Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Подвоєння куба



План:


Введення

Подвоєння куба - класична антична завдання на побудова циркулем і лінійкою ребра куба, обсяг якого вдвічі більше обсягу заданого куба.

Поряд з трисекции кута і квадратурою кола, є однією з найвідоміших нерозв'язних задач на побудови за допомогою циркуля і лінійки.


1. Історія

Згідно з античною легендою, одного разу на острові Делос вибухнула епідемія чуми. Жителі острова звернулися до дельфійського оракула, і той повідомив, що необхідно подвоїти жертовник святилища, який мав форму куба. Жителі Делоса спорудили ще один такий же куб і поставили його на перший, але епідемія не припинилася. Після повторного звернення оракул роз'яснив, що подвоєний жертовник також повинен мати форму куба.

З тих пір делійський завданням займалися кращі математики античного світу, було запропоновано кілька рішень, проте ніхто не зміг виконати таке побудова, використовуючи тільки циркуль та лінійку, тому поступово склалося загальне переконання в нерозв'язності такого завдання. Ще Аристотель в IV столітті до н. е.. писав: "З допомогою геометрії можна довести, що ... два куба складають один куб" [1].


2. Спроби вирішення

  • Гіппократ Хиосский (кінець V ст. до н. е..) показав, що завдання зводиться до знаходження двох середніх пропорційних між одним відрізком і іншим, вдвічі більшим його. У сучасних позначеннях - до знаходження x і y таких, що
    \ Frac {a} {x} = \ frac {x} {y} = \ frac {y} {2a} . Звідси x 3 = 2 a 3 .
  • Платон (перша половина IV ст. до н. е..) запропонував механічне рішення, засноване на побудові трьох прямокутних трикутників з потрібним співвідношенням сторін.
  • Менехм (середина IV ст. до н. е..) знайшов два рішення цього завдання, засновані на використанні конічних перетинів. У першому рішенні відшукується точка перетину двох парабол, а в другому - параболи і гіперболи.
  • Ератосфен (III ст. до н. е..) запропонував ще одне рішення, в якому використовується спеціальний механічний інструмент - мезолябія, а також описав рішення своїх попередників.
  • Нікомед (II ст. до н. е..) використовував для вирішення цього завдання метод вставки, виконуваної за допомогою спеціальної кривої - конхоида.
  • У ще одній групі схожих між собою рішень, що належать Діоклу, Папп і Безперечно, використовується та ж ідея, що і в рішенні Платона, при цьому Діокл застосовує для побудови спеціальну криву - ціссоіду.

Свої рішення також запропонували Вієт, Декарт, Грегуар де Сен-Венсан, Гюйгенс, Ньютон.


3. Нерозв'язність

У сучасних позначеннях, завдання зводиться до рішення рівняння x 3 = 2 a 3 . Рішення має вигляд x = a \ sqrt [3] 2 . Все зводиться до проблеми побудови відрізка довжиною \ Sqrt [3] {2} . П. Ванцель довів у 1837, що це завдання не може бути вирішена за допомогою циркуля і лінійки.

Хоча подвоєння куба нерозв'язно за допомогою циркуля і лінійки, його можна здійснити, якщо крім циркуля і лінійки використовувати деякі додаткові інструменти. Наприклад, подвоєння куба можливо здійснити побудовою за допомогою плоского орігамі.


4. Рішення за допомогою додаткових коштів

4.1. Подвоєння куба за допомогою невсіса

Рис. 1 Подвоєння куба за допомогою невсіса

Візьмемо рівносторонній трикутник MPN зі стороною a, продовжимо сторону PN і на відстані a від точки N побудуємо точку R (рис. 1). Продовжимо вліво відрізки NM і RM. Візьмемо лінійку невсіса з діастеми a і використовуючи пряму NM в якості направляючої, точку P в якості полюса і пряму RM як цільова лінії, побудуємо відрізок AB. Довжина відрізка BP відповідає стороні куба подвоєного обсягу в порівнянні з кубом зі стороною a.


Література


Примітки

  1. Аристотель. Друга аналітика, частина I, гл. 7. М.: Госполитиздат, 1952.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Куба
Куба (острів)
Сьєнфуегос (Куба)
Орьенте (Куба)
Сантьяго-де-Куба (провінція)
Куба на Олімпійських іграх
Мала війна (Куба)
Сантьяго-де-Куба (місто)
Генерал-капітанство Куба
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru