Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Принцип найменшої дії



План:


Введення

Принцип найменшої дії Гамільтона (також просто принцип Гамільтона), точніше принцип стаціонарності дії - спосіб отримання рівнянь руху фізичної системи за допомогою пошуку стаціонарного (часто - екстремального, звичайно, у зв'язку з ситуацією, традицією визначення знака дії, найменшого) значення спеціального функціоналу - дії. Названий на честь Вільяма Гамільтона, який використав цей принцип для побудови так званого гамильтонова формалізму в класичної механіки.

Принцип стаціонарності дії - найбільш важливий серед сімейства екстремальних принципів. Не всі фізичні системи мають рівняння руху, які можна отримати з цього принципу, однак все фундаментальні взаємодії йому підкоряються, у зв'язку з чим цей принцип є одним з ключових положень сучасної фізики. Отримувані з його допомогою рівняння руху мають назву рівнянь Ейлера - Лагранжа.

Першу формулювання принципу дав П. Мопертюї (P. Maupertuis) в 1744 році, відразу ж вказавши на його універсальну природу, вважаючи його застосовні до оптики та механіки. З даного принципу він вивів закони відбиття і заломлення світла.


1. Історія

Принцип найменшої дії був спочатку сформульований Мопертюї [1] в 1746 і далі розвивався (після 1748) математиками Ейлером, Лагранжем і Гамільтоном.

Мопертюї прийшов до цього принципу з відчуття, що досконалість Всесвіту вимагає певної економії в природі і суперечить будь-яким марним витратам енергії. Природний рух має бути таким, щоб зробити деяку величину мінімальною. Потрібно було тільки знайти цю величину, що він і продовжував робити. Вона була твором тривалості (час) руху в межах системи на подвоєну величину, яку ми тепер називаємо кінетичної енергією системи.

Ейлер (в "Rflexions sur quelques loix gnrales de la nature" , 1748) приймає принцип найменшої кількості дії, називаючи його "зусиллям". Його вираз відповідає тому, що ми тепер назвали б потенційною енергією, так що його твердження найменшої кількості дії в статиці еквівалентне принципу, що система тіл в спокої візьме конфігурацію, яка мінімізує повну потенціальну енергію.


2. В класичної механіки

Принцип найменшої дії є основою лагранжевої формулювання механіки.

Необхідно спочатку, на прикладі фізичної системи з одного [2] ступенем свободи, нагадати, що дія, про який йде мова - це функціонал, тобто правило, яке кожної функції q (t) зіставляє деяке число. Дія має вигляд:

S [q] = \ int \ mathcal {L} (q (t), \ dot {q} (t), t) dt,

де \ Mathcal {L} (q (t), \ dot {q} (t), t) є лагранжіан системи, що залежить від узагальненої координати q , Її першою похідної за часом \ Dot {q} , А також, можливо, і явно від часу t . Якщо система має більше число ступенів свободи n , То лагранжіан залежить від більшого числа узагальнених координат q_i (t), \ i = 1,2, \ dots, n і їх перших похідних за часом. Таким чином, дія є скалярним функціоналом, що залежать від траєкторії тіла.

Те, що дія є скаляром, дозволяє легко записати його в будь-яких узагальнених координатах, головне тільки, щоб положення (конфігурація) системи однозначно ними характеризувалося (наприклад, замість декартових це можуть бути полярні координати, відстані між точками системи, кути або їх функції і т . д.).

Дія можна обчислити для абсолютно довільній траєкторії q (t) , Якою б "дикої" і "неприродної" вона б не була. Однак у класичної механіки серед всього набору можливих траєкторій існує одна-єдина, по якій тіло дійсно піде. Принцип стаціонарності дії якраз і дає відповідь на питання, як дійсно буде рухатися тіло:

між двома заданими точками тіло рухається так, щоб дія була стаціонарним.

Це означає, що якщо задано лагранжіан системи, то ми за допомогою варіаційного обчислення можемо встановити, як саме буде рухатися тіло, спочатку отримавши рівняння руху - рівняння Ейлера - Лагранжа, а потім вирішивши їх. Це дозволяє не тільки серйозно узагальнити формулювання механіки, але і вибирати найбільш зручні координати для кожної певної задачі, не обмежуючись декартовими, що може бути дуже корисно для одержання найбільш простих і легко вирішуються рівнянь.


Аналогічно гамильтонова механіка виходить з принципу найменшої дії. Дія в цьому випадку найбільш природно записати [3] як

S [p, q] = \ int \ big (\ sum_i p_i dq_i - \ mathcal {H} (q, p, t) dt \ big) = \ int \ big (\ sum_i p_i \ dot q_i - \ mathcal {H } (q, p, t) \ big) dt,

де \ Mathcal {H} (q, p, t) \ equiv \ mathcal {H} (q_1, q_2, \ dots, q_N, p_1, p_2, \ dots, p_N, t) - Функція Гамільтона даної системи; q \ equiv q_1, q_2, \ dots, q_N - (Узагальнені) координати, p \ equiv p_1, p_2, \ dots, p_N - Зв'язані їм (узагальнені) імпульси, що характеризують разом в кожний даний момент часу динамічний стан системи і, будучи кожне функцією часу, характеризуючи, таким чином, еволюцію (рух) системи. У цьому випадку для отримання рівнянь руху системи у формі канонічних рівнянь Гамільтона треба проварьіровать записане так дію незалежно по всіх q i і p i .


Необхідно зауважити, що якщо з умов завдання принципово можна знайти закон руху, то це автоматично не означає, що можна побудувати функціонал, який приймає стаціонарне значення при істинному русі. Прикладом може служити спільне рух електричних зарядів і монополів - магнітних зарядів - в електромагнітному полі. Їх рівняння руху неможливо вивести з принципу стаціонарності дії. Аналогічно деякі гамильтонова системи мають рівняння руху, не виведені з цього принципу.


2.1. Приклади

п про р
Приклад: вільна частка в полярних координатах

Тривіальні приклади допомагають оцінювати використання принципу дії через рівняння Ейлера-Лагранжа. Вільна частка (маса m і швидкість v) в Евклідовому просторі переміщується по прямій лінії. Використовуючи рівняння Ейлера-Лагранжа, це можна показати в полярних координатах наступним чином. За відсутності потенціалу функція Лагранжа просто рівна кінетичній енергії

\ Frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1} {2} m \ left (\ dot {x} ^ 2 + \ dot {y} ^ 2 \ right)

в ортогональній системі координат (X, y) .

У полярних координатах \ Scriptstyle (r, \ varphi) кінетична енергія, і отже, функція Лагранжа стає

L = \ frac {1} {2} m \ left (\ dot {r} ^ 2 + r ^ 2 \ dot \ varphi ^ 2 \ right).

Радіальна і кутова компонента рівнянь стають, відповідно:

\ Frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {r}} \ right) - \ frac {\ partial L} {\ partial r} = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ ddot {r} - r \ dot {\ varphi} ^ 2 = 0
\ Frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {\ varphi}} \ right) - \ frac {\ partial L} {\ partial \ varphi} = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ ddot {\ varphi} + \ frac {2} {r} \ dot {r} \ dot {\ varphi} = 0.

Вирішення цих двох рівнянь

r cos φ = a t + b
r sin φ = c t + d

ряд констант "a, b, c, d" задається початковими умовами. Таким чином, дійсно, рішення - це пряма лінія, задана в полярних координатах.


3. В механіці суцільних середовищ і класичної теорії поля

Аналогічно вводиться поняття дії в механіці суцільного середовища та класичної теорії поля. У них дію включає в себе інтеграл від лагранжевої щільності, що залежить від параметрів середовища (поля) в кожній точці простору і їх похідних по просторових координатах і часу. Отримувані варіюванням дії рівняння руху стають рівняннями в приватних похідних.

Принцип стаціонарності дії виявився одним з найпростіших способів забезпечити релятивістську інваріантність рівнянь руху - для цього достатньо, щоб лагранжевих щільність була скаляром (інваріантом) при перетвореннях системи референції, наприклад, перетвореннях Лоренца. Через це роль принципу істотно зросла в релятивістській фізиці. Зокрема, теорема Нетер, що визначає зберігаються величини при тимчасовій еволюції польових систем, відноситься саме до лагранжевих системам.

Треба зауважити, що застосування принципу стаціонарності дії до теорії калібрувальних полів (наприклад, до електродинаміки) іноді стикається з деякими специфічними проблемами, втім, можна вирішити.


4. В квантової механіки

В квантової механіки вже ніхто не вимагає від частки рухатися одним чином і не рухатися іншим. Ми просто чесно говоримо те, що диктується законами квантової механіки. А саме:

частка рухається з початкового стану в кінцеве відразу по всіх мислимих траєкторіях (яких, очевидно, нескінченне число). Амплітуда ймовірності переходу з одного заданого стану в інший є сумою амплітуд по всім цим траєкторіях і записується у вигляді функціонального інтеграла

\ Psi = \ int [Dx] e ^ {({i S [x]} / {\ hbar})} \,.

Тут \ Int [Dx] - Це умовна запис бесконечнократного функціонального інтегрування за всіма траєкторіями x (t), а \ Hbar - постійна Планка. Підкреслимо, що в принципі дію в експоненті з'являється (або може з'являтися) саме, при вивченні оператора еволюції в квантовій механіці, проте для систем, що мають точний класичний (неквантовий) аналог, воно в точності так само звичайному класичному дії.

Математичний аналіз цього виразу в класичному межі - при досить великих S / \ hbar , Тобто при дуже швидких осциляція уявної експоненти - показує, що переважна більшість всіляких траєкторій в цьому інтегралі взаімосокращаются при цьому в межі (формально при S / \ hbar \ rightarrow \ infty ). Для майже будь-якого шляху знайдеться такий шлях, на якому набіг фази буде в точності протилежною, і вони в сумі дадуть нульовий внесок. Не скорочуються лише ті траєкторії, для яких дія близько до екстремального значенням (для більшості систем - мінімуму). Це - чисто математичний факт з теорії функцій комплексного змінного; на ньому, наприклад, заснований метод стаціонарної фази.

У результаті частка в повній згоді з законами квантової механіки рухається одночасно по всіх траєкторіях, але в звичайних умовах у спостережувані значення дають внесок тільки траєкторії, близькі до стаціонарних (тобто класичним). Оскільки квантова механіка переходить у класичну в межі великих енергій, то можна вважати, що це - квантовомеханічний висновок класичного принципу стаціонарності дії.

Відкриття формулювання квантування в термінах функціональних інтегралів (часто також говорять: "інтеграли по шляхах", "інтеграли по траєкторіям" або "підсумовування історій"), як і встановлення її зв'язку з класичним межею, належить Річарду Фейнману, творчо розвинув ідею Поля Дірака.


5. В квантової теорії поля

У квантовій теорії поля принцип стаціонарності дії також успішно застосовується. У лагранжевих щільність тут входять оператори відповідних квантових полів. Хоча правильніше тут по суті (за винятком класичного межі і почасти квазіклассікі) говорити не про принцип стаціонарності дії, а про Фейнмановськие інтегруванні по траєкторіях в конфігураційному чи фазовому просторі цих полів - з використанням згаданої щойно лагранжевої щільності.


6. Подальші узагальнення

Більш широко, під дією розуміють функціонал, що задає відображення з конфігураційного простору на безліч речових чисел і, загалом, він не зобов'язаний бути інтегралом, бо нелокальні дії в принципі можливі, принаймні, теоретично. Більше того, конфігураційне простір не обов'язково є функціональним простором, бо може мати некомутативних геометрію.

Примітки

  1. http://ourworld.compuserve.com/homepages/cuius/idle/evolution/ref/leastact.html - ourworld.compuserve.com / homepages / cuius / idle / evolution / ref / leastact.html
  2. Для системи з багатьма ступенями свободи все записується аналогічно, тільки замість однієї узагальненої координати q використовується кілька (або навіть - для нескінченновимірних систем - нескінченна кількість) узагальнених координат q_1, q_2, \ dots . Приклад системи з однією системою свободи розглядається спочатку для простоти.
  3. На цей раз наведено не одновимірний приклад.

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Принцип дії
Дії
Потенціал дії
Слідчі дії
Бойові дії
Коефіцієнт корисної дії
Дії з числовими рядами
Фіксована форма дії
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru