Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Правильний багатогранник



План:


Введення

Додекаедр

Правильний багатогранник або Платоново тіло - це опуклий багатогранник з максимально можливою симетрією.

Багатогранник називається правильним, якщо:

  1. Він опуклий;
  2. Всі його межі є рівними правильними багатокутниками;
  3. У кожній його вершині сходиться однакове число ребер.

1. Список правильних багатогранників

Існує всього п'ять правильних багатогранників:

Зображення Тип правильного багатогранника Число сторін у межі Число ребер, що примикають до вершини Загальне число вершин Загальне число ребер Загальне число граней
Tetrahedron.svg Тетраедр 3 3 4 6 4
Hexahedron.svg Гексаедр або Куб 4 3 8 12 6
Octahedron.svg Октаедр 3 4 6 12 8
POV-Ray-Dodecahedron.svg Додекаедр 5 3 20 30 12
Icosahedron.svg Ікосаедр 3 5 12 30 20

Назва кожного багатогранника походить від грецької назви кількості його граней і слова "грань".


2. Комбінаторні властивості

  • Відношення кількості вершин правильного багатогранника до кількості ребер однієї його межі дорівнює відношенню кількості граней цього ж багатогранника до кількості ребер, що виходять з однієї його вершини. У тетраедра це відношення дорівнює 4:3, у гексаедр і октаедра - 2:1, а у додекаедра і ікосаедра - 4:1.
  • Правильний багатогранник може бути комбінаторно описаний символом Шлефлі {p, q}, де:
    p - число сторін кожної грані;
    q - число ребер, що сходяться в кожній вершині.
Символи Шлефлі для правильних багатогранників наведені у таблиці:
Багатогранник Вершини Ребра Грані Символ Шлефлі
тетраедр Тетраедр 4 6 4 {3, 3}
куб Гексаедр (куб) 8 12 6 {4, 3}
октаедр Октаедр 6 12 8 {3, 4}
додекаедр Додекаедр 20 30 12 {5, 3}
ікосаедр Ікосаедр 12 30 20 {3, 5}
  • Інший комбінаторної характеристикою багатогранника, яку можна виразити через числа p і q, є загальна кількість вершин (В), ребер (Р) і граней (Г). Оскільки будь-яке ребро з'єднує дві вершини і лежить між двома гранями, виконуються співвідношення:
    p \ Gamma = 2 \ mbox {P} = q \ mbox {B}. \,
З цих співвідношень і формули Ейлера можна отримати наступні вирази для В, Р і Г:
\ Mbox {B} = \ frac {4p} {4 - (p-2) (q-2)}, \ quad \ mbox {P} = \ frac {2pq} {4 - (p-2) (q- 2)}, \ quad \ Gamma = \ frac {4q} {4 - (p-2) (q-2)}.

3. Геометричні властивості

3.1. Кути

З кожним правильним багатогранником пов'язані певні кути, що характеризують його властивості. Двогранний кут між суміжними гранями правильного багатогранника {p, q} задається формулою:

\ Sin {\ theta \ over 2} = \ frac {\ cos (\ pi / q)} {\ sin (\ pi / p)}.

Іноді зручніше користуватися виразом через тангенс :

\ Operatorname {tg} \, \ frac {\ theta} {2} = \ frac {\ cos (\ pi / q)} {\ sin (\ pi / h)},

де h приймає значення 4, 6, 6, 10 і 10 для тетраедра, куба, октаедра, Додекаедр і ікосаедра відповідно.

Кутовий дефект при вершині многогранника - це різниця між 2π і сумою кутів між ребрами кожній грані при цій вершині. Дефект δ при будь-якій вершині правильного багатогранника:

\ Delta = 2 \ pi - q \ pi \ left (1 - {2 \ over p} \ right).

За теоремою Декарта, він дорівнює діленим на число вершин (тобто сумарний дефект при всіх вершинах дорівнює ).

Тривимірним аналогом плоского кута є тілесний кут. Тілесний кут Ω при вершині правильного багатогранника виражається через двогранний кут між суміжними гранями цього многогранника за формулою:

\ Omega = q \ theta - (q-2) \ pi. \,

Тілесний кут, стягаємо гранню правильного багатогранника, з вершиною в центрі цього багатогранника, дорівнює тілесному куті повної сфери ( стерадіан), поділеній на число граней. Він також дорівнює кутовому дефекту дуального до даного багатогранника.

Різні кути правильних багатогранників наведені у наступній таблиці. Числові значення тілесних кутів дані в стерадіанах. Константа \ Varphi = \ tfrac {1 + \ sqrt {5}} {2} - золотий перетин.

Багатогранник Двогранний кут
θ
\ Operatorname {tg} \ frac {\ theta} {2} Плоский кут між ребрами при вершині Кутовий дефект (δ) Тілесний кут при вершині (Ω) Тілесний кут, стягаємо гранню
тетраедр 70.53 1 \ over {\ sqrt 2} 60 π \ Arccos \ left (\ frac {23} {27} \ right)\ Approx 0.551286 π
куб 90 1 90 \ Pi \ over 2\ Frac {\ pi} {2}\ Approx 1.570802 \ pi \ over 3
октаедр 109.47 √ 2 60 , 90 {2 \ pi} \ over 34 \ arcsin \ left ({1 \ over 3} \ right)\ Approx 1.35935\ Pi \ over 2
додекаедр 116.57 \ Varphi \, 108 \ Pi \ over 5\ Pi - \ operatorname {arctg} \ left (\ frac {2} {11} \ right)\ Approx 2.96174\ Pi \ over 3
ікосаедр 138.19 \ Varphi ^ 2 \, 60 , 108 \ Pi \ over 32 \ pi - 5 \ arcsin \ left ({2 \ over 3} \ right)\ Approx 2.63455\ Pi \ over 5

3.2. Радіуси, площі та обсяги

З кожним правильним багатогранником пов'язані три концентричні сфери:

  • Описана сфера, через вершини багатогранника;
  • Середня сфера, яка стосується кожного його ребра в середині;
  • Вписана сфера, яка стосується кожної його грані в її центрі.

Радіуси описаної ( R ) І вписаною ( r ) Сфер задаються формулами:

R = {a \ over 2} \ cdot \ operatorname {tg} \ frac {\ pi} {q} \ cdot \ operatorname {tg} \ frac {\ theta} {2}
r = {a \ over 2} \ cdot \ operatorname {ctg} \ frac {\ pi} {p} \ cdot \ operatorname {tg} \ frac {\ theta} {2},

де θ - двогранний кут між суміжними гранями багатогранника. Радіус серединної сфери задається формулою:

\ Rho = \ frac {a \ cos (\ pi / p)} {2 \ sin (\ pi / h)},

де h - величина описана вище, при визначенні двогранних кутів (h = 4, 6, 6, 10 або 10). Відносини описаних радіусів до вписаним радіусів симетрично щодо p і q:

{R \ over r} = \ operatorname {tg} \ frac {\ pi} {p} \ cdot \ operatorname {tg} \ frac {\ pi} {q}.

Площа поверхні S правильного багатогранника {p, q} обчислюється, як площа правильного p-кутника, помножена на кількість граней Г:

S = \ left ({a \ over 2} \ right) ^ 2 \ Gamma p \, \ operatorname {ctg} \ frac {\ pi} {p}.

Обсяг правильного багатогранника обчислюється, як помножений на число граней обсяг правильної піраміди, основою якої служить правильний p-кутник, а заввишки - радіус вписаного сфери r:

V = {1 \ over 3} rS.

Наведена таблиця містить список різних радіусів, площ поверхонь і об'ємів правильних багатогранників. Значення довжини ребра a в таблиці прирівняні до 2.

Багатогранник
(A = 2)
Радіус вписаного сфери (r) Радіус серединної сфери (ρ) Радіус описаної сфери (R) Площа поверхні (S) Об'єм (V)
тетраедр 1 \ over {\ sqrt 6}1 \ over {\ sqrt 2}\ Sqrt {3 \ over 2}4 \ sqrt 3\ Frac {2 \ sqrt 2} {3}
куб 1 \,\ Sqrt 2\ Sqrt 324 \,8 \,
октаедр \ Sqrt {2 \ over 3}1 \,\ Sqrt 28 \ sqrt 3\ Frac {8 \ sqrt 2} {3}
додекаедр \ Frac {\ varphi ^ 2} {\ xi} φ 2 \ Sqrt 3 \, \ varphi60 \ frac {\ varphi} {\ xi}20 \ frac {\ varphi ^ 3} {\ xi ^ 2}
ікосаедр \ Frac {\ varphi ^ 2} {\ sqrt 3}\ Varphi ξφ 20 \ sqrt 3\ Frac {20 \ varphi ^ 2} {3}

Константи φ і ξ задаються виразами

\ Varphi = 2 \ cos {\ pi \ over 5} = \ frac {1 + \ sqrt 5} {2} \ qquad \ xi = 2 \ sin {\ pi \ over 5} = \ sqrt {\ frac {5 - \ sqrt 5} {2}} = 5 ^ {1 / 4} \ varphi ^ {-1 / 2}.

Серед правильних багатогранників як додекаедр, так і ікосаедр представляють собою найкраще наближення до сфері. Ікосаедр має найбільше число граней, найбільший двогранний кут і щільніше всього притискається до своєї вписаною сфері. З іншого боку, додекаедр має найменший кутовий дефект, найбільший тілесний кут при вершині і максимально заповнює свою описану сферу.


4. Історія

Правильні багатогранники відомі з найдавніших часів. Їх орнаментні моделі можна знайти на різьблених кам'яних кулях, створених в період пізнього неоліту, в Шотландії, як мінімум за 1000 років до Платона. У кістках, якими люди грали на зорі цивілізації, вже вгадуються форми правильних багатогранників.

Значною мірою правильні багатогранники були вивчені древніми греками. Деякі джерела (такі як Прокл Діадох) приписують честь їх відкриття Піфагору. Інші стверджують, що йому були знайомі тільки тетраедр, куб і додекаедр, а честь відкриття октаедра і ікосаедра належить Теетет Афінському, сучаснику Платона. У кожному разі, Теетет дав математичний опис всіх п'яти правильних многогранників і перше відоме доказ того, що їх рівно п'ять.

Правильні багатогранники характерні для філософії Платона, на честь якого і отримали назву "Платонова тіла". Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. е..), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному багатограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедр, вода - ікосаедр, а вогонь - тетраедрів. Для виникнення даних асоціацій були такі причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх ледве можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр); на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. З приводу п'ятого елементу, Додекаедр, Платон зробив невиразне зауваження: "... його бог визначив для Всесвіту й удався до нього в якості зразка". Аристотель додав п'ятий елемент - ефір і постулював, що небеса зроблені з цього елемента, але він не порівнював його платоновскому П'ятому елементу.

Евклід дав повне математичний опис правильних багатогранників в останній, XIII книзі Почав. Пропозиції 13-17 цієї книги описують структуру тетраедра, октаедра, куба, ікосаедра і Додекаедр в даному порядку. Для кожного багатогранника Евклід знайшов відношення діаметра описаної сфери до довжини ребра. У 18-му реченні стверджується, що не існує інших правильних багатогранників. Андреас Шпейзер відстоював точку зору, що побудова п'ятьох правильних багатогранників є головною метою дедуктивної системи геометрії в тому вигляді, як та була створена греками і канонізована в "Засадах" Евкліда [1]. Велика кількість інформації XIII книги "Начал", можливо, походить з праць Теетет.

У XVI столітті німецький астроном Йоганн Кеплер намагався знайти зв'язок між п'ятьма відомими на той момент планетами Сонячної системи (виключаючи Землю) і правильними многогранниками. В "Таємниці світу", опублікованій в 1596 році, Кеплер виклав свою модель Сонячної системи. У ній п'ять правильних багатогранників містилися один в інший і поділялися серією вписаних і описаних сфер. Кожна з шести сфер відповідала одній з планет ( Меркурію, Венері, Землі, Марсу, Юпітеру і Сатурну). Багатогранники були розташовані в наступному порядку (від внутрішнього до зовнішнього): октаедр, за ним ікосаедр, додекаедр, тетраедр і, нарешті, куб. Таким чином, структура Сонячної системи і відносини відстаней між планетами визначалися правильними многогранниками. Пізніше від оригінальної ідеї Кеплера довелося відмовитися, але результатом його пошуків стало відкриття двох законів орбітальної динаміки - законів Кеплера, - змінили курс фізики та астрономії, а також правильних зірчастих багатогранників (тел Кеплера-Пуансо).


5. У великих розмірностях

Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 8cell.png Stereographic polytope 16cell.png Stereographic polytope 24cell.png Stereographic polytope 120cell.png Stereographic polytope 600cell.png
  • У всіх просторах розмірності n> 4 існує тільки 3 типи правильних багатогранників: n-мірний симплекс, n-мірний октаедр і n-мірний куб ( гіперкуб).

Примітки

  1. Герман Вейль. "Симетрія". Переклад з англійської Б. В. Бірюкова та Ю. А. Данилова під редакцією Б. А. Розенфельда. Видавництво "Наука". Москва. 1968. стр. 101

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Багатогранник
Перестановною багатогранник
Згинаних багатогранник
Двоїстий багатогранник
Напівправильні багатогранник
Зірчастий багатогранник
Правильний тетраедр
Правильний многокутник
Правильний семнадцатіугольнік
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru