Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Правильний семнадцатіугольнік


Правильний семнадцатіугольнік

План:


Введення

Правильний семнадцатіугольнік

Правильний семнадцатіугольнік - геометрична фігура, що належить до групи правильних багатокутників. Він має сімнадцять сторін і сімнадцять кутів, всі його кути і сторони рівні між собою, всі вершини лежать на одній окружності.


1. Властивості

Центральний кут α дорівнює \ Frac {360 ^ \ circ} {17} \ approx 21 {,} 17647059 ^ \ circ .

Відношення довжини сторони до радіуса описаного кола становить

s = 2 \ cdot r_u \ cdot \ sin \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) \ approx r_u \ cdot 0 {,} 3675 .

Правильний семнадцатіугольнік можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки, що було доведено Гауссом в 1796 році. Їм же знайдено значення косинуса центрального кута семнадцатіугольніка:

\ Cos \ frac {360 ^ \ circ} {17} = \ frac {1} {16} \ left (-1 + \ sqrt {17} + \ sqrt {2 \ left (17 - \ sqrt {17} \ right )} + 2 \ sqrt {17 + 3 \ sqrt {17} - \ sqrt {2 \ left (17 - \ sqrt {17} \ right)} - ​​2 \ sqrt {2 \ left (17 + \ sqrt {17} \ right)}} \ right) .


2. Факти

  • Гаусс був настільки надихнув своїм відкриттям, що наприкінці життя заповідав, щоб правильний семнадцатіугольнік висікли на його могилі. Скульптор відмовився це зробити, стверджуючи, що побудова буде настільки складним, що результат не можна буде відрізнити від окружності.
  • В 1825 році Йоханнес Ерхінгер вперше опублікував докладний опис побудови правильного семнадцатіугольніка в 64 кроках. Нижче наводиться це побудова.

3. Побудова

3.1. Точне побудова

Siebzehneck-Einfach.svg
  1. Проводимо велику окружність k ₁ (майбутню описану окружність семнадцатіугольніка) з центром O.
  2. Проводимо її діаметр AB.
  3. Будуємо до нього перпендикуляр m, що перетинає k ₁ в точках C і D.
  4. Відзначаємо точку E - середину DO.
  5. Посередині EO відзначаємо точку F і проводимо відрізок FA.
  6. Будуємо бісектрису w ₁ кута ∠ OFA.
  7. Будуємо w ₂ - бісектрису кута між m і w ₁, яка перетинає AB в точці G.
  8. Проводимо s - перпендикуляр до w ₂ з точки F.
  9. Будуємо w ₃ - бісектрису кута між s і w ₂. Вона перетинає AB в точці H.
  10. Будуємо окружність Фалеса (k ₂) на діаметрі HA. Вона перетинається з CD в точках J і K.
  11. Проводимо коло k ₃ з центром G через точки J і K. Вона перетинається з AB в точках L та N. Тут важливо не переплутати N з M, вони розташовані дуже близько.
  12. Будуємо дотичну до k ₃ через N.

Точки перетину цієї дотичної з вихідною окружністю k ₁ - це точки P ₃ і P ₁ ₄ шуканого семнадцатіугольніка. Якщо прийняти середину вийшла дуги за P ₀ і відкласти дугу P ₀ P ₁ ₄ по колу три рази, всі вершини семнадцатіугольніка будуть побудовані.


3.2. Примірне побудова

Наступне побудова хоч і приблизно, але набагато більш зручно.

  1. Ставимо на площині точку M, будуємо навколо неї коло k і проводимо її діаметр AB;
  2. Ділимо навпіл радіус AM три рази по черзі у напрямку до центру (точки C, D і E).
  3. Ділимо навпіл відрізок EB (точка F).
  4. будуємо перпендикуляр до AB в точці F.
  • Коротко: будуємо перпендикуляр до діаметру на відстані 9 / 16 діаметру від B.

Точки перетину останнього перпендикуляра з колом є хорошим наближенням для точок P ₃ і P ₁ ₄.

При цьому побудові виходить відносна помилка в 0,83%. Кути і сторони виходять таким чином трохи більше, ніж потрібно. При радіусі 332,4 мм сторона виходить довшим на 1 мм.


3.3. Анимированное побудова Ерхінгера

Побудова семнадцатіугольніка циркулем і лінійкою в 64 кроку по Йоханнес Ерхінгеру



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Правильний многокутник
Правильний багатогранник
Правильний тетраедр
Правильний восьмикутник
Правильний семикутники
Правильний шестикутник
Правильний п'ятикутник
Правильний трикутник
Правильний 257-кутник
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru