В математиці, поверхня Зейферта - поверхня, межею якої є заданий вузол або зачеплення. Такі поверхні часто бувають корисні при дослідженні відповідного вузла або зачеплення. Зокрема, багато інваріанти вузлів найпростіше обчислюються з її допомогою. Поверхні Зейферта цікаві й самі по собі, як об'єкти дослідження. Названі на честь Герберта Зейферта.


1. Визначення

Нехай L - Ручний орієнтований вузол або зачеплення в тривимірному просторі (або на тривимірній сфері). Поверхностью Зейферта називається компактна зв'язкова орієнтована поверхню S , Вкладена в тривимірний простір таким чином, що її кордоном є L , Причому орієнтація на поверхні S індукує вихідну орієнтацію на L .

Підкреслимо, що поверхня Зейферта повинна бути орієнтована.


2. Приклади

  • Всяка компактна зв'язкова орієнтована поверхню з непорожній кордоном в тривимірному просторі є поверхнею Зейферта свого кордону.

3. Рід вузла

Поверхня Зейферта даного вузла чи зачеплення визначена неоднозначно: один і той же вузол (або зачеплення) K може мати кілька різних поверхонь Зейферта, мінімально можливий рід такій поверхні називається родом вузла, є його інваріантом і позначається через g (K) .

До прикладу:

  • Рід тривіального вузла дорівнює 0 (оскільки він є кордоном диска); назад, якщо рід вузла дорівнює нулю, то вузол тривіальний.
  • Трилисник, як і вісімка, мають рід 1.
  • Рід торичні вузла типу (P, q) дорівнює (P-1) (q-1) \ over 2 .
  • Ступінь полінома Александера є оцінкою знизу на подвоєний рід вузла.

Фундаментальною властивістю роду є його адитивність по відношенню до зв'язковий сумі вузлів:

g (K_1 \ # K_2) = g (K_1) + g (K_2)