Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Проміжок (математика)



План:


Введення

Проміжок, або більш точно, проміжок числової прямої - безліч дійсних чисел, що володіє тим властивістю, що разом з будь-якими двома числами містить будь-яке, що лежить між ними [1]. З використанням логічних символів, це визначення можна записати так: X \ subset \ mathbb {R} - Проміжок, якщо

\ Forall x \ forall y \ forall z \ biggl ((x \ in X) \ wedge (z \ in X) \ wedge (x <y <z) \ Rightarrow y \ in X \ biggr)

Як приклади проміжків можна навести такі множини:

\ Begin {matrix} X_1 = \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon 0 \ leqslant x \ leqslant 1 \}, & X_2 = \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon 0 \ leqslant x <1 \}, & X_3 = \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon 0 <x \ leqslant 1 \}, \ \ X_4 = \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon 0 <x <1 \} , & X_5 = \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon x> 0 \}, & X_6 = \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon x <1 \}, \ \ X_7 = \ mathbb { R}, & X_8 = \ varnothing & \ end {matrix}

1. Типи проміжків

Кінцевий проміжок складається з безлічі чисел, укладених між двома числами a і b - Кінцями проміжку, які самі можуть бути включені до його складу, чи ні [1].

Якщо a \ leqslant b, a \ in \ mathbb {R}, b \ in \ mathbb {R} , То проміжок \ {X \ in \ mathbb {R} \ colon a \ leqslant x \ leqslant b \} називається відрізком, і позначається [A, b] :

[A, b] \ overset {\ mathrm {def}} {=} \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon a \ leqslant x \ leqslant b \}

У випадку a = b відрізок складається з однієї точки.

Якщо a <b, a \ in \ mathbb {R}, b \ in \ mathbb {R} , То проміжок \ {X \ in \ mathbb {R} \ colon a <x <b \} називається інтервалом, і позначається (A, b) :

(A, b) \ overset {\ mathrm {def}} {=} \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon a <x <b \}

Проміжки

[A, b) \ overset {\ mathrm {def}} {=} \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon a \ leqslant x <b \}, \ quad (a, b] \ overset {\ mathrm {def}} {=} \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon a <x \ leqslant b \}

називаються полуінтерваламі.

Довжиною проміжку у всіх випадках називається число b - a .

Нескінченні проміжки

\ {X \ in \ mathbb {R} \ colon x \ geqslant a \}, \ quad \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon x> a \}, \ quad \ {x \ in \ mathbb {R } \ colon x \ leqslant b \}, \ quad \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon x <b \}, \ quad \ mathbb {R}

не обмежені або зверху, або знизу яких-небудь речовим числом. У цьому випадку зручно вважати, що у цих проміжків одним з кінців, або обома служать невласні числа + \ Infty, - \ infty , Вважаючи, що для будь-якого дійсного числа x \ in \ mathbb {R} справедливі нерівності x <+ \ infty, x> - \ infty . Позначення та найменування нескінченних проміжків аналогічні таким для кінцевих проміжків. Наприклад, виписані вище нескінченні проміжки позначаються відповідно

[A, + \ infty), \ quad (a, + \ infty), \ quad (- \ infty, b], \ quad (- \ infty, b), \ quad (- \ infty, + \ infty)

Пусте безліч \ Varnothing також є проміжком.


2. Проміжки розширеної числової прямої

Безліч дійсних чисел \ Mathbb {R} , Доповнене елементами + \ Infty і - \ Infty , Називається розширеною числової прямої і позначається \ Overline {\ mathbb {R}} , Тобто

\ Overline {\ mathbb {R}} = \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \} \ cup \ {- \ infty \}

При цьому для будь-якого дійсного числа x \ in \ mathbb {R} за визначенням вважають виконаними нерівності

- \ Infty <x, \ quad x <+ \ infty, \ quad - \ infty <+ \ infty

Для розширеної числової прямої також вводять поняття проміжків - відрізків, інтервалів, полуінтервалов [1]. На відміну від відповідних проміжків числової прямої вони можуть містити елементи \ Pm \ infty . Наприклад, (A, + \ infty] = (a, + \ infty) \ cup {\ {+ \ infty \}} .


3. Термінологія

Іноді для проміжків використовується інша термінологія [2]. В англійською мовою слова проміжок і інтервал відповідають одному слову - англ. interval . В англомовній літературі, і в перекладах іноземних книг, а також в деяких інших книгах на російською мовою, використовується наступна термінологія:

[A, b] = \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon a \ leqslant x \ leqslant b \} - Замкнутий інтервал ( англ. closed interval )
(A, b) = \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon a <x <b \} - Відкритий інтервал ( англ. open interval )
[A, b) = \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon a \ leqslant x <b \} - Напіввідкритий (або напівзамкнутих) інтервал ( англ. half-open interval / half-closed interval )
(A, b] = \ {x \ in \ mathbb {R} \ colon a <x \ leqslant b \} - Напіввідкритий (або напівзамкнутих) інтервал ( англ. half-open interval / half-closed interval )

Відповідно, будь-який проміжок (в сенсі визначення, даного вище в цій статті) називається інтервал ( англ. interval ). Також в російськомовній літературі можна зустріти [3] ці ж терміни, в яких замість слова інтервал використовується проміжок: замкнутий проміжок, відкритий проміжок, напіввідкритий (або напівзамкнутих) проміжок.

і замкнуті множини.

Також в деяких книгах [4] відрізок називається сегментом, а полуінтервал - полусегментом.


4. Факти

4.1. Теорема про проміжні значеннях

Відома теорема Больцано - Коші про проміжні значеннях безперервної функції говорить: образ будь-якого проміжку при безперервному відображенні знову є проміжок. Як випливає з узагальнення цієї теореми на випадок довільних топологічних просторів, ця теорема - наслідок того факту, що проміжки - в точності зв'язкові підмножини \ Mathbb {R} . Див. нижче зв'язкові безлічі.


4.2. Операції з проміжками

На практиці проміжок нерідко характеризує інтервал можливих значень (приблизно) вимірюваної величини. На безлічі таких проміжків можна визначити арифметичні операції. Тоді результату обчислень над величинами можна зіставити відповідні обчислення над їх інтервалами, що задають у результаті інтервал можливих значень для результату.

4.3. Міра

Проміжки числової прямої, прямокутники на площині, прямокутні паралелепіпеди в просторі і т. п. є відправною точкою в теорії міри, оскільки є найпростішими множинами, міру яких ( довжину, площа, обсяг і т. п.) легко визначити.


5. Узагальнення

5.1. Зв'язкові безлічі

Узагальненням проміжку числової прямої є поняття зв'язкового топологічного простору. На числової прямої всяке зв'язне безліч є проміжок, і назад, будь-який проміжок є зв'язне безліч.

Також проміжок числової прямої лежить в основі іншого, більш спеціального поняття лінійної зв'язності. У безлічі дійсних чисел \ Mathbb {R} , А також у евклідовому просторі \ Mathbb {R} ^ n довільній розмірності n поняття зв'язності і лінійної зв'язності збігаються.


5.2. Опуклі множини

Інше узагальнення поняття проміжку числової прямої є поняття опуклого безлічі.

5.3. Проміжки в частково впорядкованих множинах

У самому загальному випадку поняття проміжку можна ввести на будь-якому множині, на якому введено відношення порядку < .

Примітки

  1. 1 2 3 Кудрявцев, Л. Д. Курс математичного аналізу - 5-е изд. - М .: "Дрофа", 2003. - Т. 1. - С. 64-65. - 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1.
  2. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. контрприклади в аналізі = Counterexamples in Analysis - М .: ЛКИ, 2007. - С. 17-18. - 258 с. - ISBN 978-5-382-00046-6.
  3. Фіхтенгольц, Г. М. Основи математичного аналізу - 7-е изд. - М .: "Физматлит", 2002. - Т. 1. - С. 35. - 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X.
  4. Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Основи математичного аналізу - 7-е изд. - М .: "Физматлит", 2005. - Т. 1. - С. 56-57. - 648 с. - ISBN 5-9221-0536-1.

Література

  • Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. контрприклади в аналізі = Counterexamples in Analysis - М .: ЛКИ, 2007. - 258 с. - ISBN 978-5-382-00046-6.
  • Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Основи математичного аналізу - 7-е изд. - М .: "Физматлит", 2005. - Т. 1. - 648 с. - ISBN 5-9221-0536-1.
  • Кудрявцев, Л. Д. Курс математичного аналізу - 5-е изд. - М .: "Дрофа", 2003. - Т. 1. - 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1.
  • Фіхтенгольц, Г. М. Основи математичного аналізу - 7-е изд. - М .: "Физматлит", 2002. - Т. 1. - 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
E6 (математика)
F4 (математика)
G2 (математика)
Математика
E8 (математика)
Комплекс (математика)
Тотожність (математика)
Математика майя
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru