Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Проективна геометрія



План:


Введення

Проективна геометрія - розділ геометрії, що вивчає проективні площині і простору. Головна особливість проективної геометрії полягає в принципі подвійності, який додає витончену симетрію в багато конструкції. Проективна геометрія може вивчатися як з чисто геометричної точки зору, так з аналітичної (за допомогою однорідних координат) і з алгебраїчній, розглядаючи проективну площину як структуру над полем. Часто, й історично, речова проективна площину розглядається як Евклідова площину з додаванням "прямої в нескінченності".

Тоді як властивості фігур, з якими має справу Евклидова геометрія, є метричними (конкретні величини кутів, відрізків, площ), а еквівалентність фігур рівнозначна їх конгруентності (тобто коли фігури можуть бути переведені одна в іншу за допомогою руху зі збереженням метричних властивостей) , існують більш "глибоко лежачі" властивості геометричних фігур, які зберігаються при перетвореннях більш загального типу, ніж рух. Проективна геометрія займається вивченням властивостей фігур, інваріатних при класі проективних перетворень, а також самих цих перетворень.

Проективна геометрія доповнює Евклидову, надаючи красиві і прості рішення для багатьох завдань, ускладнених присутністю паралельних прямих. Особливо проста і витончена проективна теорія конічних перерізів.


1. Історія

Хоча деякі результати, які тепер зараховані до проективної геометрії, сходять до роботи таких давньогрецьких геометрів, як Папп Александрійський, проективна геометрія як така народилася в XVII столітті з прямої перспективи в живописі та архітектурному кресленні. Ідея безмежно далеких точок, в яких перетинаються паралельні прямі, з'явилася незалежно у французького архітектора Жерара Дезарга і у німецького астронома Йоганна Кеплера. Дезарг навіть запропонував, що може існувати пряма, що складається виключно з нескінченно віддалених точок.

В XIX столітті інтерес до цієї області відродився завдяки працям Жана-Віктора Понселе та Мішеля Шаля. Понселе вивів проективне простір з Евклидова, додавши пряму в нескінченності, на якій перетинаються всі площини, паралельні даній, і довів принцип дуальності. Шаль продовжив і значно поглибив праці Понселе. Пізніше фон Штаудт створив чисто синтетичну аксіоматизації, що об'єднує ці прямі з іншими.

В кінці XIX століття Фелікс Клейн запропонував використовувати для проективної геометрії однорідні координати, які раніше запровадили Мебіус, Плюккер, і Фейєрбах.


2. Термінологія

Основні, залишені без визначення в стандартній аксіоматизації, поняття проективної геометрії - це точка і пряма. Сукупність точок на прямій називається поруч, а сукупність прямих, що проходять крізь точку - пучком. Сукупність точок на прямих у пучку A, що перетинаються з прямою BC, визначає площину ABC. Принцип подвійності свідчить, що будь-яка конструкція проективної геометрії в n-мірному просторі залишається вірною, якщо в усіх випадках замінити (k)-мірні конструкції на (n - k -1)-мірні. Так, будь-яка конструкція в проективної площини залишається вірною, якщо замінити точки на прямі і прямі на точки.

Перетворення ряду прямий X в пучок точки x, не знаходиться в цьому ряду, або назад, ідентифікує кожну точку в ряду з перетинає її прямий з пучка і пишеться Xx. Послідовність з кількох таких перетворень (з ряду в пучок, потім назад в ряд, і так далі) називається проективні. Перспективність - це послідовність з двох проективних (пишеться XX '). Перспективність двох прямих проходить крізь центр O, а перспективність двох точок - крізь вісь o. Точка інваріантна стосовно проективности, якщо проективности перетворює її в ту ж точку.

Трикутник - це три точки, з'єднані попарно прямими. Повний чотирикутник - це чотири точки (вершини) в одній площині, з яких ніякі три не колінеарні, з'єднані попарно прямими. Перетин двох з цих прямих, яка не є вершиною, називається діагональною крапкою. Повний чотиригранник визначається аналогічно, але з точками замість прямих і прямими замість крапок. Аналогічно можна визначити повний n-кутник і повний n-гранником.

Два трикутника перспективні якщо вони можуть бути з'єднані за допомогою перспективності, тобто їх грані перетинаються на колінеарних точках (перспективність крізь пряму) або їх вершини з'єднані конкурентними прямими (перспективність крізь точку).


3. Основні підходи

Є три головні підходи до проективної геометрії: незалежна аксіоматизації, доповнення Евклідової геометрії, і структура над полем.

3.1. Аксіоматизації

Проективне простір можна визначити за допомогою різного набору аксіом. Коксетер надає наступні:

  1. Існує пряма і точка не на ній.
  2. На кожній прямий є принаймні три крапки.
  3. Через дві точки можна провести рівно одну пряму.
  4. Якщо A, B, C, і D - різні точки і AB і CD перетинаються, то AC і BD перетинаються.
  5. Якщо ABC - площину, то існує принаймні одна точка не в площині ABC.
  6. Дві різні площини перетинаються по крайней мере в двох точках.
  7. Три діагональні точки повного чотирикутника НЕ ​​колінеарні.
  8. Якщо три точки на прямій X інваріантні по відношенню до проективности φ, то всі крапки на X інваріантні по відношенню до φ.

Проективна площину (без третього виміру) визначається дещо іншими аксіомами:

  1. Через дві точки можна провести рівно одну пряму.
  2. Будь-які дві прямі перетинаються.
  3. Існує чотири точки, з яких немає трьох колінеарних.
  4. Три діагональні точки повних чотирикутників НЕ колінеарні.
  5. Якщо три точки на прямій X інваріантні по відношенню до проективности φ, то всі крапки на X інваріантні по відношенню до φ.
  6. Теорема Дезарга : Якщо два трикутника перспективні крізь точку, то вони перспективні крізь пряму.

При наявності третього виміру, теорема Дезарга може бути доведена без введення ідеальних точки і прямої.


3.2. Доповнення Евклідової геометрії

Історично, проективне простір було вперше визначено, як додаток евклідова простору ідеальним елементом - нескінченно віддаленій площиною. Кожна точка на цій площині відповідає напрямку в просторі і є місцем перетину всіх прямих цього напрямку.

3.3. Структура над полем

n-мірний проективне простір над полем F визначається за допомогою системи однорідних координат над F, тобто безлічі ненульових (n +1) - векторів з елементів F. Точка і пряма визначаються як безліч векторів, що відрізняються множенням на константу. Точка x знаходиться на прямий X якщо скалярний твір Xx = 0. Таким чином, маючи пряму X, ми можемо визначити лінійне рівняння Xx = 0, визначальне ряд точок на X. З цього випливає, що точки x, y, і z колінеарні, якщо Xx = Xy = Xz = 0 для якої-небудь прямої X.


4. Важливі теореми

Література

  • Буземан Г., Келлі П. Проективна геометрія і проективні метрики. M., 1957.
  • Бер Р. Лінійна алгебра і проективна геометрія. М., 1955.
  • Вольберг А. О. Основні ідеї проективної геометрії. М.-Л.: Учпедгиз, 1949.
  • Глаголєв Н. А. Проективна геометрія. М.-Л., 1936.
  • Курант Р., Роббінс Г. Що таке математика, Глава IV. 2001
  • Хартсхорн Р. Основи проективної геометрії. М., 1970.
  • Юнг Дж. В. Проективна геометрія. М.: ІЛ, 1949.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Гомологія (проективна геометрія)
Принцип подвійності (проективна геометрія)
Проективна площину
Геометрія
Фінслерових геометрія
Сакральна геометрія
Градус (геометрія)
Дефект (геометрія)
Кінцева геометрія
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru