Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Правильний многокутник



План:


Введення

Правильний семикутники

Правильний многокутник - це опуклий багатокутник, у якого всі сторони між собою рівні і всі кути між собою рівні.


1. Властивості

1.1. Координати

Нехай x 0 і y 0 - Координати центру, а R - радіус описаної навколо правильного багатокутника кола, φ 0 - Кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного n - кутника визначаються формулами

x_i = x_0 + R \ cos \ left ({\ phi} _0 + \ frac {2 \ pi i} {n} \ right)
y_i = y_0 + R \ sin \ left ({\ phi} _0 + \ frac {2 \ pi i} {n} \ right)

де i = 0 \ dots n - 1


1.2. Розміри

Нехай R - радіус описаної навколо правильного багатокутника кола, тоді радіус вписаного кола дорівнює

r = R \ cos \ frac {\ pi} {n} ,

а довжина сторони багатокутника дорівнює

a = 2 R \ sin \ frac {\ pi} {n} = 2 r \ mathop {\ mathrm {tg}} \, \ frac {\ pi} {n}


1.3. Площа

Площа правильного багатокутника з числом сторін n і довжиною сторони a становить

S = \ frac {n} {4} \ a ^ 2 \ mathop {\ mathrm {}} \, \ operatorname {ctg} \ frac {\ pi} {n} .

Площа правильного багатокутника з числом сторін n , Вписаного в коло радіуса R , Становить

S = \ frac {n} {2} R ^ 2 \ sin \ frac {2 \ pi} {n} .

Площа правильного багатокутника з числом сторін n , Описаного навколо кола радіуса r , Становить

S = nr ^ 2 \ mathop {\ mathrm {tg}} \, \ frac {\ pi} {n} (Площа підстави n-вугільної правильної призми)

Площа правильного багатокутника з числом сторін n дорівнює

S = \ frac {nRm} {2} ,

де R - Відстань від середини сторони до центру, m - Довжина сторони.

Площа правильного многокутника через напівпериметр ( p ) І радіус вписаного кола ( r ) Становить

S = p r .

2. Застосування

Правильними багатокутниками за визначенням є межі правильних багатогранників.

Давньогрецькі математики ( Антифон, Бріcон, Архімед та ін) використовували правильні багатокутники для обчислення числа π. Вони обчислювали площі вписаних в коло і описаних навколо неї багатокутників, поступово збільшуючи число їх сторін і отримуючи таким чином оцінку площі круга. [1]


3. Історія

Побудова правильного багатокутника з n сторонами залишалося проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова ідентично поділу кола на n рівних частин, тому що з'єднавши між собою точки, що ділять коло на частини, можна отримати шуканий багатокутник.

Евклід у своїх " Засадах "займався побудовою правильних багатокутників у книзі IV, вирішуючи завдання для n = 3, 4, 5, 6, 15. Крім цього, він вже визначив перший критерій построімості багатокутників: хоча цей критерій і не був озвучений в" Засадах ", давньогрецькі математики вміли побудувати багатокутник з 2 m сторонами (при цілому m> 1), маючи вже побудований багатокутник з числом сторін 2 m - 1 : Користуючись умінням розбиття дуги на дві частини, з двох напівкіл ми будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шестнадцатіугольнік і так далі. Крім цього, в тій же книзі Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати багатокутники з r і s сторонами, і r і s взаємно прості, то можна побудувати і багатокутник з r s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що стародавні математики вміли будувати правильні багатокутники з 2 ^ m \ cdot {p_1} ^ {k_1} \ cdot {p_2} ^ {k_2} сторонами, де m - ціле невід'ємне число, p 1, p 2 - Числа 3 і 5, а k 1, k 2 приймають значення 0 або 1.

Середньовічна математика майже ніяк не просунулася в цьому питанні. Лише в 1796 Карлу Фрідріху Гаусу вдалося довести, що якщо число сторін правильного багатокутника одно простому числу Ферма, до яких, крім 3 і 5, відносяться 17, 257 і 65 537, то його можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки. Якщо брати загалом, з цього випливає, що правильний багатокутник можливо побудувати, якщо число його сторін одно 2 ^ {k_0} {p_1} ^ {k_1} {p_2} ^ {k_2} \ cdots {p_s} ^ {k_s} , Де k 0 - Ціле невід'ємне число, {K_1}, {k_2}, \ dots, {k_s} приймають значення 0 або 1, а p j - Прості числа Ферма.

Гаусс підозрював, що ця умова є не тільки достатнім, але і необхідним, але вперше це було доведено П'єром-Лораном Ванцелем в 1836.

Крапку в справі побудови правильних багатокутників поставило знаходження побудов 17 -, 257 - і 65537-кутника. Перше було знайдено Йоханнесом Ерхінгером в 1825, друге - Фрідріхом Юліусом Рішельє в 1832, а останнє - Йоганном Густавом Гермесом в 1894.

З тих пір проблема вважається повністю розв'язаною.


Примітки

  1. А. В. Жуков. Про число π. - М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Правильний багатогранник
Правильний семнадцатіугольнік
Правильний тетраедр
Правильний восьмикутник
Правильний семикутники
Правильний шестикутник
Правильний п'ятикутник
Правильний трикутник
Правильний 257-кутник
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru