Правила Кірхгофа

Не слід плутати з Принцип Керкгоффса.

Правила Кірхгофа (часто, в літературі, називаються не зовсім коректно Закони Кірхгофа) - співвідношення, які виконуються між струмами і напругами на ділянках будь електричного кола. Правила Кірхгофа дозволяють розраховувати будь-які електричні кола постійного, змінного та квазістаціонарного струму. [1] Мають особливе значення в електротехніці через свою універсальність, так як придатні для вирішення багатьох завдань у теорії електричних ланцюгів і практичних розрахунків складних електричних ланцюгів. Застосування правил Кірхгофа до лінійної електричного кола дозволяє отримати систему лінійних рівнянь відносно струмів або напруг, і відповідно, знайти значення струмів на всіх гілках ланцюга і все міжвузлові напруги. Сформульовано Густавом Кірхгофа в 1845. Назва "Правила" коректніше тому, що ці правила не є фундаментальними законами Природи, а випливають з фундаментальних законів збереження заряду і безвіхревое електростатичного поля (3-е рівняння Максвелла при незмінному магнітному полі). Ці правила не слід плутати з ще двома законами Кірхгофа в хімії та фізиці.


1. Формулювання правил

1.1. Визначення

Для формулювання правил Кірхгофа вводяться поняття вузол, гілка і контур електричного кола. Гілкою називають будь двухполюсник, що входить в ланцюг, наприклад, на рис. відрізок, позначений U 1, I 1 є гілка. Вузлом називають точку з'єднання трьох і більше гілок (на рис. Позначені жирними крапками). Контур - замкнутий цикл з гілок. Термін замкнутий цикл означає, що, почавши з деякого вузла ланцюга і одноразово пройшовши по декількох гілках і вузлах, можна повернутися в початковий вузол. Гілки і вузли, прохідні при такому обході, прийнято називати належать даному контуру. При цьому потрібно мати на увазі, що гілка і вузол можуть належати одночасно кільком контурам.

У термінах даних визначень правила Кірхгофа формулюються наступним чином.


1.2. Перше правило

Скільки струму втікає в вузол, стільки з нього і випливає. I 2 + i 3 = i 1 + i 4

Перше правило Кірхгофа (правило струмів Кірхгофа) свідчить, що алгебраїчна сума струмів в кожному вузлі будь кола дорівнює нулю. При цьому втікає в вузол струм прийнято вважати позитивним, а витікаючий - негативним:

\ Sum \ limits ^ n_ {j = 1} I_j = 0.

Іншими словами, скільки струму втікає в вузол, стільки з нього і випливає. Це правило випливає з фундаментального закону збереження заряду.


1.3. Друге правило

Друге правило Кірхгофа (правило напруг Кірхгофа) свідчить, що алгебраїчна сума падінь напруг на всіх гілках, що належать будь-якому замкнутому контуру ланцюга, дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС гілок цього контуру. Якщо в контурі немає джерел ЕРС (ідеалізованих генераторів напруги), то сумарне падіння напруги дорівнює нулю:

для постійних напруг \ Sum ^ n_ {k = 1} E_k = \ sum ^ m_ {k = 1} U_k = \ sum ^ m_ {k = 1} R_kI_k;
для змінних напруг \ Sum ^ n_ {k = 1} e_k = \ sum ^ m_ {k = 1} u_k = \ sum ^ m_ {k = 1} R_ki_k + \ sum ^ m_ {k = 1} u_ {L \, k} + \ sum ^ m_ {k = 1} u_ {C \, k}.

Це правило випливає з 3-го рівняння Максвелла, в окремому випадку стаціонарного магнітного поля.

Іншими словами, при повному обході контура потенціал, змінюючись, повертається до вихідного значення. Окремим випадком другого правила для ланцюга, що складається з одного контуру, є закон Ома для цього ланцюга. При складанні рівняння напруг для контуру потрібно вибрати позитивний напрямок обходу контуру. При цьому падіння напруги на гілки вважають позитивним, якщо напрямок обходу даної гілки збігається з раніше обраним напрямком струму гілки, і негативним - у противному випадку (див. далі).

Правила Кірхгофа справедливі для лінійних і нелінійних лінеаризовані ланцюгів при будь-якому характері зміни в часі струмів і напруг.


2. Особливості складання рівнянь для розрахунку струмів і напруг

Якщо ланцюг містить p вузлів, то вона описується p-1 рівняннями струмів. Це правило може застосовуватися і для інших фізичних явищ (наприклад, система трубопроводів рідини чи газу з насосами), де виконується закон збереження частинок середовища і потоку цих часток.

Якщо ланцюг містить m гілок, з яких містять джерела струму гілки в кількості m_i , То вона описується m-m_i-(p-1) рівняннями напруг.

  • Правила Кірхгофа, записані для p-1 ~ вузлів або m-(p-1) ~ контурів ланцюга, дають повну систему лінійних рівнянь, яка дозволяє знайти всі струми і всі напруги.
  • Перед тим, як скласти рівняння, потрібно довільно вибрати:
    • позитивні напрямки струмів у гілках і позначити їх на схемі, при цьому не обов'язково стежити, щоб у вузлі напрямки струмів були і втікає, і витікаючими, остаточне рішення системи рівнянь все одно дасть правильні знаки струмів вузла;
    • позитивні напрямки обходу контурів для складання рівнянь за другим законом, з метою однаковості рекомендується для всіх контурів позитивні напрямки обходу вибирати однаковими (напр.: за годинниковою стрілкою).
  • Якщо напрямок струму збігається з напрямком обходу контуру (яке вибирається довільно), падіння напруги вважається позитивним, в іншому випадку - негативним.
  • При запису лінійно незалежних рівнянь за другим правилом Кірхгофа прагнуть, щоб в кожний новий контур, для якого складають рівняння, входила хоча б одна нова гілка, яка не увійшла в попередні контури, для яких вже записані рівняння за другим законом (достатня, але не необхідна умова).
  • У складних непланарних графах електричних ланцюгів людині важко побачити незалежні контури і вузли, кожен незалежний контур (вузол) при складанні системи рівнянь породжує ще 1 лінійне рівняння в визначальною задачу системі лінійних рівнянь. Підрахунок кількості незалежних контурів і їх явна вказівка ​​в конкретному графі розвинений в теорії графів.

3. Приклад

На цьому малюнку для кожної гілки позначений протікає по ній струм (буквою "I") і напруга між сполучаються нею вузлами (буквою "U")

Кількість вузлів: 3. p-1 = 2
Кількість гілок (в замкнутих контурах): 4. Кількість гілок, що містять джерело струму: 0. m-m_i-(p-1) = 2
Кількість контурів: 2.
Для наведеної на малюнку ланцюга, у відповідності з першим правилом, виконуються наступні співвідношення:

\ Begin {cases} I_1-I_2-I_6 = 0 \ \ I_2-I_4-I_3 = 0 \ end {cases}

Зверніть увагу, що для кожного вузла повинно бути вибрано позитивний напрямок, наприклад, тут струми, втікає в вузол, вважаються позитивними, а випливають - негативними.

Рішення отриманої лінійної системи алгебраїчних рівнянь дозволяє визначити всі струми вузлів і гілок, такий підхід до аналізу ланцюга прийнято називати методом контурних струмів.

У відповідності з другим правилом, справедливі співвідношення:

\ Begin {cases} U_2 + U_4-U_6 = 0 \ \ U_3 + U_5-U_4 = 0 \ end {cases}

Отримана система рівнянь повністю описує аналізовану ланцюг, і її рішення визначає всі струми і всі напруги гілок, такий підхід до аналізу ланцюга прийнято називати методом вузлових потенціалів.


4. Про значення для електротехніки

Правила Кірхгофа мають прикладний характер і дозволяють поряд і в поєднанні з іншими прийомами і способами ( метод еквівалентного генератора, принцип суперпозиції, спосіб складання потенційної діаграми) вирішувати завдання електротехніки. Правила Кірхгофа знайшли широке застосування завдяки простоті формулювання рівнянь і можливості їх вирішення стандартними способами лінійної алгебри ( методом Крамера, методом Гаусса та ін.)


5. Закон випромінювання Кірхгофа

Закон випромінювання Кірхгофа говорить - відношення випромінювальної здатності будь-якого тіла до його поглинальної здатності однакове для всіх тіл при даній температурі для даної частоти для рівноважного випромінювання і не залежить від їх форми, хімічного складу і інш.

6. Закон Кірхгофа в хімії

Закон Кірхгофа говорить - температурний коефіцієнт теплового ефекту хімічної реакції дорівнює зміні теплоємності системи в ході реакції.

Примітки

  1. Кирхгофа правила - slovari.yandex.ru / ~ книги / Вікіпедія / Кирхгофа правила / - стаття з Великої радянської енциклопедії

Література

  • Матвєєв А. Н. Електрика і магнетизм. - Навчальний посібник. - М .: Вища школа, 1983. - 463 с.
  • Калашников С. Г. Електрика. - Навчальний посібник. - М .: Физматлит, 2003. - 625 с.
  • Безсонов Л. А. Теоретичні основи електротехніки. Електричні ланцюги. - 11-е видання. - М .: Гардарики, 2007.