Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Похідна функції



План:


Введення

Ілюстрація поняття похідної

Похідна (функції в точці) - основне поняття диференціального обчислення, характеризує швидкість зміни функції (в даній точці). Визначається як межа відносини збільшення функції до приросту її аргументу при прагненні збільшення аргументу до нулю, якщо така межа немає. Функцію, що має кінцеву похідну (в певній точці), називають дифференцируемой (у даній точці). Процес обчислення похідної називається диференціюванням. Зворотний процес - інтегрування.


1. Історія

У класичному диференціальному численні похідна найчастіше визначається через поняття теорії меж, проте історично теорія меж з'явилася пізніше диференціального числення.

Російський термін "похідна функції" вперше вжив В. І. Висковатов. [1]

2. Визначення

Нехай в деякій околиці точки x_0 \ in \ R визначена функція f \ colon U (x_0) \ subset \ R \ to \ R. Похідною функції називається таке число ~ A , Функцію що в околиці U (x 0) можна представити у вигляді

f (x 0 + h) = f (x 0) + A h + o (h)

якщо ~ A існує.


2.1. Визначення похідної функції через межа

Нехай в деякій околиці точки x_0 \ in \ R визначена функція f \ colon U (x_0) \ subset \ R \ to \ R. Похідною функції f в точці x 0 називається межа, якщо він існує,

f '(x_0) = \ lim \ limits_ {x \ to x_0} \ frac {f (x) - f (x_0)} {x - x_0} = \ lim_ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f ( x_0 + \ Delta x)-f (x_0)} {\ Delta x}.

2.2. Загальноприйняті позначення похідної функції y = f (x) в точці x 0

f '(x_0) = f'_x (x_0) = \ mathrm {D} \! f (x_0) = \ frac {df} {dx} (x_0) = \ left. \ frac {dy} {dx} \ right \ vert_ {x = x_0} = \ dot {y} (x_0).

Зауважимо, що останнє зазвичай позначає похідну за часом (у теоретичної механіки).

3. Дифференцируемость

Похідна ~ F '(x_0) функції f в точці x 0 , Будучи межею, може не існувати або існувати і бути кінцевою або нескінченною. Функція f є дифференцируемой в точці x 0 тоді і тільки тоді, коли її похідна в цій точці існує і конечна:

f \ in \ mathcal {D} (x_0) \ Leftrightarrow \ exists f '(x_0) \ in (- \ infty; \ infty).

Для дифференцируемой в x 0 функції f в околиці U (x 0) справедливо подання

~ F (x) = f (x_0) + f '(x_0) (x-x_0) + o (x-x_0) при x \ to x_0.

4. Зауваження

  • Назвемо Δ x = x - x 0 приростом аргументу функції, а Δ y = f (x 0 + Δ x) - f (x 0) збільшенням значення функції в точці x 0. Тоді
    f '(x_0) = \ lim \ limits_ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ Delta y} {\ Delta x}.
  • Нехай функція f \ colon (a, b) \ to \ R має кінцеву похідну в кожній точці x_0 \ in (a, b). Тоді визначена похідна функція
    f '\ colon (a, b) \ to \ R.
  • Функція, яка має кінцеву похідну в точці, неперервна в ній. Зворотне не завжди вірно.
  • Якщо похідна функція сама є безперервною, то функцію f називають безперервно диференціюється і пишуть: f \ in C ^ {(1)} \ bigl ((a, b) \ bigr).

5. Геометричний і фізичний зміст похідної

5.1. Тангенс кута нахилу дотичної прямої

Геометричний зміст похідної. На графіку функції вибирається абсциса x 0 і обчислюється відповідна ордината f (x 0). В околиці точки x 0 вибирається довільна точка x. Через відповідні точки на графіку функції F проводиться січна (перша світло-сіра лінія C 5). Відстань Δx = x - x 0 спрямовується до нуля, в результаті січна переходить в дотичну (поступово темніють лінії C 5 - C 1). Тангенс кута α нахилу цієї дотичній - і є похідна у точці x 0.

Якщо функція f \ colon U (x_0) \ to \ R має кінцеву похідну в точці x 0, то в околиці U (x 0) її можна наблизити лінійною функцією

f_l (x) \ equiv f (x_0) + f '(x_0) (x-x_0).

Функція f l називається дотичною до f в точці x 0. Число ~ F '(x_0) є кутовим коефіцієнтом або тангенсом кута нахилу дотичній прямій.


5.2. Швидкість зміни функції

Нехай s = s (t) - Закон прямолінійного руху. Тоді v (t 0) = s '(t 0) висловлює миттєву швидкість руху в момент часу t 0. Друга похідна a (t 0) = s''(t 0) висловлює миттєве прискорення в момент часу t 0.

Взагалі похідна функції y = f (x) в точці x 0 висловлює швидкість зміни функції в точці x 0 , Тобто швидкість протікання процесу, описаного залежністю y = f (x).


6. Похідні вищих порядків

Поняття похідної довільного порядку задається рекурентної. Вважаємо

f ^ {(0)} (x_0) \ equiv f (x_0).

Якщо функція f дифференцируема в x 0 , То похідна першого порядку визначається співвідношенням

f ^ {(1)} (x_0) \ equiv f '(x_0).

Нехай тепер похідна n -Го порядку f (n) визначена в деякій околиці точки x 0 і дифференцируема. Тоді

f ^ {(n +1)} (x_0) = \ left (f ^ {(n)} \ right) '(x_0).

Якщо функція ~ U = f (x, y, z) має в деякій області D приватну похідну по одній із змінних, то названа похідна, сама будучи функцією від ~ X, y, z, може мати в певній точці ~ (X_0, y_0, z_0) приватні похідні по тій же або з якоїсь іншої змінної. Для вихідної функції ~ U = f (x, y, z) ці похідні будуть приватними похідними другого порядку (або другими приватними похідними).

~ U''_ {x ^ 2} = f''_ {x ^ 2} (x_0, y_0, z_0) або ~ \ Frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} = \ frac {\ partial ^ 2 f (x_0, y_0, z_0)} {\ partial x ^ 2}
~ U''_ {xy} = f''_ {xy} (x_0, y_0, z_0) або ~ \ Frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x \ partial y} = \ frac {\ partial ^ 2 f (x_0, y_0, z_0)} {\ partial x \ partial y}

Приватна похідна другого або більш високого порядку, взята за різними змінним, називається змішаної похідної. Наприклад,

~ U''_ {xy} = f''_ {xy} (x_0, y_0, z_0)

7. Способи запису похідних

Залежно від цілей, сфери застосування і використовуваного математичного апарату використовують різні способи запису похідних. Так, похідна n-го порядку може бути записана в нотациях:

  • Лагранжа f (n) (x 0) , При цьому для малих n часто використовують штрихи і римські цифри:
f (1) (x 0) = f '(x 0) = f I (x 0),
f (2) (x 0) = f''(x 0) = f I I (x 0),
f (3) (x 0) = f'''(x 0) = f I I I (x 0),
f (4) (x 0) = f I V (x 0), і т. д.

Такий запис зручна своєю стислістю і широко поширена, а проте штрихами дозволяється позначати не вище третьої похідної.

  • Лейбніца, зручна наочної записом відносини нескінченно малих (тільки у випадку, якщо x - Незалежна змінна; в іншому випадку позначення вірно лише для похідною першого порядку):
\ Frac {d ^ n \! F} {dx ^ n} (x_0)
  • Ньютона, яка часто використовується в механіці для похідної за часом функції координати (для просторової похідної частіше використовують запис Лагранжа). Порядок похідної позначається числом крапок над функцією, наприклад:
\ Dot {x} (t_0) - Похідна першого порядку x по t при t = t 0 , Або \ Ddot {f} (x_0) - Друга похідна f по x в точці x 0 і т. д.
\ Mathrm {D} ^ n \! F (x_0) , Або іноді \ Partial ^ n \! F (x_0) .
  • У варіаційному численні і математичної фізики часто застосовується позначення U з індексом x (без штрихів), що означає похідна U по x.

Звичайно, при цьому необхідно не забувати, що служать всі вони для позначення одних і ті ж об'єктів:

f ^ {(n)} (x_0) = \ frac {d ^ n \! f} {dx ^ n} (x_0) = \ overset {\ overbrace {\ cdot \ cdot ... \ Cdot} ^ {n \ \ mathrm {PA} 3}} f (x_0) = \ mathrm {D} ^ n \! F (x_0).

8. Приклади

  • Нехай f (x) = x 2 . Тоді
f '(x_0) = \ lim \ limits_ {x \ to x_0} \ frac {x ^ 2 - x_0 ^ 2} {x-x_0} = \ lim \ limits_ {x \ to x_0} (x + x_0) = 2x_0 .
  • Нехай f (x) = | x | . Тоді якщо x_0 \ neq 0, то
f '(x 0) = sgn x 0,

де sgn позначає функцію знака. Якщо x 0 = 0, то f'_ + (x_0) = 1, \; f'_-(x_0) = -1, а отже f '(x 0) немає.


9. Правила диференціювання

Операція знаходження похідної називається диференціюванням. При виконанні цієї операції часто доводиться працювати з приватними, сумами, творами функцій, а також з "функціями функцій", тобто складними функціями. Виходячи з визначення похідної, можна вивести правила диференціювання, що полегшують цю роботу. Якщо C - постійне число і f = f (x), g = g (x) - деякі диференціюються функції, то справедливі наступні правила диференціювання:

  • C '= 0
  • x '= 1
  • \ Left (f + g \ right) '= f' + g ' [2]
  • \ Left (fg \ right) '= f'g + fg' [3]
  • \ Left (Cf \ right) '= Cf'
  • \ Left (\ frac {f} {g} \ right) '= \ frac {f' g-fg '} {g ^ 2} ... (G 0)
  • \ Left (\ frac {C} {g} \ right) '=- \ frac {Cg'} {g ^ 2} (G 0)
  • Якщо функція задана параметрично:

\ Left \ {\ begin {matrix} x = x (t), \ \ y = y (t), \ end {matrix} \; \; t \ in \ left [T_1; T_2 \ right] \ right. , То y'_x = \ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {dt} \ cdot \ frac {dt} {dx} = y'_t \ cdot t'_x = \ frac {y'_t} {x '_t}

  • \ Frac {d} {dx} f (g (x)) = \ frac {df (g)} {dg} \ cdot \ frac {dg (x)} {dx} = f'_g g'_x
  • Формули похідної твори і відносини узагальнюються на випадок n-кратного диференціювання ( формула Лейбніца):
(Fg) ^ {(n)} = \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {n} {C_n ^ kf ^ {(nk)} g ^ {(k)}}, де C_n ^ k - Біноміальні коефіцієнти.

Наступні властивості похідної служать доповненням до правил диференціювання:

  • якщо функція дифференцируема на інтервалі (A, b) , То вона неперервна на інтервалі (A, b) . Зворотне, взагалі кажучи, невірно (наприклад, функція y (x) = | x | на [- 1,1] );
  • якщо функція має локальний максимум / мінімум при значенні аргументу, що дорівнює x , То f '(x) = 0 (Це так звана лема Ферма);
  • похідна даної функції єдина, але у різних функцій можуть бути однакові похідні.
  • (F (x) ^ {g (x)}) '= f (x) ^ {g (x)} \ left (g' (x) \ ln f (x) + \ frac {g (x) f ' (x)} {f (x)} \ right) (\ forall x \ in D_f: f (x)> 0)
Доказ

y = f (x) g (x)

ln y = g (x) ln f (x)

\ Frac {y '} {y} = g' (x) \ ln f (x) + \ frac {g (x) f '(x)} {f (x)}

y '= y \ left (g' (x) \ ln f (x) + \ frac {g (x) f '(x)} {f (x)} \ right)

y '= f (x) ^ {g (x)} (g' (x) \ ln f (x) + \ frac {g (x) f '(x)} {f (x)})


10. Таблиця похідних деяких функцій

Функція ~ F (x) Похідна ~ F '(x) Примітка
~ X ^ \ alpha~ \ Alpha \ cdot x ^ {\ alpha-1}
Доказ
Фіксуємо x \ in \ mathbb {D} (f) , Додамо прирощення аргументу ~ \ Delta x . Обчислимо приріст функції: \ Delta y = (x + \ Delta x) ^ \ alpha-x ^ \ alpha = x ^ \ alpha ((1 + \ frac {\ Delta x} {x}) ^ \ alpha -1) , Т.про (X ^ \ alpha) '= \ lim_ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = \ lim_ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {x ^ \ alpha ((1 + \ frac {\ Delta x} {x}) ^ \ alpha -1)} {\ Delta x}} =Див = \ Lim_ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ alpha \ cdot x ^ \ alpha \ cdot \ frac {\ Delta x} {x}} {\ Delta x} = \ alpha \ cdot x ^ {\ alpha -1}
~ A ^ x~ A ^ x \ cdot \ ln {a}
Доказ
Фіксуємо x \ in \ mathbb {D} (f) , Додамо прирощення аргументу ~ \ Delta x . Обчислимо приріст функції: ~ \ Delta y = a ^ {x + \ Delta x}-a ^ x = a ^ x (a ^ {\ Delta x} -1) , Т.про (A ^ x) '= \ lim_ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = \ lim_ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {a ^ x ( a ^ {\ Delta x} -1)} {\ Delta x}} =Див = \ Lim_ {\ Delta x \ to 0} \ frac {a ^ x \ cdot \ Delta x \ cdot \ ln {a}} {\ Delta x} = a ^ x \ cdot \ ln {a}
~ \ Log_a {x}~ \ Frac {1} {x \ cdot \ ln {a}}
~ \ Sin x~ \ Cos x
~ \ Cos x~ - \ Sin x
~ \ Mathrm {tg} \ x~ \ Frac {1} {\ cos ^ 2 {x}}
~ \ Mathrm {ctg} \ x~ - \ Frac {1} {\ sin ^ 2 {x}}
~ \ Arcsin {x}\ Frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}}
~ \ Arccos {x}- \ Frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}}
~ \ Mathrm {arctg} \ x~ \ Frac {1} {1 + x ^ 2}
~ \ Mathrm {arcctg} \ x~ - \ Frac {1} {1 + x ^ 2}
~ \ Mathrm {sh} \ x~ \ Mathrm {ch} \ x
~ \ Mathrm {ch} \ x~ \ Mathrm {sh} \ x
~ \ Mathrm {th} \ x~ \ Frac {1} {\ mathrm {ch} ^ 2 \ x}
~ \ Mathrm {cth} \ x~ - \ Frac {1} {\ mathrm {sh} ^ 2 \ x}

11. Похідна вектор-функції по параметру

Визначимо похідну вектор-функції \ Mathbf {r} (t) по параметру:

\ Frac {d} {dt} \ mathbf {r} (t) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {\ mathbf {r} (t + h) - \ mathbf {r} (t)} {h } .

Якщо похідна в точці ~ T існує, вектор-функція називається дифференцируемой в цій точці. Координатними функціями для похідної будуть x '(t), \ y' (t), \ z '(t) .

Властивості похідної вектор-функції (всюди передбачається, що похідні існують):

  • \ Frac {d} {dt} (\ mathbf {r_1} (t) + \ mathbf {r_2} (t)) = \ frac {d \ mathbf {r_1} (t)} {dt} + \ frac {d \ mathbf {r_2} (t)} {dt} - Похідна суми є сума похідних.
  • \ Frac {d} {dt} (f (t) \ mathbf {r} (t)) = \ frac {df (t)} {dt} \ mathbf {r} (t) + f (t) \ frac { d \ mathbf {r} (t)} {dt} - Тут ~ F (t) - Дифференцируемая скалярна функція.

Примітки

  1. Гірничий університет. Кафедра вищої математики - www.spmi.ru / ffgd / vm
  2. Похідна суми дорівнює сумі похідних
  3. Звідси, зокрема, випливає, що похідна твори функції і константи дорівнює добутку похідної цієї функції на константу

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Повна похідна функції
Похідна
Похідна Лі
Похідна Фреше
Похідна Пеано
Коваріантна похідна
Похідна Рімана
Похідна Гато
Похідна за напрямом
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru