Принцип симетрії Шварца

Формулювання

Принцип симетрії в основному застосовується для аналітичного продовження функцій, які аналітичність на деякій множині G \ subset \ mathbb C. Далі, нехай безліч F = \ partial G \ cap \ mathbb R непорожній, і на цій множині функція приймає виключно речові значення.

Тоді можна здійснити аналітичне продовження функції f з безлічі G на більшу безліч G \ cup \ overline {G} , Де \ Overline {G} = \ {z: \ overline {z} \ in G \} , За допомогою наступної функції:

F (z) = f (z) при z \ in G
F (z) = \ overline {f (\ overline {z})} при z \ in \ overline {G}

Користуючись принципом відповідності меж, можна довести більш загальне твердження, яке зазвичай фігурує в спеціальній літературі під тією ж назвою.


Узагальнення

Припустимо, що задані області G_1, G_2 \ subset \ mathbb C , Далі, \ Gamma_1 \ subset G_1, \ gamma_2 \ subset G_2 - Дуги кіл. Позначимо через G_1 ^ * область, яка симетрична G_1 щодо \ Gamma_1 , Аналогічно визначається G_2 ^ * . Тепер, якщо fконформно відображає G_1 на G_2 , Притому f (\ gamma_1) = \ gamma_2 , Тоді f може бути аналітично продовжена до конформного відображення G_1 \ cup \ gamma_1 \ cup G_1 ^ * на G_2 \ cup \ gamma_2 \ cup G_2 ^ * .


Література

  • Шабат Б. В. Введення в комплексний аналіз. - М .: Наука. - 1969, 577 стор