Проста функція в математики - це вимірна функція, задана на деякому вимірному просторі і приймаюча кінцеве число значень.

Визначення

Нехай (X, \ mathcal {F}) - Вимірне простір. Нехай A_1, \ ldots, A_n \ in \ mathcal {F} , Де n \ in \ mathbb {N} - Кінцева послідовність вимірних множин. Тоді вимірна функція f: X \ to \ mathbb {R} (\ mathbb {C}) називається простою, якщо вона має вигляд:

f (x) = \ sum_ {i = 1} ^ n a_i {\ mathbf 1} _ {A_i} (x), x \ in X ,

де a_i \ in \ mathbb {R} (\ mathbb {C}), \ mathbf {1} _ {A_i} - індикатор безлічі A_i, i = 1, \ ldots, n .


Зауваження

f (x) = \ sum_ {i = 1} ^ n a_i {\ mathbf 1} _ {A_i} (x), x \ in X ,

і \ Mu (A_i) <\ infty, \ forall i = 1, \ ldots, n , То fинтегрируема за Лебегом, і

\ Int \ limits_X f \, d \ mu = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n a_i \, \ mu (A_i) .

Приклад

Нехай (X, \ mathcal {F}, \ mu) = (\ mathbb {R}, \ mathcal {B} (\ mathbb {R}), m) , Де \ Mathcal {B} (\ mathbb {R}) - борелевская сигма-алгебра на \ Mathbb {R} , А m - міра Лебега. Тоді функція

f (x) = \ left \ {\ begin {matrix} 1, & x> 0 \ \ 0, & x = 0 \ \ -1, & x <0 \ end {matrix} \ right., x \ in \ mathbb {R}

проста, бо вимірна і приймає три різних значення.