Принцип детальної рівноваги

Принцип детальної рівноваги - загальне положення статистики, справедливе для багатьох випадкових ( марківських) процесів. Його суть полягає в рівності ймовірностей прямого (N \ rarr m) і зворотного (M \ rarr n) переходів між дискретними станами системи m і n .

Марковська ланцюг, для якої виконується принцип детальної рівноваги, називається оборотною.

Принцип детальної рівноваги, зокрема, справедливий в додатку до статистичній фізиці і квантовій механіці, оскільки він є наслідком основних принципів квантової механіки, наприклад, симетрії квантових рівнянь руху щодо звернення часу.

У загальному випадку, принцип детальної рівноваги можна сформулювати як рівність імовірностей переходу, віднесених до кінцевого станом:

\ Frac {w_ {mn}} {P_m} = \ frac {w_ {nm}} {P_n} ,

де

  • P_m = \ rho_ {mm} і P_n = \ rho_ {nn} - Ймовірності того, що система знаходиться в станах m і n , Відповідні діагональним елементам матриці щільності \ Rho ;
  • w_ {mn} = \ mathrm {prob} (n \ rarr m) - Ймовірність прямого переходу системи із стану n в стан m ;
  • w_ {nm} = \ mathrm {prob} (m \ rarr n) - Вірогідність зворотного переходу системи із стану m в стан n .

На відміну від звичайного стаціонарного стану, для якого достатньо виконання умови:

\ Frac {dP_n} {dt} = \ sum_ {m \ neq n} \ left (w_ {nm} \ cdot P_m-w_ {mn} \ cdot P_n \ right) = 0 ,

детальне рівновагу вимагає рівності нулю кожного з членів суми, тобто:

w_ {nm} \ cdot P_m = w_ {mn} \ cdot P_n ,

Приватні формулювання

Для замкнутих ізольованих систем принцип детальної рівноваги зводиться до рівності:

w_ {mn} = w_ {nm}.

Якщо ж система не ізольована і взаємодіє з іншою великою системою ( термостатом), то згідно з принципом детальної рівноваги:

\ Frac {w_ {mn}} {w_ {nm}} = \ exp {\ frac {E_n-E_m} {kT}}.

Для газу, що підкоряється статистикою Больцмана, принцип детальної рівноваги приймає вигляд:

ff_1 = f ^ \ prime f_1 ^ \ prime.

Для квантових газів:

ff_1 (1 \ pm f ^ \ prime) (1 \ pm f_1 ^ \ prime) = f ^ \ prime f_1 ^ \ prime (1 \ pm f) (1 \ pm f_1),

де знак "+" відповідає Бозон, а знак "-" - ферміонних.


Література