Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Принцип невизначеності


Перегляд цього шаблону

План:


Введення

Принцип невизначеності Гейзенберга (або Гайзенберга) в квантовій механіці - фундаментальне нерівність (співвідношення невизначеностей), що встановлює межу точності одночасного визначення пари характеризують квантову систему фізичних спостережуваних (див. фізична величина), описуваних некоммутірующімі операторами (наприклад, координати і імпульсу, струму і напруги, електричного і магнітного поля). Співвідношення невизначеностей [* 1] задає нижню межу для твору середньоквадратичних відхилень пари квантових спостережуваних. Принцип невизначеності, відкритий Вернером Гейзенбергом в 1927 р., є одним з наріжних каменів квантової механіки.


1. Короткий огляд

Співвідношення невизначеностей Гейзенберга є теоретичним межею точності одночасних вимірювань двох некоммутірующіх спостережуваних. Вони справедливі як для ідеальних вимірів, іноді званих вимірами фон Неймана, так і для неідеальних вимірювань.

Згідно з принципом невизначеностей у частинки не можуть бути одночасно точно виміряні положення і швидкість (імпульс) [* 2]. Принцип невизначеності вже у вигляді, спочатку запропонованому Гейзенбергом, застосовний і в разі, коли жодна з двох крайніх ситуацій (повністю певний імпульс і повністю невизначена просторова координата - або повністю невизначений імпульс і повністю визначена координата) не реалізується.

Приклад: частка з певним значенням енергії, що знаходиться в коробці з ідеально відбиваючими стінками; вона не характеризується ні яким-небудь певним "становищем" або просторової координатою (хвильова функція частинки делокалізована на весь простір коробки, тобто її координати не мають певного значення, локалізація частинки здійснена не точніше розмірів коробки), ні певним значенням імпульсу (враховуючи його напрямок! [* 3]).

Співвідношення невизначеностей не обмежують точність одноразового вимірювання будь-якої величини (для багатовимірних величин тут мається на увазі в загальному випадку тільки одна компонента). Якщо її оператор комутує сам з собою в різні моменти часу, то не обмежена точність і багаторазового (або безперервного) вимірювання однієї величини. Наприклад, співвідношення невизначеностей для вільної частинки не перешкоджає точному вимірюванню її імпульсу, але не дозволяє точно виміряти її координату (це обмеження називається стандартний квантовий межа для координати).

Співвідношення невизначеностей в квантової механіки в математичному сенсі є безпосереднє прямий наслідок якогось властивості перетворення Фур'є [* 4].

Існує точна кількісна аналогія між співвідношеннями невизначеності Гейзенберга і властивостями хвиль або сигналів. Розглянемо змінний у часі сигнал, наприклад звукову хвилю. Безглуздо говорити про частотному спектрі сигналу в який момент часу. Для точного визначення частоти необхідно спостерігати за сигналом в протягом деякого часу, таким чином втрачаючи точність визначення часу. Іншими словами, звук не може одночасно мати і точне значення часу його фіксації, як його має дуже короткий імпульс, і точного значення частоти, як це має місце для безперервного (і в принципі нескінченно тривалого) чистого тону (чистої синусоїди). Тимчасове положення та частота хвилі математично повністю аналогічні координаті і (квантово-механічному) імпульсу частинки. Що зовсім не дивно, якщо згадати, що p_x = \ hbar k_x , Тобто імпульс у квантовій механіці - це і є просторова частота уздовж відповідної координати.


У повсякденному житті ми зазвичай не спостерігаємо квантову невизначеність тому, що значення \ Hbar надзвичайно мало, і тому співвідношення невизначеностей накладають такі слабкі обмеження на похибки вимірювання, які свідомо непомітні на тлі реальних практичних похибок [* 5] наших приладів або органів почуттів.


2. Визначення

Якщо є кілька (багато) ідентичних копій системи в даному стані, то виміряні значення координати і імпульсу будуть підкорятися певним розподілу ймовірності - це фундаментальний постулат квантової механіки. Вимірюючи величину середньоквадратичного відхилення \ Delta x координати і середньоквадратичного відхилення \ Delta p імпульсу, ми знайдемо що:

\ Delta x \ Delta p \ geqslant \ frac {\ hbar} {2} ,

де \ Hbar - приведена стала Планка.

  • У деяких випадках "невизначеність" змінної визначається як найменша ширина діапазону, який містить 50% значень, що, в разі нормального розподілу змінних, призводить для твору невизначеностей до більшої нижній межі \ Hbar .

Відзначимо, що ця нерівність дає кілька можливостей - стан може бути таким, що x може бути виміряна з високою точністю, але тоді p буде відомий лише приблизно, або навпаки p може бути визначений точно, в той час як x - Немає. У всіх же інших станах, і x і p можуть бути виміряні з "розумною" (але не довільно високою) точністю.


3. Варіанти і приклади

3.1. Узагальнений принцип невизначеності

Принцип невизначеності не відноситься тільки до координати і імпульсу (як він був вперше запропонований Гейзенбергом). У своїй загальній формі він застосовний до кожної пари сполучених змінних. У загальному випадку, і на відміну від випадку координати і імпульсу, обговореного вище, нижня межа твори "невизначеностей" двох сполучених змінних залежить від стану системи. Принцип невизначеності стає тоді теоремою в теорії операторів, яка буде приведена далі.

Теорема. Для будь-яких самосопряженних операторів : A \ colon H \ to H і B \ colon H \ to H , І будь-якого елемента x з H такого, що ABx і BAx обидва визначені (тобто, зокрема, Ax і Bx також визначені), маємо:

\ Langle x | AB | x \ rangle \ langle x | BA | x \ rangle = \ left | \ langle Bx | Ax \ rangle \ right | ^ 2 \ leqslant \ left | \ langle Ax | Ax \ rangle \ right | \ left | \ langle Bx | Bx \ rangle \ right | = \ | Ax \ | ^ 2 \ | Bx \ | ^ 2

Це прямий наслідок нерівності Коші - Буняковського.

Отже, вірна наступна загальна форма принципу невизначеності, вперше виведена в 1930 р. Говардом Персі Робертсоном і (незалежно) Ервіном Шредінгер :

\ Frac {1} {4} | \ langle x | AB-BA | x \ rangle | ^ 2 \ leqslant \ | Ax \ | ^ 2 \ | Bx \ | ^ 2.

Це нерівність називають співвідношенням Робертсона - Шредінгера.

Оператор AB-BA називають комутатором A і B і позначають як [A, B] . Він визначений для тих x , Для яких визначені обидва ABx і BAx .

Зі співвідношення Робертсона - Шредінгера негайно слід співвідношення невизначеності Гейзенберга:

Припустимо, A і B - Дві фізичні величини, які пов'язані з самосопряженних операторів. Якщо AB \ psi і BA \ psi визначені, тоді:

\ Delta_ {\ psi} A \, \ Delta_ {\ psi} B \ geqslant \ frac {1} {2} \ left | \ left \ langle \ left [A, {B} \ right] \ right \ rangle_ \ psi \ right | ,

де:

\ Left \ langle X \ right \ rangle_ \ psi = \ left \ langle \ psi | X | \ psi \ right \ rangle

- Середнє значення оператора величини X в стані \ Psi системи, і

\ Delta_ {\ psi} X = \ sqrt {\ langle {X} ^ 2 \ rangle_ \ psi-\ langle {X} \ rangle_ \ psi ^ 2}

- Оператор стандартного відхилення величини X в стані \ Psi системи.

Наведені вище визначення середнього і стандартного відхилення формально визначені виключно в термінах теорії операторів. Затвердження стає однак більш значущим, як тільки ми помітимо, що вони є фактично середнім і стандартним відхиленням виміряного розподілу значень. См. квантова статистична механіка.

Те ж саме може бути зроблено не тільки для пари сполучених операторів (наприклад координати і імпульсу, або тривалості та енергії), але взагалі для будь-якої пари Ермітових операторів. Існує відношення невизначеності між напруженістю поля і числом частинок, яке призводить до явища віртуальних частинок.

Можливо також існування двох некоммутірующіх самосопряженних операторів A і B , Які мають один і той же власний вектор \ Psi . У цьому випадку \ Psi являє собою чисте стан, який є одночасно вимірюваних для A і B .


3.2. Загальні спостережувані змінні, які підкоряються принципу невизначеності

Попередні математичні результати показують, як знайти співвідношення невизначеностей між фізичними змінними, а саме, визначити значення пар змінних A і B , Комутатор яких має певні аналітичні властивості.

  • найвідоміше відношення невизначеності - між координатою і імпульсом частинки в просторі:
\ Delta x_i \ Delta p_i \ geqslant \ frac {\ hbar} {2}
\ Delta J_i \ Delta J_j \ geqslant \ frac {\ hbar} {2} \ left | \ left \ langle J_k \ right \ rangle \ right |
де i,j,k різні і J_i позначає кутовий момент уздовж осі x_i .
  • наступне відношення невизначеності між енергією і часом часто представляється в підручниках фізики, хоча його інтерпретація вимагає обережності, так як не існує оператора, що представляє час:
\ Delta E \ Delta t \ geqslant \ frac {\ hbar} {2}
  • Слід підкреслити, що для виконання умов теореми, необхідно, щоб обидва самосопряженних оператора були визначені на одному і тому ж безлічі функцій. Прикладом пари операторів, для яких ця умова порушується, може служити оператор проекції кутового моменту L_z і оператор азимутального кута \ Varphi . Перший з них є самосопряженним тільки на безлічі 2π-періодичних функцій, в той час як оператор \ Varphi , Очевидно, виводить з цієї множини. Для вирішення виниклої проблеми можна замість \ Varphi взяти \ Sin \ varphi , Що призведе до наступній формі принципу невизначеності [** 1] :
\ Langle (\ Delta L_z) ^ 2 \ rangle \ langle (\ Delta \ sin \ varphi) ^ 2 \ rangle \ geqslant \ frac {\ hbar ^ 2} {4} \ langle (\ cos \ varphi) ^ 2 \ rangle .
Однак, при \ Langle (\ varphi) ^ 2 \ rangle \ ll \ pi ^ 2 умова періодичності неістотно і принцип невизначеності приймає звичний вигляд:
\ Langle (\ Delta L_z) ^ 2 \ rangle \ langle (\ Delta \ varphi) ^ 2 \ rangle \ geqslant \ frac {\ hbar ^ 2} {4} .

3.3. Вираз кінцевого доступної кількості інформації Фішера

Принцип невизначеності альтернативно виводиться як вираз нерівності Крамера - Рао в класичній теорії вимірів, у разі коли вимірюється становище частки. Середньо-квадратичний імпульс частинки входить у нерівність як інформація Фішера..

4. Інтерпретації

Альберту Ейнштейну принцип невизначеності не дуже сподобався, і він кинув виклик Нільса Бора і Вернеру Гейзенбергу відомим уявним експериментом (Див. дебати Бор-Ейнштейн для докладної інформації): заповнимо коробку радіоактивним матеріалом, який випускає радіацію випадковим чином. Коробка має відкритий затвор, який негайно після заповнення закривається за допомогою годинника в певний момент часу, дозволяючи піти невеликій кількості радіації. Таким чином час уже точно відомо. Ми все ще хочемо точно виміряти сполучену змінну енергії. Ейнштейн запропонував зробити це, зважуючи коробку до і після. Еквівалентність між масою і енергією по спеціальної теорії відносності дозволить точно визначити, скільки енергії залишилося в коробці. Бор заперечив таким чином: якщо енергія піде, тоді полегшає коробка зрушиться трохи на вагах. Це змінить становище годин. Таким чином годинник відхиляються від нашої нерухомої системи відліку, і по спеціальної теорії відносності, їх вимір часу буде відрізнятися від нашого, приводячи до деякого неминучого значенням помилки. Детальний аналіз показує, що неточність правильно дається співвідношенням Гейзенберга.

У межах широко, але не універсально прийнятої Копенгагенської інтерпретації квантової механіки, принцип невизначеності прийнятий на елементарному рівні. Фізична всесвіт існує не в детерміністичного формі, а скоріше як набір ймовірностей, або можливостей. Наприклад, картина (розподіл імовірності) вироблена мільйонами фотонів, дифрагує через щілину може бути обчислена за допомогою квантової механіки, але точний шлях кожного фотона не може бути передбачений жодним відомим методом. Копенгагенська інтерпретація вважає, що це не може бути передбачене взагалі ніяким методом.

Саме цю інтерпретацію Ейнштейн брав під сумнів, коли писав Максу Борну : "Бог не грає в кості" [** 2]. Нільс Бор, який був одним з авторів Копенгагенської інтерпретації, відповів: "Ейнштейн, не кажіть Богу, що робити" [** 3].

Ейнштейн був переконаний, що ця інтерпретація була помилковою. Його міркування грунтувалося на тому, що всі вже відомі розподілу ймовірності були результатом детермінованих подій. Розподіл підкидає монету або котиться кістки може бути описано розподілом ймовірності (50% орел, 50% решка). Але це не означає, що їх фізичні рухи непередбачувані. Звичайна механіка може обчислити точно, як кожна монета приземлиться, якщо сили, що діють на неї, будуть відомі, а орли / решки будуть все ще розподілятися випадково (при випадкових початкових силах).

Ейнштейн припускав, що існують приховані змінні в квантовій механіці, які лежать в основі спостережуваних ймовірностей.

Ні Ейнштейн, ні хто-небудь ще з тих пір не зміг побудувати задовільну теорію прихованих змінних, і нерівність Белла ілюструє деякі дуже тернисті шляхи в спробі зробити це. Хоча поведінка індивідуальної частки випадково, воно також скорреліровано з поведінкою інших частинок. Тому, якщо принцип невизначеності - результат деякого детермінованого процесу, то виходить, що частки на великих відстанях повинні негайно передавати інформацію один одному, щоб гарантувати кореляції в своїй поведінці.


5. Принцип невизначеності у популярній літературі

Принцип невизначеності часто неправильно розуміється або приводиться в популярній пресі. Одна часта неправильне формулювання в тому, що спостереження події змінює саму подію. Взагалі кажучи, це не має відношення до принципу невизначеності. Майже будь лінійний оператор змінює вектор, на якому він діє (тобто майже будь спостереження змінює стан), але для комутативних операторів ніяких обмежень на можливий розкид значень немає (див. вище). Наприклад, проекції імпульсу на осі c і y можна виміряти разом як завгодно точно, хоча кожний вимір змінює стан системи. Крім того, в принципі невизначеності мова йде про паралельному вимірі величин для декількох систем, що знаходяться в одному стані, а не про послідовні взаємодіях з однією і тією ж системою.

Інші (також вводять в оману) аналогією з макроскопічними ефектами були запропоновані для пояснення принципу невизначеності: одна з них розглядає прідавліваніе кавунової насіннячка пальцем. Эффект известен - нельзя предсказать, как быстро или куда семечка исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте "Энтерпрайз" из фантастического телесериала Звёздный Путь в телепортаторе. Однако, неизвестно, что означает "преодоление принципа неопределённости". На одной из пресс-конференций продюсера сериала спросили "Как работает компенсатор Гейзенберга?", на что он ответил "Спасибо, хорошо!"


5.1. Научный юмор

Необычная природа принципа неопределённости Гейзенберга и его запоминающееся название сделали его источником ряда шуток. Утверждают, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: "Здесь, возможно, был Гейзенберг".

В другой шутке о принципе неопределённости специалиста по квантовой физике останавливает на шоссе полицейский и спрашивает: "Вы знаете, как быстро Вы ехали, сэр?". На что физик отвечает: "Нет, но я точно знаю, где я!"


6. Примітки

  1. Для каждой пары сопряженных величин имеется свое соотношение неопределенностей, хотя и имеющее один и тот же вид ΔAΔB \geqslant\hbar; поэтому этот термин часто употребляются во множественном числе ( соотношения неопределенностей), как в том случае, когда речь идет о соотношениях неопределенностей вообще, так и в случаях, когда имеются в виду несколько конкретных соотношений для разных величин, а не для только одной пары.
  2. Это в принципе касается не только частиц, но и любых динамических объектов, например, поля, для которого аналогом координат у частицы служат полевые переменные, а аналогом компонент импульса у частицы - канонические импульсы, связанные с изменением поля со временем.
  3. В примере с частицей в коробке модуль импульса, правда, определен, но зато не определено его направление
  4. Проще всего это свойство может быть проиллюстрировано таким рассуждением. Пусть есть некоторая функция f(x) и ее фурье-образ (спектр) F(k) - то есть f(x) = \int F(k) e^{ikx} dk . Очевидно, что если мы "сожмем функцию f " по x в A раз, то есть перейдем к функции f A (x)=f(Ax)), то ее спектр растянется во столько же раз: F A (k)=constF(k/A), поскольку частота каждой спектральной гармоники e^{ikx} этого разложения должны будут очевидно умножиться на A. Эта иллюстрация, строго говоря, конечно, носит довольно частный характер, однако она обнажает физический смысл иллюстрируемого свойства: когда мы сжимаем сигнал, его частоты во столько же раз увеличиваются. Не намного сложнее прямым вычислением получить аналогичный вывод для случая гауссовых волновых пакетов, показав, что полуширина гауссова волнового пакета обратно пропорциональна полуширине его спектра (имеющего также гауссов вид). Могут быть доказаны и более общие теоремы, сводящиеся точно к соотношению неопределенностей Гейзенберга, только без \hbar в правой части (или, иначе говоря, в точности повторяющие соотношению неопределенностей Гейзенберга при \hbar = 1 ).
  5. Здесь имеются в виду погрешности, имеющие не квантовую природу, а происходящих из недостаточной тонкости изготовления, влияния тепловых и других шумов итп.

7. Література

7.1. Использованная литература

  1. А. С. Давыдов Квантовая механика, 2-ое изд., - М .: Наука, 1973.
  2. Точнее: "Теория даёт много, но к таинствам Старика она не подводит нас ближе. Во всяком случае, я убежден, что [он] не играет в кости" ( Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten bringt sie uns doch nicht nher. Jedenfalls bin ich berzeugt davon, dass der nicht wrfelt). Письмо Максу Борну от 12 декабря 1926 г, цит. Einstein, The Life and Times ISBN 0-380-44123-3
  3. Chad Meister Introducing philosophy of religion - www.evolbiol.ru/large_files/phil_rel.pdf

7.2. Журнальные статьи


8. Про співвідношеннях невизначеностей Шредінгера


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Принцип
Принцип Маркова
Екстремальний принцип
Принцип Діріхле
Принцип безперервності
Голографічний принцип
Принцип відповідності
Принцип Д'Аламбера
Принцип разделимости
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru