Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Правильний п'ятикутник



План:


Введення

Інша назва цього поняття - "Пентагон";.
Правильний п'ятикутник

Правильний п'ятикутник ( греч. πενταγωνον ) - Геометрична фігура, правильний багатокутник з п'ятьма сторонами.


1. Властивості

Regular Pentagon Inscribed in a Circle 240px.ogv
Побудова правильного п'ятикутника
\ Alpha = \ frac {(n - 2)} {n} \ cdot 180 ^ \ circ = \ frac {3} {5} \ cdot 180 ^ \ circ = 108 ^ \ circ
  • Площа правильного п'ятикутника з довжиною сторони t розраховується за формулою:
S = \ frac {5} {4} t ^ 2 \ mathop {\ mathrm {ctg}} \, \ frac {\ pi} {5} ,
або
S = \ frac {5} {2} R ^ 2 \ sin \ frac {2 \ pi} {5} = 5 r ^ 2 \ mathop {\ mathrm {tg}} \, \ frac {\ pi} {5} ,
де R - радіус описаної кола, r - Радіус вписаного кола.
  • Висота правильного п'ятикутника:
h = \ frac {\ operatorname {tg} \, 72 ^ \ circ} {2} t = 1,539 t

Тому радіус вписаного кола, радіус описаного кола, висоту і площу правильного п'ятикутника можна обчислити і без використання тригонометричних функцій:

  • Сторона правильного п'ятикутника:
t = R \ sqrt {\ frac {5 - \ sqrt {5}} {2}}
  • Висота правильного п'ятикутника:
h = \ frac {\ sqrt {5 + 2 \ sqrt {5}}} {2} t
  • Площа правильного п'ятикутника:
S = \ frac {\ sqrt 5 \ sqrt {5 + 2 \ sqrt {5}}} {4} t ^ 2
  • Радіус вписаного кола правильного п'ятикутника:
r = \ frac {\ sqrt 5 \ sqrt {5 + 2 \ sqrt {5}}} {10} t
  • Радіус описаного кола правильного п'ятикутника:
R = \ frac {\ sqrt 10 \ sqrt {5 + \ sqrt {5}}} {10} t = (\ sqrt 5 - 1) r
Правильним п'ятикутником неможливо заповнити площину без проміжків)

2. Побудова

Побудова правильного п'ятикутника

Правильний п'ятикутник може бути побудований за допомогою циркуля і лінійки, або вписуванням його в задану окружність, або побудовою на основі заданої сторони. Цей процес описаний Евклідом в його "Засадах" близько 300 року до н. е..

Ось один з методів побудови правильного п'ятикутника в заданій колу:

  1. Побудуйте коло, в яку буде вписаний п'ятикутник і позначте її центр як O. (Це зелена коло на схемі праворуч).
  2. Виберіть на колі точку A, яка буде однією з вершин п'ятикутника. Побудуйте пряму через O і A.
  3. Побудуйте пряму перпендикулярно прямої OA, що проходить через точку O. Позначте одне її перетин з колом, як точку B.
  4. Побудуйте точку C посередині між O і B.
  5. Проведіть коло з центром в C через точку A. Позначте її перетин з прямою OB (всередині первісної кола) як точку D.
  6. Проведіть коло з центром в A через точку D. Позначте її перетину з оригінальною (зеленої колом) як точки E і F.
  7. Проведіть коло з центром в E через точку A. Позначте її інша перетин з первісної окружністю як точку G.
  8. Проведіть коло з центром в F через точку A. Позначте її інша перетин з первісної окружністю як точку H.
  9. Побудуйте правильний п'ятикутник AEGHF.
Альтернативний метод побудови правильного багатокутника за допомогою лінійки та циркуля

3. Отримання за допомогою смужки паперу

Правильний п'ятикутник можна отримати, зав'язавши вузлом смужку паперу.

4. У природі

Дослідження формування водяного льоду на рівній поверхні міді при температурах 100-140 K показали, що спочатку на поверхні виникають ланцюжки молекул шириною близько 1 нм НЕ гексагональної, а пентагональні структури. [1]

5. Цікаві факти

Пентагон
  • Пентагон - будівля Міністерства оборони США має форму правильного п'ятикутника.
  • Правильний п'ятикутник - правильний багатокутник з найменшою кількістю кутів з тих, якими не можна замостити площину.
  • У природі не існує кристалів з гранями у формі правильного п'ятикутника.

Примітки

  1. A one-dimensional ice structure built from pentagons. Nature Materials. 8 March 2009 - www.nature.com/nmat/journal/vaop/ncurrent/full/nmat2403.html (Англ.)
Правильні многокутники
Основні Трикутник Квадрат П'ятикутник Шестикутник Семикутники Восьмикутник Дев'ятикутник Семнадцатіугольнік 257-кутник 65537-кутник
Див також Багатокутник Теорема Гаусса - Ванцеля

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Правильний Дев'ятикутник
П'ятикутник
Правильний шестикутник
Правильний тетраедр
Правильний багатогранник
Правильний многокутник
Правильний семнадцатіугольнік
Правильний трикутник
Правильний восьмикутник
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru