Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Поверхня обертання



План:


Введення

Поверхня обертання - поверхню, утворена при обертанні навколо прямої (осі поверхні) довільної лінії ( прямий, плоскої або просторової кривої). Наприклад, якщо пряма перетинає вісь обертання, то при її обертанні вийде конічна поверхню, якщо паралельна осі - циліндрична, якщо схрещується з віссю - однопорожнинні гіперболоїд обертання. Одна і та ж поверхня може бути отримана обертанням найрізноманітніших кривих.

Є об'єктом вивчення в математичному аналізі, аналітичної і нарисної геометрії [1]


1. Приклади


2. Площа

Площа поверхні обертання, утвореної обертанням плоскої кривої кінцевої довжини навколо осі, що лежить в площині кривої, але не перетинає криву, дорівнює добутку довжини кривої на довжину кола з радіусом, рівним відстані від осі до центру мас кривої. Це твердження називається другою теоремою Гюльдена, або теоремою Паппа про центроїда.

Наприклад, для тора з радіусами r, R \, , Площа поверхні дорівнює

S = (2 \ pi r) \ cdot (2 \ pi R) = 4 \ pi ^ 2 r R .

Площа поверхні обертання, утвореної обертанням кривої y = f (x), \ a \ le x \ le b навколо осі 0x \, можна обчислити за формулою

S = 2 \ pi \ int \ limits_a ^ bf (x) \ sqrt {1 + \ left (f '(x) \ right) ^ 2} dx


Площа поверхні обертання, утвореної обертанням кривої x = x (t), \ y = y (t), \ \ alpha \ le t \ le \ beta навколо осі 0x \, можна обчислити за формулою

S = 2 \ pi \ int \ limits_ \ alpha ^ \ beta y (t) \ sqrt {\ left (x '(t) \ right) ^ 2 + \ left (y' (t) \ right) ^ 2} dt

Для випадку, коли крива задана в полярній системі координат r = \ rho (\ varphi), \ \ alpha \ le \ varphi \ le \ beta дійсна формула

S = 2 \ pi \ int \ limits_ \ alpha ^ \ beta \ rho (\ varphi) | sin \ varphi | \ sqrt {\ left (\ rho (\ varphi) \ right) ^ 2 + \ left (\ rho '( \ varphi) \ right) ^ 2} d \ varphi

3. Обсяг

Обсяг, обмежений поверхнею обертання, утвореної обертанням плоскої замкнутої несамопересекающейся кривої навколо осі, що лежить в площині кривої, але не перетинає криву, дорівнює добутку площі плоскої фігури, обмеженої кривою, на довжину кола з радіусом, рівним відстані від осі до центру ваги плоскої фігури.

Обсяг поверхні обертання, утвореної обертанням кривої y = f (x), \ a \ le x \ le b навколо осі 0x \, можна обчислити за формулою

V = \ pi \ int \ limits_a ^ b f ^ 2 (x) dx

Примітки

  1. СГАУ "Курс лекцій з нарисної геометрії" Губанов А.Н. під керівництвом Чемпінского Л.А. - www.ssau.ru/resources/sotrudniki/other/3/lection9/ посилання перевірена 9 лютого 2009

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Поверхня
Поверхня Мохоровичича
Підстилаюча поверхня
Лінійчата поверхня
Циліндрична поверхня
Поверхня Зейферта
Поверхня води
Поверхня Ліувілля
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru