Прямокутна функція

Прямокутна функція

Прямокутна функція, одиничний імпульс, прямокутний імпульс, або нормоване прямокутне вікно - кусочно-постійна функція такого вигляду:

\ Mathrm {rect} (t) = \ sqcap (t) = \ begin {cases} 0, & | t |> \ frac {1} {2} \ \ [3pt] \ frac {1} {2}, & | t | = \ frac {1} {2} \ \ [3pt] 1, & | t | <\ frac {1} {2} \ end {cases}

Інше визначення функції через функцію Хевісайда, u (t) :

\ Mathrm {rect} \ left (\ frac {t} {\ tau} \ right) = u \ left (t + \ frac {\ tau} {2} \ right) - u \ left (t - \ frac {\ tau} {2} \ right)

або, інакше:

\ Mathrm {rect} (t) = u \ left (t + \ frac {1} {2} \ right) - u \ left (t - \ frac {1} {2} \ right)

Нормована прямокутна функція:

\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty \ mathrm {rect} (t) \, dt = 1

Перетворення Фур'є прямокутної функції:

\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty \ mathrm {rect} (t) \ cdot e ^ {-i \ omega t} \, dt = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ cdot \ mathrm {sinc} \ left (\ frac {\ omega} {2 \ pi} \ right) ,

при нормуванні sinc-функції,


\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty \ mathrm {rect} (t) \ cdot e ^ {-i 2 \ pi ft} \, dt = \ mathrm {sinc} (f)

Трикутна функція може бути визначена як згортка двох прямокутних функцій:

\ Mathrm {tri} (t) = \ mathrm {rect} (t) * \ mathrm {rect} (t) \;

На основі бесконечнократних згорток прямокутних функцій, довжини яких убувають в геометричній прогресії, будуються атомарні функції.