Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Пряме твір



План:


Введення

Пряме чи декартовій твір множин - безліч, елементами якого є всілякі впорядковані пари елементів вихідних двох множин. Дане поняття вживається не тільки в теорії множин, але також у алгебри, топології та інших розділах математики завдяки тому, що пряме твір часто успадковує структури ( алгебраїчні, топологічні і т. д.), що існують на перемножуєте множинах.


1. Пряме твір у теорії множин

1.1. Добуток двох множин

в в в в в в в в
і і і і і і і і
до до до до до до до до
Твір множини {в, і, на}
на безліч кольорів веселки

Нехай дано два безлічі X і Y . Пряме твір X \ times Y безлічі X і безлічі Y є така безліч X \ times Y , Елементами якого є впорядковані пари (X, y) для всіляких x \ in X і y \ in Y .

Відображення твори множин в його множники ( \ Varphi \ colon X \ times Y \ to X, \; \ varphi (x, y) = x і \ Psi \ colon X \ times Y \ to Y, \; \ psi (x, y) = y ) Називають координатними функціями.

Аналогічно будуються твори кількох множин.


1.2. Коментарі

Строго кажучи, тотожність асоціативності A \ times (B \ times C) = (A \ times B) \ times C не має місця, але в силу існування природного взаємно однозначної відповідності між множинами A \ times (B \ times C) і (A \ times B) \ times C цим розходженням можна найчастіше знехтувати.

1.3. Декартова ступінь

000 001 002 010 011 012 020 021 022
100 101 102 110 111 112 120 121 122
200 201 202 210 211 212 220 221 222
{0, 1, 2} 3, 3 3 = 27 елементів

n -Я Декартова ступінь безлічі X визначається для цілих невід'ємних n , Як n -Кратне Декартово твір X на себе:

\ Begin {matrix} X ^ n = & \ underbrace {X \ times X \ times \ ldots \ times X}. \ \ & N \ end {matrix}

При позитивних n Декартова ступінь X n складається з усіх упорядкованих наборів ( кортежів) елементів з X довжини n .

При n = 0 , Декартова ступінь X 0 за визначенням містить єдиний елемент - порожній кортеж.


1.4. Пряме твір сімейства множин

Подальше узагальнення поняття прямого твори призводить до творів по індексному безлічі I (Можливо, нескінченного): X = Π X i , Елементи якого зіставляють кожному індексом i з I елемент множини X i .

Декартовій твір кінцевого числа (n) множин A_1 \ times ... \ Times A_n визначається як безліч всіх можливих кортежів довжини n (складених з елементів цих множин), в яких кожен елемент a i належить відповідній йому за номером безлічі A i . Зокрема, для нуля множин результатом є безліч, що містить єдиний елемент - порожній кортеж. З цього визначення як приватний випадок також йде визначення бінарної операції декартова твори (прямого добутку двох множин).


2. Пряме твір відображень

Нехай f - Відображення з A в B , А g - Відображення з X в Y . Їх прямим твором f \ times g називається відображення з A \ times X в B \ times Y : (F \ times g) (a, \; x) = (f (a), \; g (x)) .

Аналогічно вищевикладеному, дане визначення узагальнюється на багаторазові й нескінченні твори.


3. Вплив на математичні структури

3.1. Пряме твір груп

Пряме (декартовій) твір двох груп (G, *) і (H, \ circ) - Це група з усіх пар елементів (G, h) з операцією поелементного множення: (G_1, h_1) \ times (g_2, h_2) = (g_1 * g_2, h_1 \ circ h_2) . Ця група позначається як G \ times H . Співмножники G і H ізоморфні двом нормальним підгрупах свого твору, \ {(G, 1_H) \ mid g \ in G \} і \ {(1_G, h) \ mid h \ in H \} відповідно. Перетин цих підгруп складається з одного елементу (1 G, 1 H) , Який є одиницею групи-твору. Координатні функції твори груп є гомоморфізму.

Це визначення поширюється на довільне кінцеве число перемножуєте груп; асоціативність декартова твори випливає з асоціативності операцій перемножуєте груп.

Однак, для нескінченного числа перемножуєте груп поняття декартового і прямого твори прийнято розрізняти. У загальному випадку, \ Overline {\ prod_ {i \ in I}} G_i = \ {f \ colon I \ to \ bigcup_ {i \ in I} G_i \} , Де f (i) \ isin G_i і (F_1 \ times f_2) (i) = f_1 (i) * f_2 (i) . (Операція в правій частині - це операція групи G i .) Одиницею групи-твору буде послідовність, складена з одиниць всіх перемножуєте груп: (1_i), \; i \ in I . Наприклад, для рахункового числа груп: \ Overline {\ prod_ {i \ in \ mathbb {N}}} \ mathbb {Z} _2 = (2 ^ \ mathbb {N}, \; \ operatorname {xor}) , Де в правій частині стоїть безліч всіх нескінченних двійкових послідовностей.

Підгрупа на множині всіх f , Носій яких (тобто безліч \ Mathrm {supp} \, (f) = \ {i \ in I \ mid f (i) \ ne 1_i \} ) кінцевий, називається прямим твором. Наприклад, пряме твір того ж самого набору множин \ Prod_ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} _2 \ = \ (\ mathbb {N}, \; \ operatorname {xor}) містить всі виконавчі послідовності з кінцевим числом одиниць, а їх можна трактувати як двійкові подання натуральних чисел.


3.2. Пряме твір інших алгебраїчних структур

Аналогічно добутку груп, можна визначити твори кілець, алгебр, модулів і лінійних просторів, причому у визначенні прямого твори 1 i (Див. вище) слід замінити нулем. Однак, як правило, твори цих структур називають прямий сумою.


3.3. Пряме твір топологічних просторів

Нехай X і Y - Два топологічних простору. Топологія твори X \ times Y задається базою, що складається з різноманітних творів U \ times V , Де U - відкрите підмножина X і V - Відкрите підмножина Y .

Визначення легко узагальнюється на випадок твори кількох просторів. Для нескінченного твори X = Π X i визначення ускладнюється. Визначимо відкритий циліндр Cyl (i, \; U) = \ {x \ in X \ mid x_i \ in U \} , Де i \ in I і U - Відкрите підмножина X i .

Топологія нескінченного твору буде задаватися базою, складеної з усіляких перетинань кінцевого числа відкритих циліндрів (така топологія аналогічна компактно-відкритої топології просторів відображень якщо вважати індексне безліч I мають дискретну топологію).

Теорема Тихонова стверджує компактність творів будь-якої кількості компактних просторів, а проте для нескінченних творів її не вдається довести без використання аксіоми вибору (або рівносильних їй тверджень теорії множин).

Також, теорема Александрова показує, що будь-топологічний простір можна вкласти в (нескінченна) твір зв'язкових двокрапок, якщо тільки виконана аксіома Колмогорова.


3.4. Пряме твір графів

 -
 -
 -

Безліч вершин прямого добутку двох графів G і H задається як твір вершин графів співмножників. Ребрами будуть з'єднані наступні пари вершин:

  • (G, \; h) (g ', \; h) , Де g і g ' - З'єднані ребром вершини графа G , А h - Довільна вершина графа H ;
  • (G, \; h) (g, \; h ') , Де g - Довільна вершина графа G , А h і h ' - З'єднані ребром вершини графа H .

Інакше кажучи, безліч ребер твори графів є об'єднанням двох творів: ребер першого на вершини другого, і вершин першого на ребра другого.


4. Варіації і узагальнення

Ідея прямого твори отримала подальший розвиток в теорії категорій, де вона стала основою для поняття твори об'єктів. Неформально, твір двох об'єктів A і B - Це найбільш загальний об'єкт в даній категорії, для якого існують проекції на A і B . У багатьох категоріях (множин, груп, графів, ...) твором об'єктів є саме їх пряме твір. Важливо, що в більшості випадків важливо не стільки конкретне визначення прямого твори, скільки вказане вище властивість універсальності. Різні визначення будуть давати при цьому ізоморфні об'єкти.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Пряме ім'я
Пряме сходження
Твір
Нескінченне твір
Твір (синтаксис)
Похідний твір
Концерт (твір)
Псевдоскалярний твір
Твір мистецтва
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru