Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Правило свердлика



План:


Введення

Прямий провід зі струмом. Струм (I), протікаючи через провід, створює магнітне поле (B) навколо дроти.

Правило буравчика (правило гвинта), або правило правої руки - варіанти мнемонічного правила для визначення напрямку векторного добутку і тісно пов'язаного з цим вибору правого базису [1] в тривимірному просторі, угоди про позитивної орієнтації базису в ньому, і відповідно - знака будь-якого аксіального вектора, що визначається через орієнтацію базису.

Зокрема, це відноситься до визначення напрямку [2] таких важливих у фізиці аксіальних векторів, як вектор кутової швидкості, що характеризує швидкість обертання тіла, вектор магнітної індукції B і багатьох інших, а також для визначення напрямку таких векторів, які визначаються через аксіальні, наприклад, напрямок індукційного струму при заданому векторі магнітної індукції.

  • Для багатьох з цих випадків крім загального формулювання, що дозволяє визначати напрямок векторного добутку або орієнтацію базису взагалі, є спеціальні формулювання правила, особливо добре пристосовані до кожної конкретної ситуації (але набагато менш загальні).

В принципі, як правило, вибір одного з двох можливих напрямків аксіального вектора вважається чисто умовним, однак він повинен відбуватися завжди однаково, щоб в кінцевому результаті обчислень не виявився переплутаний знак. Для цього і служать правила, що складають предмет цієї статті (вони дозволяють завжди дотримуватися одного і того ж вибору).

  • Під назвою правила правої руки існує кілька досить розрізняються правил.
  • Існує також кілька варіантів правила лівої руки.
  • В принципі можна обмежитися вибором з усього набору цих правил в різних формулюваннях (або з їм подібних) якогось одного, що відноситься до універсального типу (визначенню знака векторного добутку або орієнтації базису). Це мінімально необхідний вибір (хоча б один варіант правила потрібен: без нього взагалі не тільки в принципі неможливо слідувати загальноприйнятим угодами, але й вкрай важко бути послідовним навіть у власних обчисленнях). Але в принципі цього і достатньо: замість всіх правил, що згадуються в цій статті або інших їм подібних в принципі [3] можна користуватися лише одним, якщо тільки знати порядок співмножників у формулах, що містять векторні твори.

1. Загальне (головне) правило

Головним правилом - яке може використовуватися і у варіанті правила буравчика (гвинта) і у варіанті правила правої руки - це правило вибору напрямку для базисів і векторного добутку (або навіть для чогось одного з двох, тому одне прямо визначається через інше ). Головним воно є тому, що в принципі його достатньо для використання у всіх випадках замість всіх інших правил, якщо тільки знати порядок співмножників у відповідних формулах.

Вибір правила для визначення позитивного спрямування векторного добутку і для позитивного базису (системи координат) у тривимірному просторі - тісно взаємопов'язані.

Ліва (на малюнку ліворуч) і права (праворуч) декартові системи координат (лівий і правий базиси). Прийнято вважати позитивним і використовувати за замовчуванням правий (це загальноприйняте угоду, якщо тільки якісь особливі причини не змушують від нього відійти - і тоді це обмовляється явно).

Обидва ці правила в принципі чисто умовні [4], однак прийнято (принаймні, якщо зворотне явно не обумовлено) вважати, і це загальноприйняте угоду, що позитивним є правий базис, а векторне твір визначається так, що для позитивного ортонормированного [5] базису \ Vec e_x, \ vec e_y, \ vec e_z (Базису прямокутних декартових координат з одиничним масштабом по всіх осях, що складається з одиничних векторів по всіх осях) виконується [6] наступне:

\ Vec e_x \ times \ vec e_y = \ vec e_z,

де косим хрестом позначена операція векторного множення.

За замовчуванням ж загальноприйнято використовувати позитивні (і таким чином праві) базиси. Ліві базиси в принципі прийнято використовувати в основному коли використовувати правий дуже незручно або взагалі неможливо (наприклад, якщо у нас правий базис відбивається в дзеркалі, то відображення являє собою лівий базис, і з цим нічого не поробиш).

Тому правило для векторного добутку і правило для вибору (постороения) позитивного базису взаємно погоджені.

Вони можуть бути сформульовані так:


1.1. Для векторного добутку

Правило свердлика (гвинта) для векторного добутку: Якщо намалювати вектори так, щоб їх початку збігалися і обертати перший вектор-співмножник найкоротшим чином до другого вектору-співмножників, то буравчик (гвинт), що обертається таким же чином, буде загвинчуватися в напрямку вектора-добутку .

  • (Під гвинтом і буравчком тут маються на увазі гвинт з правою різьбою, яких абсолютна більшість в техніці і що є в ній повсюдним стандартом [7], або буравчик також з правим гвинтом на вістрі, яке також абсолютна більшість реальних інструментів).
  • Це можна переформулювати в термінах годинникової стрілки, оскільки правий гвинт за визначенням це такий гвинт, який загвинчується (вперед), коли ми обертаємо його за годинниковою стрілкою.

Варіант правило свердлика (гвинта) для векторного добутку через годинникову стрілку: Якщо намалювати вектори так, щоб їх початку збігалися і обертати перший вектор-співмножник найкоротшим чином до другого вектору-співмножників і дивитися з тієї сторони, щоб це обертання було для нас за годинниковою стрілкою , вектор-твір буде направлений від нас (загвинчуватися вглиб годин).

Правило правої руки для векторного добутку (перший варіант):

Right hand rule simple.png

Якщо намалювати вектори так, щоб їх початку збігалися і обертати перший вектор-співмножник найкоротшим чином до другого вектору-співмножників, а чотири пальці правої руки показували напрям обертання (як би охоплюючи обертовий циліндр), то відстовбурчений великий палець покаже напрям вектора-добутку.

Правило правої руки для векторного добутку (другий варіант):

\ Vec a \ times \ vec b = \ vec c

Якщо намалювати вектори так, щоб їх початку збігалися і перший (великий) палець правої руки спрямувати вздовж першого вектора-співмножник, другий (вказівний) - вздовж другого вектора-співмножник, то третій (середній) покаже (приблизно) напрямок вектора-добутку (см . малюнок).


1.2. Для базисів

Всі ці правила можуть бути, звичайно, переписані для визначення орієнтації базисів. Перепишемо тільки два з них: Правило правої руки для базису:

x, y, z - права система координат.

Якщо в базисі e_x, e_y, e_z (Що складається з векторів уздовж осей x, y, z) перший (великий) палець правої руки спрямувати вздовж першого базисного вектора (тобто по осі x), другий (вказівний) - вздовж другого (тобто по осі y), а третій ( середній) виявиться направленим (приблизно) в напрямку третього (по z), то це правий базис (як і виявилося на малюнку).

Правило свердлика (гвинта) для базису: Якщо обертати буравчик і вектори так, щоб перший базисний вектор найкоротшим чином прагнув до другого, то буравчик (гвинт) буде загвинчуватися в напрямку третій базисний вектора, якщо це правий базис.

  • Все це, звичайно, відповідає розширенню звичайного правила вибору напрямку координат на площині (х - вправо, у - вгору, z - на нас). Останнє може бути ще одним мнемонічним правилом, в принципі здатним замінити правило свердлика, правої руки і т.д. (Втім, користування ним, ймовірно, вимагає іноді певного просторової уяви, так як треба подумки повернути намальовані звичайним чином координати до збігу їх з базисом, орієнтацію якого ми хочемо визначити, а він може бути розгорнутий як завгодно).

2. Формулювання правила буравчика (гвинта) чи правила правої руки для спеціальних випадків

Вище згадувалося про те, що всі різноманітні формулювання правила буравчика (гвинта) чи правила правої руки (та інші подібні правила), у тому числі всі згадувані нижче, не є необхідними. Їх не обов'язково знати, якщо знаєш (хоча б у якомусь одному з варіантів) загальне правило, описане вище і знаєш порядок співмножників у формулах, що містять векторний твір.

Однак багато з описаних нижче правил добре пристосовані до спеціальних випадків їх застосування і тому можуть бути вельми зручні і легкі для швидкого визначення напрями векторів в цих випадках [8].


2.1. Правило правої руки або буравчика (гвинта) для механічного обертання швидкості

2.1.1. Правило правої руки або буравчика (гвинта) для кутової швидкості

Відомо, що вектор швидкості \ Vec v даної точки пов'язаний з вектором кутової швидкості \ Vec \ omega і вектором \ Vec r , Проведеним з нерухомої точки в дану, як їх векторне твір:

\ Vec v = \ vec \ omega \ times \ vec r.

Очевидно, тому до визначення напрямку вектора кутової швидкості застосовні правило гвинта і правило правої руки, описані вище для векторного добутку.

Цього в принципі достатньо.

Right-hand grip rule.svg

Проте в даному випадку правила можуть бути сформульовані в ще більш простому і запам'ятовується варіанті, так як мова йде про цілком реальному обертанні:

Правило свердлика (гвинта): Якщо обертати гвинт (буравчик) в тому напрямку, в якому обертається тіло, він буде загвинчуватися (або вигвинчуємо) в ту сторону, куди спрямована кутова швидкість.

Правило правої руки: Якщо уявити, що ми взяли тіло в праву руку і обертаємо його в напрямку, куди вказують чотири пальці, то відстовбурчений великий палець покаже в ту сторону, куди спрямована кутова швидкість при такому обертанні.


2.1.2. Правило правої руки або буравчика (гвинта) для моменту імпульсу

Повністю аналогічні правила для визначення напрямку моменту імпульсу, що не дивно, оскільки момент імпульсу пропорційний кутовій швидкості з позитивним коефіцієнтом [9].

2.1.3. Правило правої руки або буравчика (гвинта) для моменту сил

Для моменту сил (обертаючого моменту)

\ Vec M = \ sum_i [\ vec r_i \ times \ vec F_i]

(Де \ Vec F_i - Сила, прикладена до i-ой точці тіла, \ Vec r_i - Радіус-вектор, \ Times - Знак векторного множення),

правила теж в цілому аналогічні, однак сформулюємо їх явно.

Правило свердлика (гвинта): Якщо обертати гвинт (буравчик) в тому напрямку, в якому сили прагнуть повернути тіло, гвинт буде загвинчуватися (або вигвинчуємо) в ту сторону, куди спрямований момент цих сил.

Правило правої руки: Якщо уявити, що ми взяли тіло в праву руку і намагаємося його повернути в напрямку, куди вказують чотири пальці (сили, які намагаються повернути тіло спрямовані у напрямку цих пальців), то відстовбурчений великий палець покаже в ту сторону, куди спрямований обертаючий момент (момент цих сил).


2.2. Правило правої руки і буравчика (гвинта) в магнітостатики та електродинаміки

2.2.1. Для магнітної індукції ( закону Біо - Савара)

Правило свердлика (гвинта): Якщо напрям поступального руху буравчика ( гвинта) збігається з напрямком струму в провіднику, то напрям обертання ручки свердлика збігається з напрямом вектора магнітної індукції поля, створюваного цим струмом.

Правило правої руки

Правило правої руки: Якщо обхопити провідник правою рукою так, щоб відстовбурчений великий палець вказував напрямок струму, то решту пальців покажуть напрямок огибающих провідник ліній магнітної індукції, поля, створюваного цим струмом і огинають провідник, а значить і напрямок вектора магнітної індукції, спрямованого скрізь по дотичній до цих ліній.

Для соленоїда воно формулюється так: Якщо обхопити соленоїд долонею правої руки так, щоб чотири пальці були спрямовані уздовж струму в витках, то відставлений великий палець покаже напрям ліній магнітного поля всередині соленоїда.

Наука не в змозі пояснити, чому навколо провідника зі струмом, як експериментально встановлено, вектор магнітної індукції направлений вправо, а не вліво, або спонтанно в кожному конкретному випадку.


2.2.2. Для струму в провіднику, що рухається в магнітному полі

Правило правої руки: Якщо долоню правої руки розташувати так, щоб до неї входили силові лінії магнітного поля, а відігнутий великий палець направити по руху провідника, то чотири витягнутих пальці вкажуть напрямок індукційного струму.

2.2.3. Для рівнянь Максвелла

Оскільки операція ротор (позначається rot), використовувана в двох рівняннях Максвелла, може бути записана формально як векторне твір (з оператором Набла), а головне тому, що ротор векторного поля може бути уподібнене (являє собою аналогію) кутової швидкості [10] обертання рідини, поле швидкостей течії якої зображує собою дане векторне поле, можна скористатися для ротора тими формулюваннями правила, які вже описані вище для кутової швидкості.

Таким чином, якщо крутити буравчик в напрямку завихрення векторного поля, то він буде угвинчуватися в напрямку вектора ротора цього поля.

Або: якщо направити чотири пальці правої руки, стиснутої в кулак, в напрямку завихрення, то відігнутий великий палець покаже напрям ротора.

З цього випливають правила для закону електромагнітної індукції, наприклад: якщо вказати відігнутим великим пальцем правої руки напрямок магнітного потоку через контур, якщо він росте, і протилежний напрямок, якщо він убуває, то зігнуті пальці, що охоплюють контур, покажуть напрям, протилежний (через знака мінус у формулі ) напрямку ЕРС в цьому контурі, индуцируемой мінливим магнітним потоком.

Правила для закону Ампера - Максвелла в цілому збігаються з правилами, наведеними вище для вектора магнітної індукції, створюваної струмом, тільки в даному випадку треба додати до електричного струму через контур потік швидкості зміни електричного поля через цей контур і говорити про магнітне поле можна в термінах його циркуляції по контуру.


3. Правила лівої руки

3.1. Перше правило лівої руки

Якщо розташувати долоню лівої руки так, щоб лінії індукції магнітного поля входили в долоню перпендикулярно до неї, а чотири пальці спрямовані по струму, то відставлений на 90 великий палець вкаже напрям сили, що діє на провідник.

3.2. Друге правило лівої руки

Якщо рухається заряд, а магніт спочиває, то для визначення сили діє правило лівої руки: "Якщо ліву руку розташувати так, щоб лінії індукції магнітного поля входили в долоню перпендикулярно їй, а чотири пальці були направлені по струму (по руху позитивно зарядженої частинки або проти руху негативно зарядженої), то відставлений на 90 великий палець покаже напрям діючої сили Лоренца або Ампера ".


Примітки

  1. Математичні деталі загального поняття орієнтації базису, про який тут йде мова - див. в статті Орієнтація.
  2. Під визначенням напрямку тут скрізь мається на увазі вибір одного з двох протилежних напрямків (вибір між усього двома протилежними векторами), тобто зводиться до вибору позитивного спрямування.
  3. Це означає, що інші правила можуть бути також зручні в будь-якій кількості, але їх використання не є необхідним.
  4. Це означає, що при бажанні можна користуватися і протилежним правилом, і іноді це може бути навіть зручно.
  5. Поняття правого і лівого базису поширюються не тільки на ортонормованій, але на будь-які тривимірні базиси (тобто і на косокутні декартові координати теж), однак ми для простоти обмежимося тут випадком ортонормированном базисі (прямокутних декартових координат з рівним масштабом по осях).
  6. Можна перевірити, що в цілому це дійсно так, виходячи з елементарного визначення векторного добутку: Векторний твір є вектор, перпендикулярний обом векторах-співмножників, а по величині (довжині) рівний площі паралелограма. Те ж, який із двох можливих векторів, перпендикулярних двох заданим, вибрати - і є предмет основного тексту, правило, що дозволяє це зробити і доповнює наведене тут визначення, зазначено там.
  7. Ліва різьба застосовується в сучасній техніці тільки тоді, коли застосування правої різьби призвело б до небезпеки мимовільного розгвинчування під впливом постійного обертання даної деталі в одному напрямку - наприклад, ліва різьба застосовується на лівому кінці осі велосипедного колеса.
  8. У тому числі вони можуть бути в своїх випадках і більш зручними, ніж загальне правило, і навіть іноді сформульовані досить органічно, щоб особливо легко запам'ятовуватися; що, правда, мабуть, все ж не робить запам'ятовування їх усіх більш легким, ніж запам'ятовування всього одного загального правила.
  9. Навіть якщо ми маємо справу з досить асиметричним (і асиметрично розташованим відносно осі обертання) тілом, так що коефіцієнтом пропорційності між кутовою швидкістю і моментом імпульсу служить тензор інерції, незвідний до чисельного коефіцієнту, і вектор моменту імпульсу тоді взагалі кажучи не рівнобіжний вектору кутової швидкості, тим не менше правило працює в тому сенсі, що напрямок вказується приблизно, але цього достатньо, щоб зробити вибір між двома протилежними напрямками.
  10. Строго кажучи, при цьому зіставленні є ще постійний коефіцієнт 2, але в даній темі це не важливо, тому що мова йде зараз тільки про направлення вектора, а не про його величині.

5. Посилання



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Правило
Правило резолюцій
Норма (правило)
Дельта-правило
Правило Рунге
Правило Гольдшмідт
Правило октету
Молитовне правило
Азотне правило
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru