Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Поле (алгебра)



План:


Введення

Полем називається безліч F з двома бінарними операціями + ( адитивна операція, або складання) і \ Cdot ( мультиплікативна операція, або множення), якщо воно (разом з цими операціями) утворює коммутативное асоціативне кільце c одиницею 1 \ neq 0 , Все ненульові елементи якого оборотні.

Іншими словами, безліч F з двома бінарними операціями + (Додавання) і \ Cdot (Множення) називається полем, якщо воно утворює комутативну групу по додаванню, всі його ненульові елементи утворюють комутативну групу з множенню, і виконується властивість дистрибутивности.


1. Пов'язані визначення

  • Характеристика поля - найменше додатне ціле число n таке, що сума n копій одиниці дорівнює нулю:
    n \ cdot 1 = 0
    Якщо такого числа не існує, то характеристика дорівнює 0 за визначенням.
  • Підполем поля k називається підмножина, яка сама є полем відносно операцій додавання і множення, заданих в k .
  • Розширення поля - поле, що містить дане поле як підполя.
  • Поле Галуа - поле, що складається з кінцевого числа елементів.
  • Просте поле - поле, що не містить власних підполів.

2. Властивості

  • Характеристика поля завжди 0 або просте число.
    • Поле характеристики 0 містить підполе, ізоморфне полю раціональних чисел \ Mathbb Q .
    • Поле простий характеристики p містить підполе, ізоморфне полю вирахувань \ Z_p .
  • Кількість елементів у кінцевому поле завжди дорівнює p n - Ступеня простого числа.
    • При цьому для будь-якого числа виду p n існує єдине (з точністю до ізоморфізму) поле з p n елементів, зазвичай позначуване \ Mathbb {F} _ {p ^ n} .
  • Будь ненульовий гомоморфізм полів є вкладенням.
  • У полі немає дільників нуля.

3. Приклади множин, які є полями

  • \ Mathbb {Q} - раціональні числа,
  • \ Mathbb {R} - речові числа,
  • \ Mathbb {C} - комплексні числа,
  • \ Mathbb {Z} _p - Поле вирахувань по модулю p , Де p - Просте число.
  • \ Mathbb {F} _q - кінцеве поле з q = p k елементів, де p - Просте число, k - Натуральне.
  • \ Mathbb {H} - Поле раціональних функцій виду f / g , Де f і g - Многочлени над деякими полем \ Mathbb {F} (При цьому g \ ne 0 , А f і g не мають спільних дільників, крім констант).
  • Числа виду a + b \ sqrt {2} , a, b \ in \ mathbb {Q} , Щодо звичайних операцій додавання і множення.

4. Дивись


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Алгебра Лі
Алгебра
Алгебра Лі
Алгебра Валя
Альтернативна алгебра
Сигнатура (алгебра)
Зовнішня алгебра
Алгебра Келі
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru