right \}, \ \ mathbf {r} '_v = \ left \ {\ frac {\ partial x} {\ partial v}, \, \ frac {\ partial y} {\ partial v}, \, \ frac {\ partial z} {\ partial v} \ right \} .

У координатах отримуємо:

явне завдання параметричне завдання
вираз для площі \ Iint \, \ sqrt {\ left (\ frac {\ partial f} {\ partial x} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {\ partial f} {\ partial y} \ right) ^ 2 +1 } \; \ mathrm {d} \, x \, \ mathrm {d} \, y

4. Поверхня в топології

4.1. Орієнтація

Стрічка Мебіуса.

Також важливою характеристикою поверхні є її орієнтація.

Поверхня називається двосторонньою, якщо на всій її протяжності вона володіє неперервним вектором нормалі. В іншому випадку поверхню називають однобічною.

Орієнтованої називається двостороння поверхня з обраним напрямком нормалі.

Прикладами односторонніх, а отже і неоріентіруемих поверхонь є пляшка Клейна або Лист Мебіуса.


4.2. Топологічні типи поверхонь

З точки зору топологічного будови, поверхні як двовимірні різноманіття бувають:

5. Узагальнення

Про багатовимірних аналогах теорії см.:

Література


Примітки


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Циліндрична поверхня
Хвильова поверхня
Поверхня Ляпунова
Ізотермічна поверхня
Вільна поверхня
Поверхня Безьє
Поверхня Ліувілля
Поверхня Зейферта
Лінійчата поверхня
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru