Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Пряма



План:


Введення

Зображення прямих в прямокутній системі координат.

Пряма - одне з основних понять геометрії.

При систематичному викладі геометрії пряма лінія звичайно приймається за одне з вихідних понять, яке лише непрямим чином визначається аксіомами геометрії.

Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити як лінію, шлях уздовж якої дорівнює відстані між двома точками.

Аналітично пряма задається рівнянням (у тривимірному просторі - системою рівнянь) першого ступеня.


1. Властивості прямої в евклідової геометрії


2. Рівняння прямої на площині

Способи завдання прямий:
\ Scriptstyle {y = kx + b, \; \ frac {x} {a} + \ frac {y} {b} = 1} або \ Scriptstyle {x \ cos \ theta + y \ sin \ theta-p = 0} .

2.1. Загальне рівняння прямої

Загальне рівняння прямої лінії на площині в декартових координатах :

Ax + By + C = 0, \,

де A , B і C - Довільні постійні, причому постійні A і B не рівні нулю одночасно. Вектор з координатами (A, B) називається нормальним вектором і він перпендикулярний прямій. Вектор з координатами (-B, A) або (B,-A) називається направляючим вектором.

При C = 0 пряма проходить через початок координат. Також рівняння можна переписати у вигляді:

~ A (x-x_0) + B (y-y_0) = 0

2.2. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Пряма лінія, що перетинає вісь O y в точці (0, \; b) і утворює кут \ Varphi з позитивним напрямом осі O x :

y = kx + b, \ quad k = \ mathrm {tg} \, \ varphi.

Коефіцієнт k називається кутовим коефіцієнтом прямої. У цьому вигляді неможливо уявити пряму, паралельну осі O y .


2.3. Рівняння прямої у відрізках

Пряма лінія, що перетинає вісь O x в точці (A, \; 0) і вісь O y в точці (0, \; b) :

\ Frac {x} {a} + \ frac {y} {b} = 1 \ quad (a \ ne 0, \; b \ ne 0).

У цьому вигляді неможливо уявити пряму, що проходить через початок координат.

2.4. Нормальне рівняння прямої

x \ cos \ theta + y \ sin \ theta-p = 0, \,

де p - Довжина перпендикуляра, опущеного на пряму з початку координат, а θ - Кут (виміряний в позитивному напрямі) між позитивним напрямом осі O x і напрямом цього перпендикуляра. Якщо p = 0 , То пряма проходить через початок координат, а кут \ Theta = \ varphi + \ frac {\ pi} {2} задає кут нахилу прямої.

Висновок нормального рівняння прямої

Нехай дана пряма L . Тоді OP \ perp L і | \ Overrightarrow {OP} | = p . Розглянемо для цього перпендикуляра його орт \ Overrightarrow {e_p}, | \ overrightarrow {e_p} | = 1 . Припустимо що кут між | \ Overrightarrow {e_p} | і віссю X дорівнює θ . Так як \ Sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1, \, , То можна записати: \ Overrightarrow {e_p} = (\ cos \ theta; \ sin \ theta) . Тепер розглянемо довільну точку M (x, y), \, . Проведемо радіус-вектор \ Overrightarrow {OM} = (x, y) Тепер знайдемо проекцію \ Overrightarrow {OM} на вектор \ Overrightarrow {e_p} . (\ Overrightarrow {e_p}, \ overrightarrow {OM}) = x \ cos \ theta + y \ sin \ theta = p отже: x \ cos \ theta + y \ sin \ theta-p = 0, \, Це і є нормальне рівняння прямої

Якщо пряма задана загальним рівнянням A x + B y + C = 0 , То відрізки a і b , Відсікаються нею на осях, кутовий коефіцієнт k , Відстань прямої від початку координат p , cos θ і sin θ виражаються через коефіцієнти A , B і C наступним чином:

a =- \ frac {C} {A}, \ quad b =- \ frac {C} {B}, \ quad k = \ mathrm {tg} \, \ varphi =- \ frac {A} {B}, \ quad \ varphi = \ theta-\ frac {\ pi} {2},

Для уникнення непорозумінь знак перед радикалом вибирається так, щоб дотримувалася умова p> 0 . У цьому випадку cos θ і sin θ є напрямними косинусами позитивної нормалі прямої - перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму. Якщо C = 0 , То пряма проходить через початок координат і вибір позитивного напрямку довільний.


2.5. Рівняння прямої, що проходить через дві задані незбіжні точки

Рівняння прямої, що проходить через дві задані незбіжні точки (X_1, \; y_1) і (X_2, \; y_2)

\ Begin {vmatrix} x & y & 1 \ \ x_1 & y_1 & 1 \ \ x_2 & y_2 & 1 \ end {vmatrix} = 0

або

\ Frac {y-y_1} {y_2-y_1} = \ frac {x-x_1} {x_2-x_1}

або в загальному вигляді

\ Left (y_1-y_2 \ right) x + \ left (x_2-x_1 \ right) y + \ left (x_1y_2-x_2y_1 \ right) = 0.

2.6. Векторно-параметричне рівняння прямої

Векторно-параметричне рівняння прямої задається вектором \ Vec {r_0}, кінець якого лежить на прямій, і спрямовуючим вектором прямої \ Vec {a} . Параметр t пробігає всі дійсні значення.

\ Vec {r} = \ vec {r_0} + t \ vec {a}

2.7. Параметричні рівняння прямої

Параметричні рівняння прямої можуть бути записані у вигляді:

\ Begin {cases} x = x_0 + a_xt \ \ y = y_0 + a_yt \ end {cases}

де t - Похідний параметр, a x , a y - Координати x і y направляючого вектора прямої, при цьому

k = \ frac {a_y} {a_x}, \ quad a = \ frac {a_yx_0-a_xy_0} {a_y}, \ quad b = \ frac {a_xy_0-a_yx_0} {a_x},

Сенс параметра t аналогічний параметру в векторно-параметричному рівнянні.


2.8. Канонічне рівняння прямої

Канонічне рівняння виходить з параметріческіx рівнянь діленням одного рівняння на інше:

Висновок
\ Begin {cases} x = x_0 + a_xt \ \ y = y_0 + a_yt \ end {cases}
\ Begin {cases} x-x_0 = a_xt \ \ y-y_0 = a_yt \ end {cases}
\ Frac {x-x_0} {y-y_0} = \ frac {a_x} {a_y}
\ Frac {x-x_0} {y-y_0} = \ frac {a_x} {a_y} \ Longleftrightarrow \ frac {x-x_0} {a_x} = \ frac {y-y_0} {a_y}

де ~ A_x, a_y - Координати ~ X і ~ Y направляючого вектора прямої, ~ X_0 і ~ Y_0 координати точки, що належить прямій.


2.9. Рівняння прямої в полярних координатах

Рівняння прямої в полярних координатах ρ і \ Varphi :

ρ (A cos φ + B sin φ) + C = 0

або

\ Rho \ cos (\ varphi-\ theta) = p. \,

2.10. Тангенціальне рівняння прямої

Тангенціальне рівняння прямої на площині:

ξ x + η y = 1.

Числа ξ і η називаються її тангенціальними, лінійними або плюккеровимі координатами.

3. Рівняння прямої в просторі

Векторне параметричне рівняння прямої в просторі:

\ Vec r = \ vec r_0 + t \ vec a, \ quad t \ in (- \ infty, \; + \ infty),

де \ Vec r_0 - радіус-вектор деякої фіксованої точки M 0 , Що лежить на прямій, \ Vec a - Ненульовий вектор, колінеарний цієї прямої, \ Vec r - радіус-вектор довільної точки прямої.

Параметричне рівняння прямої в просторі:

x = x_0 + t \ alpha, \; y = y_0 + t \ beta, \; z = z_0 + t \ gamma, \ quad t \ in (- \ infty, \; + \ infty),

де (X_0, \; y_0, \; z_0) - координати деякої фіксованої точки M 0 , Що лежить на прямій; (\ Alpha, \; \ beta, \; \ gamma) - координати вектора, колінеарності цієї прямої.

Канонічне рівняння прямої в просторі:

\ Frac {x-x_0} {\ alpha} = \ frac {y-y_0} {\ beta} = \ frac {z-z_0} {\ gamma},

де (X_0, \; y_0, \; z_0) - координати деякої фіксованої точки M 0 , Що лежить на прямій; (\ Alpha, \; \ beta, \; \ gamma) - координати вектора, колінеарності цієї прямої.

Загальна векторне рівняння прямої в просторі:

Оскільки пряма є перетином двох різних непаралельних площин, заданих відповідно загальними рівняннями :
(\ Vec r, \; \ vec N_1) + D_1 = 0 і (\ Vec r, \; \ vec N_2) + D_2 = 0,

то рівняння прямої можна задати системою цих рівнянь:

\ Begin {cases} (\ vec r, \; \ vec N_1) + D_1 = 0, \ \ (\ vec r, \; \ vec N_2) + D_2 = 0. \ End {cases}

4. Взаємне розташування точок і прямих на площині

Три точки (X_1, \; y_1) , (X_2, \; y_2) і (X_3, \; y_3) лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли виконується умова

\ Begin {vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ \ x_2 & y_2 & 1 \ \ x_3 & y_3 & 1 \ end {vmatrix} = 0.

Відхилення точки (X_1, \; y_1) від прямої A x + B y + C = 0 може бути знайдено за формулою

\ Delta = \ frac {Ax_1 + By_1 + C} {\ pm \ sqrt {A ^ 2 + B ^ 2}},

де знак перед радикалом протилежний знаку C . Відхилення по модулю дорівнює відстані між точкою і прямої; воно позитивно, якщо точка і початок координат лежать по різні сторони від прямої, і негативно, якщо за одну сторону.

У просторі відстань від точки (X_1, \; y_1, \; z_1) до прямої, заданої параметричним рівнянням

\ Begin {cases} x = x_0 + t \ alpha, \ \ y = y_0 + t \ beta, \ quad t \ in \ R \ \ z = z_0 + t \ gamma, \ end {cases}

можна знайти як мінімальна відстань від заданої точки до довільної точки прямої. Коефіцієнт t цієї точки може бути знайдений за формулою

t_ \ min = \ frac {\ alpha (x_1-x_0) + \ beta (y_1-y_0) + \ gamma (z_1-z_0)} {\ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 + \ gamma ^ 2}.

5. Взаємне розташування декількох прямих на площині

Дві прямі, задані рівняннями

A_1x + B_1y + C_1 = 0, \ quad A_2x + B_2y + C_2 = 0

або

y = k_1x + b_1, \ quad y = k_2x + b_2

перетинаються в точці

x = \ frac {B_1C_2-B_2C_1} {A_1B_2-A_2B_1} = \ frac {b_1-b_2} {k_2-k_1}, \ quad y = \ frac {C_1A_2-C_2A_1} {A_1B_2-A_2B_1} = \ frac {k_2b_1- k_1b_2} {k_2-k_1}.

Кут γ 12 між пересічними прямими визначається формулою

\ Mathrm {tg} \, \ gamma_ {12} = \ frac {A_1B_2-A_2B_1} {A_1A_2 + B_1B_2} = \ frac {k_2-k_1} {1 + k_1k_2}.

При цьому під γ 12 розуміється кут, на який треба повернути перший прямий (задану параметрами A 1 , B 1 , C 1 , k 1 і b 1 ) Навколо точки перетину проти годинникової стрілки до першого суміщення з другої прямої.

Ці прямі паралельні, якщо A 1 B 2 - A 2 B 1 = 0 або k 1 = k 2 , І перпендикулярні, якщо A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 або k_1 =- \ frac {1} {k_2} .

Будь-яку пряму, паралельну A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , Можна виразити рівнянням A 1 x + B 1 y + C = 0 . При цьому відстань між ними буде дорівнює

\ Delta = \ frac {C_1-C} {\ pm \ sqrt {A_1 ^ 2 + B_1 ^ 2}}.

Якщо знак перед радикалом протилежний C 1 , То δ буде позитивним, коли друга пряма і початок координат лежать по різні сторони від першої прямої.

Для того, щоб три прямі

A_1x + B_1y + C_1 = 0, \ quad A_2x + B_2y + C_2 = 0, \ quad A_3x + B_3y + C_3 = 0

перетиналися в одній точці або були паралельні один одному, необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова

\ Begin {vmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \ \ A_2 & B_2 & C_2 \ \ A_3 & B_3 & C_3 \ end {vmatrix} = 0.

Якщо ~ A_2 =- B_1 і ~ B_2 = A_1 , То прямі ~ A_1x + B_1y + C_1 = 0 і ~ A_2x + B_2y + C_2 = 0перпендикулярні.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Пряма мова
Пряма кінематика
Пряма демократія
Лапчатка пряма
Пряма Сімсона
Пряма Ейлера
Пряма Гаусса
Пряма бочка
Пряма Обера
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru