Потік Річчі - система диференціальних рівнянь в приватних похідних, що описує деформацію римановой метрики на різноманітті.

Ця система є нелінійним аналогом рівняння теплопровідності.

Назва дана на честь італійського математика Річчі-Курбастро.


1. Рівняння

Рівняння потоку Річчі має вигляд: [1]

\ Partial_t g_t = -2 \, \ mathrm {Ric} _ {g_t}.

де g_t позначає однопараметричне сімейство ріманових метрик на повному різноманітті (залежна від речовинного параметра t ), І \ Mathrm {Ric} _ {g_t} - Її тензор Річчі.


2. Властивості

  • Формально кажучи, система рівнянь R , Що задається потоком Річчі, не є параболічним рівнянням. Тим не менш, існує параболічна система рівнянь R ' , Така, що якщо g_0 ріманова метрика на компактному різноманітті M і g_t , g'_t - Рішення систем R і R ' , То (M, \; g_t) ізометрічни (M, \; g_t ') для всіх t .
  • Аналогічно рівнянню теплопровідності (і іншим параболічним рівнянням), задавши довільні початкові умови при t = 0 , Можна отримати рішення лише в одну сторону по t , А саме t \ geqslant 0 .
  • На відміну від рішень рівняння теплопровідності, потік Річчі, як правило, не продовжується необмежено при t \ to \ infty . Рішення продовжується на максимальний інтервал [0, \; T) , При наближенні до T у вирішенні формується сингулярність. Саме на дослідженні сингулярностей, в які впираються потоки Річчі, і було засноване доказ гіпотези Терстона.

3. Історія

Початок дослідженню потоку Річчі було покладено Гамільтоном на початку 1980-x. [1]

Використовуючи потік Річчі, в 2002 Перельману вдалося довести гіпотезу Терстона, провівши тим самим повну класифікацію компактних тривимірних багатовидів, і довести гіпотезу Пуанкаре. [2]


Примітки

  1. 1 2 Ricci Flow - from Wolfram MathWorld - mathworld.wolfram.com / RicciFlow.html
  2. http://www.claymath.org/library/monographs/cmim03.pdf - www.claymath.org/library/monographs/cmim03.pdf "This conjecture was formulated by Henri Poincar [58] in 1904 and has remained open until the recent work of Perelman .... Perelman's arguments rest on a foundation built by Richard Hamilton with his study of the Ricci flow equation for Riemannian metrics. ".

Література

  • Hamilton, RS Three Manifolds with Positive Ricci Curvature / / J. Diff. Geom. 17, 255-306, 1982.
  • Hamilton, RS Four Manifolds with Positive Curvature Operator / / J. Diff. Geom. 24, 153-179, 1986.