Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Порядкове число



План:


Введення

Порядкове число, або трансфінітних число, або ордінал в теорії множин - деяке узагальнення поняття натурального числа "за межі нескінченності". Вперше введені Георгом Кантором в 1897 з метою класифікації цілком упорядкованих множин. Відіграють ключову роль у доказі багатьох теорем теорії множин, особливо у зв'язку зі зв'язаним з ними принципом трансфінітних індукції.


1. Визначення

Порядкові числа допускають різні варіанти у тому чи іншому сенсі еквівалентних визначень. Одна із сучасних формулювань визначення порядкового числа по фон Нейманом виглядає наступним чином:

  • Назвемо безліч x транзитивним, якщо кожен елемент x є підмножиною x : \ Mathrm {Trans} (x) \ Leftrightarrow \ forall t (t \ in x \ to t \ subseteq x) .
  • Задовольняє аксіомі фундування безліч називається ордіналом, або порядковим числом, якщо воно саме і кожен його елемент транзитивності: \ Mathrm {Ord} (x) \ Leftrightarrow \ mathrm {Trans} (x) \ wedge \ forall t (t \ in x \ to \ mathrm {Trans} (t)) .

Зауважимо, що аксіома фундування істотно використовується в цьому визначенні, що необхідно враховувати при роботі з аксіоматичними системами, відмінними від системи Цермело - Френкеля.

Для позначення порядкових чисел зазвичай використовуються рядкові грецькі літери \ Alpha, \ beta, \ dots. Дана стаття дотримується таких позначень.


2. Властивості

  • Якщо α - Порядкове число, то кожен елемент α - Порядкове число.
  • Для будь-яких α, β виконується рівно одне з наступних співвідношень: \ Alpha \ in \ beta, \ alpha = \ beta, \ beta \ in \ alpha.
  • Будь-яке безліч порядкових чисел цілком впорядковано ставленням \ In (Зокрема, будь-яке порядкове число, що розглядається як безліч, цілком впорядковано ставленням \ In ), При цьому \ Bigcap x - найменший елемент безлічі x , \ Bigcup x - Порядкове число, більше або рівне будь-якого з елементів множини x . Вирази α <β і \ Alpha \ in \ beta для порядкових чисел еквівалентні. Нижче мається на увазі, що порядкові числа порівнюються з допомогою відносини \ In.
  • Для будь-якого цілком упорядкованої множини x існує єдине порядкове число, ізоморфне x (Зокрема, для будь-якого безлічі порядкових чисел існує єдине порядкове число, ізоморфне йому).
  • Будь-яке α збігається з безліччю всіх порядкових чисел, менших ніж α .
  • Початковий сегмент будь-якого порядкового числа є порядковим числом.
  • Пусте безліч \ Varnothing - Найменше порядкове число (а значить, воно є елементом будь-якого іншого порядкового числа).
  • α називається регулярним (синонім: ненасичених), якщо воно дорівнює \ Varnothing або існує безпосередньо передує йому β; іншими словами, якщо існує β <α, але між ними не можна вставити інше порядкове число β <γ <α. В останньому випадку говорять, що α - Порядкове число, наступне за β і пишуть \ Alpha = \ beta \ dot + 1 (Іноді просто α = β + 1, що виявляється погодженим з позначенням для суми порядкових чисел).
  • Порядкові числа, які не є неграничними, називаються граничними порядковими числами (іноді \ Varnothing теж відносять до граничних порядковим числах).
  • \ Alpha \ dot + 1 = \ alpha \ cup \ {\ alpha \}.
  • Безліч всіх кінцевих порядкових чисел ізоморфно безлічі невід'ємних цілих чисел, і для них використовуються такі ж позначення, як для цілих чисел. При цьому операції складання, множення і зведення в ступінь для порядкових чисел переходять до відповідних операції для цілих чисел. Кілька перших порядкових чисел:
\ Begin {align} & 0 = \ varnothing; \ \ & 1 = \ {0 \} = 0 \ cup \ {0 \} = \ {\ varnothing \}; \ \ & 2 = \ {0,1 \} = 1 \ cup \ {1 \} = \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \}; \ \ & 3 = \ {0,1,2 \} = 2 \ cup \ {2 \} = \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \}, \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \} \}; \ \ & \ dots \ end {align}
  • Безліч всіх кінцевих порядкових чисел позначається ω. Воно є найменшим граничним порядковим числом і найменшим нескінченним (а саме, рахунковим) порядковим числом. Наступним за ним порядковим числом є \ Omega \ dot + 1 = \ omega \ cup \ {\ omega \}.
  • Умова кінцівки α можна записати як α <ω або, що те ж саме, \ Alpha \ in \ omega.
  • Існує нескінченна безліч порядкових чисел, але не існує множини всіх порядкових чисел. Інакше кажучи, сукупність усіх порядкових чисел є власне класом.
  • Кожне безліч порядкових чисел A обмежена зверху і має точну верхню межу, яка позначається sup A. При цьому A \ subseteq \ sup A.
  • Якщо α - Граничне порядкове число або \ Varnothing , То sup α = α, інакше sup α <α.
  • Точна верхня грань рахункового безлічі рахункових порядкових чисел лічильно.
  • Кожне порядкове число має єдине подання до канторовской нормальній формі.

3. Арифметика порядкових чисел

3.1. Визначення операцій

  • Сума порядкових чисел рекурсивно визначається таким чином:
\ Begin {align} & \ alpha + 0 = \ alpha \ \ & \ alpha + (\ beta \ dot + 1) = (\ alpha + \ beta) \ dot + 1 \ \ & \ alpha + \ gamma = \ sup \ { \ alpha + \ beta | \ beta <\ gamma \}, \ end {align}
де третє правило застосовується у разі, коли γ є граничним порядковим числом.
  • Використовуючи ті ж позначення, визначимо операцію множення:
\ Begin {align} & \ alpha \ cdot 0 = 0 \ \ & \ alpha \ cdot (\ beta \ dot + 1) = \ alpha \ cdot \ beta + \ alpha \ \ & \ alpha \ cdot \ gamma = \ sup \ {\ alpha \ cdot \ beta | \ beta <\ gamma \}. \ End {align}
  • І операцію піднесення до степеня:
\ Begin {align} & \ alpha ^ 0 = 1 \ \ & \ alpha ^ {\ beta \ dot + 1} = \ alpha ^ \ beta \ cdot \ alpha \ \ & \ alpha ^ \ gamma = \ sup \ {\ alpha ^ \ beta | \ beta <\ gamma \}. \ End {align}

3.2. Властивості операцій

  • Додавання порядкових чисел некомутативних; зокрема, 1 + \ omega = \ omega \ ne \ omega + 1.
  • Додавання порядкових чисел асоціативно: α + (β + γ) = (α + β) + γ, що дозволяє записувати суму декількох доданків без дужок.
  • Сума зростає при зростанні правого доданка і не убуває при зростанні лівого доданка: з β 1> β 2 слід α + β 1> α + β 2 і \ Beta_1 + \ alpha \ geqslant \ beta_2 + \ alpha.
  • Якщо \ Alpha \ geqslant \ beta, то існує єдиний ордінал γ , Для якого β + γ = α.
  • Множення порядкових чисел некомутативних; зокрема, 2 \ cdot \ omega = \ omega \ ne \ omega \ cdot 2.
  • Множення порядкових чисел асоціативно: \ Alpha \ cdot (\ beta \ cdot \ gamma) = (\ alpha \ cdot \ beta) \ cdot \ gamma, що дозволяє записувати твір кількох співмножників без дужок.
  • Для додавання і множення виконується ліва дистрибутивність: \ Alpha \ cdot (\ beta + \ gamma) = \ alpha \ cdot \ beta + \ alpha \ cdot \ gamma.
  • α + 0 = 0 + α = α.
  • \ Alpha + 1 = \ alpha \ dot + 1.
  • \ Alpha \ in \ omega \ leftrightarrow \ alpha + \ omega = \ omega.
  • \ Alpha \ cdot 0 = 0 \ cdot \ alpha = 0.
  • \ Alpha \ cdot 1 = 1 \ cdot \ alpha = \ alpha.
  • \ Alpha \ in \ omega \ land \ alpha \ ne 0 \ leftrightarrow \ alpha \ cdot \ omega = \ omega.
  • \ Alpha + \ beta = 0 \ leftrightarrow \ alpha = 0 \ land \ beta = 0.
  • \ Alpha \ cdot \ beta = 0 \ leftrightarrow \ alpha = 0 \ lor \ beta = 0.
  • α 0 = 1.
  • α 1 = α.
  • \ Alpha \ ne 0 \ leftrightarrow 0 ^ \ alpha = 0.
  • 1 α = 1.
  • \ Alpha \ in \ omega \ land \ alpha> 1 \ leftrightarrow \ alpha ^ \ omega = \ omega.
  • \ Alpha ^ \ beta \ cdot \ alpha ^ \ gamma = \ alpha ^ {\ beta + \ gamma}.
  • (\ Alpha ^ \ beta) ^ \ gamma = \ alpha ^ {\ beta \ cdot \ gamma}.
  • \ Alpha> 1 \ land \ beta> \ gamma \ leftrightarrow \ alpha ^ \ beta> \ alpha ^ \ gamma.
  • \ Beta \ in \ omega \ to \ alpha + \ beta = \ alpha \ underbrace {\ dot + 1 \ dot + 1 \ dot + \ dots \ dot + 1} _ \ beta.
  • \ Beta \ in \ omega \ to \ alpha \ cdot \ beta = 0 \ underbrace {+ \ alpha + \ alpha + \ dots + \ alpha} _ \ beta.
  • \ Beta \ in \ omega \ to \ alpha ^ \ beta = 1 \ underbrace {\ cdot \ alpha \ cdot \ alpha \ cdot \ dots \ cdot \ alpha} _ \ beta.
  • У разі кінцівки аргументів додавання, множення і зведення в ступінь переходять у відповідні операції для цілих чисел (з кінцевими результатами).
  • У разі счетності аргументів результати складання, множення і зведення в ступінь також є рахунковими.

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
90 (число)
3 (число)
e (число)
-1 (Число)
30 (число)
12 (число)
14 (число)
18 (число)
24 (число)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru