Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Поверхня другого порядку



План:


Введення

Поверхня другого порядку - геометричне місце точок, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду

a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2 a 12 x y + 2 a 23 y z + 2 a 13 x z + 2 a 14 x + 2 a 24 y + 2 a 34 z + a 44 = 0

в якому принаймні один з коефіцієнтів a 11 , a 22 , a 33 , a 12 , a 23 , a 13 відмінний від нуля.!


1. Типи поверхонь другого порядку

1.1. Циліндричні поверхні

Поверхня S називається циліндричною поверхнею з твірної \ Vec {l} , Якщо для будь-якої точки M 0 цієї поверхні пряма, що проходить через цю точку паралельно твірної \ Vec {l} , Цілком належить поверхні S .

Теорема (про зрівняння циліндричної поверхні).
Якщо в деякій декартовій прямокутній системі координат поверхню S має рівняння f (x, y) = 0 , То S - Циліндрична поверхня з утворюючої, паралельної осі O Z .

Крива, що задається рівнянням f (x, y) = 0 в площині z = 0 , Називається направляючою циліндричної поверхні.

Якщо напрямна циліндричної поверхні задається кривої другого порядку, то така поверхня називається циліндричною поверхнею другого порядку.

Еліптичний циліндр: Параболічний циліндр: Гіперболічний циліндр:
\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \!y ^ 2 = 2px \!\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} - \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} \! = 1
Cil.png Par.png Hip el.png
Пара збіглися прямих: Пара збіглися площин: Пара пересічних площин:
\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 0 \!y ^ 2 = 0 \!\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} - \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} \! = 0

1.2. Конічні поверхні

Конічна поверхню.

Поверхня S називається конічною поверхнею з вершиною в точці O , Якщо для будь-якої точки M 0 цієї поверхні пряма, що проходить через M 0 і O , Цілком належить цій поверхні.

Функція F (x, y, z) називається однорідної порядку m , Якщо \ Forall t \ in \ mathbb {R} \; \ forall x, y, z виконується наступне: F (tx, ty, tz) = t ^ mF (x, y, z) \!

Теорема (про зрівняння конічної поверхні).
Якщо в деякій декартовій прямокутній системі координат поверхню S задана рівнянням F (x, y, z) = 0 , Де F (x, y, z) - Однорідна функція, то S - Конічна поверхня з вершиною в початку координат.

Якщо поверхня S задана функцією F (x, y, z) , Що є однорідним алгебраїчним многочленом другого порядку, то S називається конічною поверхнею другого порядку.

  • Канонічне рівняння конуса другого порядку має вигляд:
\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} - \ frac {z ^ 2} {c ^ 2} = 0 \!

1.3. Поверхні обертання

Поверхня S називається поверхнею обертання навколо осі O Z , Якщо для будь-якої точки M 0 (x 0, y 0, z 0) цієї поверхні коло, що проходить через цю точку в площині z = z 0 з центром в (0,0, z 0) і радіусом r = \ sqrt {x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2} , Цілком належить цій поверхні.

| Hib sim.png | El Par.png |}

У випадку, якщо a = b \ neq 0 , Перераховані вище поверхні є поверхнями обертання.


1.4. Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд.

Зважаючи геометричній схожості гіперболічний параболоїд часто називають "сідлом".

Рівняння гіперболічного параболоїда:

\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} - \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 2pz \!

При перетині гіперболічного параболоїда площиною z = z 0 поверхню породжує гіперболу.

При перетині гіперболічного параболоїда площиною x = x 0 або y = y 0 поверхню породжує параболу.


1.5. Еліптичний параболоїд

Еліптичний параболоїд

Рівняння еліптичного параболоїда:

{X ^ 2 \ over a ^ 2} + {y ^ 2 \ over b ^ 2} - z = 0 \,

1.6. Центральні поверхні

Якщо центр поверхні другого порядку існує і єдиний, то його координати \ Left (x_0, \; y_0 \; z_0 \ right) можна знайти розв'язавши систему рівнянь:

\ Begin {cases} a_ {11} x_0 + a_ {12} y_0 + a_ {13} z_0 + a_ {14} = 0 \ \ a_ {21} x_0 + a_ {22} y_0 + a_ {23} z_0 + a_ {24} = 0 \ \ a_ {31} x_0 + a_ {32} y_0 + a_ {33} z_0 + a_ {34} = 0 \ end {cases}

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Крива другого порядку
Крива другого порядку
Кібернетика другого порядку
Логіка другого порядку
Параметр порядку
Життєпис Едуарда Другого
Доменне ім'я другого рівня
Функція вищого порядку
Логіка першого порядку
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru