Поле Кіллінг

Поле Кіллінг [1] - векторне поле швидкостей (локальної) однопараметричної групи рухів ріманова або псевдоріманова різноманіття.

Іншими словами, потік, який генерується векторним полем Кіллінг, задає безперервне однопараметричне сімейство рухів різноманіття, тобто перетворень, щодо яких метричний тензор залишається інваріантним.

Зокрема, якщо метричний тензор g_ {\ mu \ nu} в деякій системі не залежить від однієї з координат x ^ \ mu , Тоді векторне поле уздовж цієї координати \ Hat {e} _ \ mu (x) \ equiv \ partial_ \ mu буде полем Кіллінг.

Вектори Кіллінг в фізиці вказують на симетрію фізичної моделі і допомагають знайти зберігаються величини, такі як енергія, імпульс або спін ​​. В теорії відносності, наприклад, якщо метричний тензор не залежить від часу, то в просторі-часі існує временіподобний вектор Кіллінг, з яким пов'язана сохраняющаяся величина - енергія гравітаційного поля.

Назва дана на честь німецького математика Вільгельма Кіллінг (Wilhelm Killing), який відкрив групи Лі і багато їх властивості паралельно з Софус Лі.


1. Визначення

Векторне поле X на M називається полем Кіллінг якщо воно задовольняє наступному рівнянню:

\ Mathcal {L} _X g = 0,

де \ Mathcal {L} _X - похідна Лі у напрямку X , A g - ріманова метрика на M .

Це рівняння можна переписати через зв'язність Леві-Чівіта :

g (\ nabla_Y X, Z) + g (Y, \ nabla_Z X) = 0

для будь-яких полів Y і Z .

У термінах локальних координат:

\ Nabla_i X_j + \ nabla_j X_i = 0.

2. Властивості

  • Векторне поле X є полем Кіллінг тоді і тільки тоді, коли звуження X на будь-яку геодезичну є полем Якобі.
  • Для завдання поля Кіллінг достатньо вказати його значення, плюс значення всіх його ( коваріантного) похідних першого порядку, всього в одній точці. З цієї точки векторне поле може бути продовжено на все різноманіття.
  • Дужка Лі, або комутатор двох полів Кіллінг дає знову полі Кіллінг. Таким чином, поля Кіллінг утворюють подалгебру нескінченновимірної алгебри Лі всіх (диференційовних) векторних полів на різноманітті. Ця подалгебра є алгеброю Лі групи рухів різноманіття.
  • Лінійна комбінація полів Кіллінг теж є полем Кіллінг.
    • Ілюстрація додавання полів Кіллінг на площині. Поле обертань навколо початку координат + полі паралельного перенесення вздовж осі y = поле обертань навколо центру, зміщеного відносно початку координат уздовж осі x:
      AddKillingFields.gif
      Всі три поля є полями рухів площини.
  • Якщо кривизна Річчі компактного різноманіття негативна то на ньому немає нетривіальних (тобто не рівних тотожно нулю) полів Кіллінг.
  • Якщо секційна кривизна компактного різноманіття позитивна і розмірність парна, то поле Кіллінг повинно мати нуль.

3. Приклади

Перші два поля Кіллінг відповідають однопараметричним підгрупах зрушень уздовж осей x і y , А останнє - підгрупі обертань навколо початку координат. Різні комбінації з цих трьох підгруп вичерпують всілякі руху площині.
  • У тривимірному евклідовому просторі \ R ^ 3 існує шість лінійно незалежних полів Кіллінг:
\ Xi_x = \ mathbf {e} _x , \ Xi_y = \ mathbf {e} _y , \ Xi_z = \ mathbf {e} _z
\ Zeta_x =-y \ mathbf {e} _z + z \ mathbf {e} _y
\ Zeta_y =-z \ mathbf {e} _x + x \ mathbf {e} _z
\ Zeta_z =-x \ mathbf {e} _y + y \ mathbf {e} _x
  • Останні три поля \ Zeta_x , \ Zeta_y і \ Zeta_z є також полями Кіллінг на сфері \ Mathbf {S} ^ 2 (Це стає очевидним якщо розглядати її зануреної в тривимірний простір).
  • Однолістний гіперболоїд, що задається рівнянням x ^ 2 + y ^ 2 - z ^ 2 = 1 , Занурений в простір Маньківського з метрикою ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 - dz ^ 2 , Має три лінійно незалежних поля Кіллінг, подібних полях Кіллінг на сфері:
\ Zeta_x = y \ mathbf {e} _z + z \ mathbf {e} _y
\ Zeta_y = z \ mathbf {e} _x + x \ mathbf {e} _z
\ Zeta_z =-x \ mathbf {e} _y + y \ mathbf {e} _x

4. Варіації і узагальнення

  • Конформні поля Кіллінг, визначаються формулою
    \ Mathcal {L} _X g = \ lambda g
    для деякого скаляра \ Lambda . Вони є похідними однопараметричних сімейств конформних відображень.
  • Конформні тензорні поля Кіллінг: симетричні тензорні поля T , Такі що сімметрізація \ Nabla T дорівнює нулю.
  • Антисиметрична тензорне поле Кіллінг - Яно, часто представляється, як "корінь квадратний з симетричного тензорного поля Кіллінг". Симетрія, описувана тензорами Кіллінг і Кіллінг - Яно, існує в обертових чорних дірах Керра, а також деяких їх узагальненнях. Наявність подібної симетрії пояснює, чому розділяються змінні в рівняннях руху класичної та квантової релятивістської механіки: Гамільтона - Якобі, хвильовому, Клейна - Гордона, Дірака та ін [2]

Примітки

  1. в теорії відносності часто просто вектор Кіллінг
  2. Олексій Борисович Гаїна. Квантові частинки в полях Ейнштейна - Максвелла / Кишинів. Штіінца. 1989.