Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Початки Евкліда



План:


Введення

Ватиканський манускрипт (Vat. 190), т.2, 207v - 208r. Euclid XI prop. 31, 32 і 33.

"Початки" ( греч. Στοιχεῖα , лат. Elementa ) - Головна праця Евкліда, написаний близько 300 р. до н.е.. і присвячений систематичному побудові геометрії. "Початки" - вершина античної геометрії і античної математики взагалі, підсумок її 300-річного розвитку і основа для подальших досліджень. "Початки", поряд з двома працями Автолік з живильної - найдавніше з дійшли до нас античних математичних творів; всі праці попередників Евкліда відомі нам тільки по згадках і цитат пізніших коментаторів.

Прокл повідомляє (посилаючись на Евдема), що подібні твори створювалися і до Евкліда: "Початки" були написані Гіппократа Хиосськом, а також платониками Леонтій і Февда. Але ці твори, очевидно, були втрачені ще в античності.

Текст "Почав" протягом століть були предметом дискусій, до них написано численні коментарі. З античних коментарів до нас дійшов коментар, написаний Проклом [1]. Цей текст є найважливішим джерелом з історії та методології грецької математики. Прокл дає короткий виклад історії грецької математики (т. зв. Евдем каталог геометрів), обговорює взаємозв'язок методу Евкліда і логіки Аристотеля, роль уяви в доказах.

Із давніх коментаторів слід згадати Паппа, з нових - П'єра Рамуса [2], Федеріго Коммандіно [3], Христофа Шлюссель (Клавіуса) [4] і Савилов.

"Початки" зробили величезний вплив на розвиток математики аж до Новітнього часу. Книга перекладена на багато мов світу. Так, на китайською мовою перші 6 книг "Начал" видав Маттео Річчі під час своєї місії в Китаї ( 1583 - 1610). За кількістю перевидань "Початки" не мають собі рівних серед світських книг.

Альберт Ейнштейн так оцінював "Початки": "Це дивовижне твір думки дало людському розуму ту впевненість у собі, яка була необхідна для його подальшої діяльності. Той не народжений для теоретичних досліджень, хто в молодості не захоплювався цим творінням" [5].


1. Короткий огляд змісту

В "Засадах" викладаються планіметрія, стереометрія, арифметика, відносини з Евдоксу. У класичній реконструкції Гейберга вся праця складається з 13 книг. До них традиційно приєднують дві книги про п'ять правильних многогранниках, приписувані Гіпсіклу Олександрійському та школі Ісидора Мілетського.

Виклад в "Засадах" ведеться строго дедуктивно. Кожна книга починається з визначень. У першій книзі за визначеннями йдуть аксіоми і постулати. Потім слідують пропозиції, які діляться на завдання (в яких потрібно щось побудувати) і теореми (в яких потрібно щось довести). Визначення, аксіоми, постулати та пропозиції пронумеровані, наприклад, I def. 2 - друге визначення першої книги.


1.1. Перша книга

Перша книга починається визначеннями, з яких перші сім (I def. 1-7) свідчать:

  1. Точка є те, що не має частин. ( Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν - Букв. "Точка є те, частина чого ніщо")
  2. Лінія - довжина без ширини.
  3. Краї ж лінії - точки.
  4. Пряма лінія є та, яка однаково лежить на всіх своїх точках. ( Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ 'ἑαυτῆς σημείοις κεῖται )
  5. Поверхня є те, що має тільки довжину і ширину.
  6. Краї ж поверхні - лінії.
  7. Плоска поверхня є та, яка однаково лежить на всіх своїх лініях.

Коментатори епохи Відродження вважали за краще говорити, що точка є місце без протягу. Сучасні автори, навпаки, визнають неможливість визначення основних понять, і Давид Гільберт починає "Підстави геометрії" [6] так:

Ми мислимо три різні системи речей: речі першої системи ми називаємо точками й позначаємо A, B, C \ dots

Постулати Евкліда

За визначеннями Евклид наводить постулати (I post. 1-5):

  1. Від будь-якої точки до будь-якої точки можна провести пряму.
  2. Обмежену пряму можна безперервно продовжувати по прямій.
  3. З будь-якого центру всяким розчином може бути описаний коло.
  4. Усі прямі кути рівні між собою.
  5. Якщо пряма, що перетинає дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, менші двох прямих, то, продовжені необмежено, ці дві прямі зустрінуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих.

Найбільш цікавим в аксіоматиці Евкліда останній, знаменитий п'ятий постулат. Серед інших, інтуїтивно очевидних постулатів, він нарочито чужорідний, його громіздка формулювання закономірно викликає деяке почуття протесту і бажання знайти для нього доказ. Такі докази вже в давнину намагалися побудувати Птолемей і Прокл; а в Новий час з цих спроб розвинулася неевклідова геометрія. Слід зазначити, що перші 28 теорем I книги відносяться до абсолютної геометрії, тобто не спираються на V постулат.

За постулатами слідують аксіоми (I ax. 1-9), які мають характер загальних тверджень, які в рівній мірі як до чисел, так і до безперервних величин:

  1. Рівні одному і тому ж рівні і між собою.
  2. І якщо до рівних додаються рівні, то й цілі будуть рівні.
  3. І якщо від рівних віднімаються рівні, то залишки будуть рівні.
  4. (І якщо до нерівних додаються рівні, то цілі будуть не рівні.)
  5. (І подвоєні одного і того ж рівні між собою.)
  6. (І половини одного і того ж рівні між собою.)
  7. І суміщені один з одним рівні між собою.
  8. І ціле більше частини.
  9. (І дві прямі не містять простору.)

У дужки взяті аксіоми, приналежність яких Евкліду Гейберг, автор класичної реконструкції тексту Начал, визнав сумнівною. I post. 4 і 5 в ряді списків виступають як I ax. 10 і 11 відповідно.

За аксіомами йдуть три теореми, що представляють собою завдання на побудову, давно викликають суперечки. Так I prop. 2 пропонує "від даної точки відкласти пряму, рівну даної прямої". Нетривіальність цього завдання полягає в тому, що Евклід не переносить відрізок на пряму відповідним розчином циркуля, вважаючи таку операцію недозволеної, і використовує I post. 3 в несподівано вузькому сенсі.

При доведенні I prop. 4, що виражає ознаку рівності трикутників, Евклід використовує метод накладення, ніяк не описаний в постулатах і аксіомах. Всі коментатори відзначали цю лакуну, Гільберт не знайшов нічого кращого, як зробити ознака рівності трикутників за трьома сторонами (I prop. 8) аксіомою III-5 в своїй системі. З іншого боку, постулат I post. 4 тепер прийнято доводити, як це зробив вперше Хр.Вольф [7], у Гільберта це твердження виводиться з аксіом конгруентності [8].

Потім розглядаються різні випадки рівності та нерівності трикутників; теореми про паралельні прямі і параллелограммах; так звані "місцеві" теореми про рівність площ трикутників і паралелограмів на одній підставі і під однією заввишки. Закінчується I книга теоремою Піфагора.


1.2. Огляд змісту книг II-XIII

II книга - теореми так званої "геометричної алгебри".

III книга - пропозиції про кіл, їх дотичних і хордах, центральних і вписаних кутах.

IV книга - пропозиції з вписаних і описаних багатокутниках, про побудову правильних багатокутників.

V книга - загальна теорія відносин, розроблена Евдоксом Кнідський.

VI книга - вчення про подобі геометричних фігур. Ця книга завершує евклидову планіметрію.

VII, VIII і IX книги присвячені теоретичної арифметики. Евклід як чисел розглядає виключно натуральні числа; для нього "Число є сукупність одиниць". Тут викладаються теорія подільності і пропорцій, доводиться нескінченність безлічі простих чисел, наводиться алгоритм Евкліда для знаходження найбільшого загального дільника двох чисел, будуються парні вчинені числа. Евклід доводить також формулу для суми геометричній прогресії.

X книга - класифікація несумірних величин. Це сама об'ємна з книг "Начал".

XI книга - початку стереометрії: теореми про взаємне розташування прямих і площин; теореми про тілесних кутах, обсяг паралелепіпеда і призми, теореми про рівність і подобі паралелепіпедів.

XII книга - теореми про пірамідах і конусах, доводить за допомогою методу вичерпування. Тут доводиться, наприклад, теорема про те, що обсяг конуса становить одну третину від обсягу циліндра з тими ж основою і висотою.

XIII книга - побудова правильних багатогранників; доказ того, що існує рівно п'ять правильних багатогранників.

Евклід ніде в книзі не посилається на інших грецьких математиків, хоча безсумнівно спирається на їх результати. Історики науки [9] [10] показали, що прототипом для праці Евкліда послужили більш ранні твори античних математиків:

В цілому зміст "Почав" покриває значну частину античної теоретичної математики. Однак деяка частина відомого давньогрецьким математикам матеріалу залишилася поза цієї праці - наприклад, конічні перетину (Евклід присвятив їм окремий працю, який не зберігся), довжина кола, теорія наближених обчислень.


2. Манускрипти та видання Почав

2.1. Грецький текст "Начал"

Папірус з Оксірінхе

При розкопках античних міст знайдено декілька папірусу, що містять невеликі фрагменти "Начал" Евкліда. Найвідоміший був знайдений в "місті папірусів" Оксірінхе в 1896 - 1897 і містить формулювання II prop. 5 із малюнком. [11]

Грецький текст "Начал" Евкліда відомий за візантійськими манускриптів, з них найвідоміші:

  • MS D'Orville 301, Bodleian Library, Oxford
  • MS Vaticano, numerato 190, 4to, в 2 томах (Ватиканський манускрипт)

На їх основі, а також з урахуванням арабських перекладів "Начал" (IX століття і далі) оригінальний текст був реконструйований датським істориком науки Гейберга в кінці XIX століття, його методи докладно описані Хізом (TL Heath). [12]

Гейберг використовував у своїй реконструкції 8 грецьких манускриптів, датованих зараз IX-XI століттями. З цих манускриптів сім у своєму заголовку мають позначку "з видання Теона "або" з лекцій Теона "і тому називаються Теоновскімі. Ватиканський манускрипт такий позначки не має і вважається несхильним редакції Теона. Теоновскіе манускрипти різняться між собою, і загальних ознак, що відрізняють їх від ватиканського манускрипту, небагато (найсуттєвіший - кінцівка IV книги) . На полях манускриптів є численні коментарі, взяті частково з коментарів Прокла, які вписують "Початки" в контекст грецької культури, напр., повідомляється про те, що Піфагор, відкривши свою теорему, приніс у жертву биків.

Історія набуття візантійських манускриптів темна. Ймовірно, вони потрапили в Європу ще в XVI столітті, але не були опубліковані. У першому видання грецького тексту, здійснений Йоханом Хервагеном (Johann Herwagen) між 1533 і 1558 під редакцією Симона Грінер (Simon Gryner, він же Grynaeus, професор грецької в базельському університеті), використані манускрипти, які, на думку Гейберга, є вельми погані копії XVI століття. Лише в 1808 Пейрар (F. Peyrard) під час наполеонівських експропріацій знайшов три манускрипту у Ватикані та серед них найважливіший ватиканський.


2.2. Латинський текст "Начал"

Манускрипт з Люнебурга, ок. 1200 року, передає геометрію Боеція.

У Європі "Початки" Евкліда латинською мовою були добре відомі і в середні віки, і в епоху Відродження, однак далеко не в звичному тепер вигляді. Середньовічні латинські трактати, що містять фрагменти "Начал" Евкліда, каталогізовані мюнхенським вченим М. Фолькертсом [13]. У цьому каталозі манускрипти розділені на слід. групи:

  1. Так звана "Геометрія Боеція "(насправді трактат Боеція не належить). Трактати цієї групи починаються словами" Incipit Geometriae Boetii ", мають ряд загальних ознак, хоча їхні тексти значно розходяться. Текст займає п'ять-шість рукописних листів. Докази пропозицій відсутні, проте є ілюстрації з додатковими побудовами. Іноді доказами забезпечуються тільки перші три теореми. Першим визначенням передує твердження про те, що основа геометрії у вимірі довжин, висот і ширини, після цього евклідові визначення набувають іншого змісту, напр., лінія - об'єкт, довжину якого вимірюють, а ширину немає і т. д. Мова не зазнав впливу арабської, тому вважається, що геометрія Боеція - прямий переклад з грецької на латинську. Опублікований манускрипт з Люнібурга
  2. Геометрія Аделарда (Adelard) становить великий клас манускриптів, написаних різними авторами в різний час. Найбільша підгрупа, названа як Adelard II, містить всі 15 книг "Начал" Евкліда, втім, збереження манускриптів така, що говорити про це потрібно з обережністю. Характерна риса - наявність доказів, причому в кращих манускриптах докази передують викладу (enucatio); деякі докази дано детально, інші лише намічені. Деякі викладу (enunciatio) в Adelard II буквально відтворюють Боеція, інші мають інше формулювання часто з арабськими еквівалентами замість латинських термінів. Текст значно різниться від манускрипту до манускрипту (в книгах VII-IX і XI-XIII докази особливо різняться), так, що в середні століття не було канонічного тексту для Adelard II, який весь час доповнювався і покращувався. Варто підкреслити, що докази відрізняються способом вираження, але не математичної суттю. Протягом усього XII століття йшла робота по поліпшенню доказів.
  3. Геометрія Кампано (Campanus) - комплекс рукописів 13-15 вв. У цій версії "Початки" вельми схожі з візантійськими манускриптами і цілком можуть розглядатися як досить точний переклад, в якому, проте присутні арабські терміни (напр., паралелепіпед названий belmaui). Це видання представляє собою 15 книг, формулювання пропозицій близькі до Adelard II, але докази слід за викладом. У заголовку манускриптів зазвичай ототожнені Евклід, автор Начал, і учень Сократа філософ Евклід мегарський.

Друковані видання "Начал" Евкліда каталогізовані Томасом-Стенфордом [14]. Перше друковане видання "Почав" [15] було здійснено Ерхардом Ратдольтом (Erhard Ratdolt) у Венеції в 1482 і воно відтворювало "Початки" в обробці Кампано. Наступне видання, яке не копіюють перше, було здійснено Бартоломео Замберті 1505. З передмови відомо, що Замберті перекладав грецький манускрипт, передає "Початки" в обробці Теона, однак, Гейберга не вдалося його ідентифікувати.

У XVI столітті вважалося, що Евкліду належать лише формулювання теорем, докази ж були придумані пізніше, були поширені видання "Почав" без доказів і видання, які порівнюють докази Кампана і Замберті [16]. Этот взгляд имел вполне твердую основу: в начале XVI века была издана геометрия Боэция [17], которая тоже являлась переводом "Начал" Евклида, но доказательств в этом издании не содержалось. Считалось также, что использование в доказательствах буквенных обозначений подразумевает знакомство с буквенной алгеброй. Это мнение было отвергнуто в XVII веке.


2.3. Русские переводы

Первое издание "Начал" на русском языке произошло в 1739 году; книга вышла в Петербурге под названием "Евклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг выбранныя и в осьмь книг через профессора мафематики Андрея Фархварсона сокращенныя, с латинского на российский язык хирургусом Иваном Сатаровым преложенныя". [18] Перевод выполнил И. П. Сатаров под руководством шотландского математика Генри Фарварсона ( Henry Fargwarson). [19] Имя Ньютона (" Нефтона ") в названии упомянуто, возможно, в рекламных целях, к содержанию книги он никакого отношения не имеет. Перевод был сделан с сокращённого французского издания "Начал" А. Такэ ( A. Tacquet). [18] Немного позднее вышли ещё 2 перевода, также сокращённые до 8 книг:

  • 1769 год: перевод Н. Г. Курганова "Евклидовы Елементы Геометрии, то есть первыя основания науки о измерении протяжения".
  • 1784 год: перевод П. И. Суворова и В. Н. Никитина "Евклидовых стихий осьмь книг, а именно: первая, вторая, третья, четвертая, пятая, шестая, одиннадцатая и двенадцатая; к сим прилагаются книги тринадцатая и четырнадцатая. Переведены с греческого и поправлены. В Санкт-Петербурге, в типографии Морского шляхетного Кадетского Корпуса" (переизданы в 1789 году). Перевели преподаватели указанного корпуса, магистры Оксфордского университета В. Н. Никитин [20] и П. И. Суворов [21].

Практично повністю (крім 10-й книги) "Початки" російською мовою вийшли в перекладі Ф. І. Петрушевского [22] : книги 1-6 і 11-13 в 1819, книги 7-9 в 1835 [23]. У 1880 році вийшов переклад М. Є. Ващенко-Захарченко (див. у Вікіпедію). Ще один скорочений переклад був виданий у Кременчуці (1877 рік) під назвою "Вісім книг геометрії Евкліда"; переклад під керівництвом А. А. Сокович (1840-1886), директора місцевого реального училища, виконали два вихованці цього училища [24].

Останнє за часом повне академічне видання було опубліковано в 1949 - 1951 роках, переклад з грецької та коментарі Д. Д. Мордухай-Болтовського.


3. Тексти "Начал"

В мережі доступні наступні манускрипти та друковані видання "Почав":


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Математичні початки натуральної філософії
Алгоритм Евкліда
Лемма Евкліда
Аксіома паралельності Евкліда
Аксіома паралельності Евкліда
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru